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1、苏科版数学九年级全册学问点梳理 第一章 图形与证明二1 等腰三角形性质定理：等腰三角形顶角平分线、底边上中线、底边上高互相重合简称“三线合一。等腰三角形两底角相等简称“等边对等角。等腰三角形断定定理：假如一个三角形两个角相等，那么这两个角所对边也相等简称“等角对等边。2 直角三角形全等断定定理：斜边和一条直角边对应相等两个直角三角形全等简称“HL。 角平分线性质：角平分线上点到这个角两边间隔 相等。 角平分线断定：角内部到角两边间隔 相等点，在这个角平分线上。直角三角形中，30角所对直角边事斜边一半。3 平行四边形性质与断定：定义：两组对边分别平行四边形是平行四边形。定理1：平行四边形对边相等
2、。定理2：平行四边形对角相等。定理3：平行四边形对角线互相平分。断定从边：1两组对边分别平行四边形是平行四边形。 2一组对边平行且相等四边形是平行四边形。 3两组对边分别相等四边形是平行四边形。 从角： 两组对角分别相等四边形是平行四边形。 对角线：对角线互相平分四边形是平行四边形。 矩形性质与断定：定义：有一个角直角平行四边形是矩形。定理1：矩形4个角都是直角。定理2：矩形对角线相等。定理：直角三角形斜边上中线等于斜边一半。断定：1有三个角是直角四边形是矩形。 2对角线相等平行四边形是矩形。 菱形性质与断定：定义：有一组邻边相等平行四边形是菱形。定理1：菱形4边都相等。定理2：菱形对角线互相
3、垂直，并且每一条对角线平分一组对角。断定：1四条边都相等四边形是菱形。 2对角线互相垂直平行四边形是菱形。正方形性质与断定：正方形4个角都是直角，4条边都相等，对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。正方形即是特殊矩形，又是特殊菱形，它具有矩形和菱形全部性质。断定：1有一个角是直角菱形是正方形。 2有一组邻边相等平行四边形是正方形。1.4 等腰梯形性质与断定定义：两腰相等梯形叫做等腰梯形。定理1：等腰梯形同一底上两底角相等。定理2：等腰梯形两条对角线相等。断定：1在同一底上两个角相等梯形是等腰梯形。 2对角线相等梯形是等腰梯形。1.5 中位线三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边
4、一半。梯形中位线平行于两底，并且等于两底一半。中点四边形：依次连接一个四边形各边中点所得到四边形称为中点四边形中点四边形肯定是平行四边形。原四边形对角线中点四边形相等菱形互相垂直矩形相等且互相垂直正方形第二章 数据离散程度2.1 极差：一组数据中最大值与最小值差叫做极差。计算公式：极差=最大值-最小值。极差是刻画数据离散程度一个统计量，可以反映一组数据改变范围。一般说，极差越小，那么说明数据波动幅度越小。2.2 方差各个数据与平均数差平均数叫做这组数据方差，记作S2。巧用方差公式：1、根本公式：S2=(X1-)2+(X2-)2+(Xn-)22、简化公式：S2=(X12+X22+Xn2)-n2可
5、写成：S2=(X12+X22+Xn2)-23、简化：S2=(X12+X22+Xn2)-n2 也可写成: S2=(X12+X22+Xn2)-2标准差:方差算术平方根叫做这组数据标准差,记作S。意义：1、极差、方差和标准差都是用来描绘一组数据波动状况特征，常用来比较两组数据波动大小，我们通常探讨是这组数据个数相等、平均数相等或比较接近状况。2、方差较大波动较大，方差较小波动较小。3、方差大，标准差就大，方差小，标准差就小。因此标准差同样反映数据波动大小。留意：对两组数据来说，极差大那一组不肯定方差大，反过来，方差大极差也不肯定大。第三章 二次根式3.1 二次根式定义：一般地，式子a0叫做二次根式，
6、a叫做被开方数。有意义条件：当a0时，有意义；当a0时，无意义。性质：1、0a0 2、2=aa02=a= aa0 aa03.2 二次根式乘除法法那么：ab=ab(a0,b0) =a0,b0化简：ab=ab(a0,b0) =a0,b0 = a0,b0第四章 一元二次方程4.1 概念：只含有一个未知数，且未知数最高次数是2整式方程叫做一元二次方程。一般形式是aX2+bX+c=0(a、b、c是常数，a0)，其中aX2称为二次项，a称为二次项系数，bX称为一次项，b称为一次项系数，c称为常数项。4.2 解法：1、干脆开平方2、配方法：先把一元二次方程变形为X+h2=k形式其中h,k都是常数，假如k0，
7、再通过干脆开平方法求出方程解3、公式法求根公式：一元二次方程aX2+bX+c=0 前提：a0b2-4ac0，记住求根公式： 留意在找abc时须先把方程化为一般形式4分解因式法 把方程一边变成0，另一边变成两个一次因式乘积来求解。主要包括“提公因式和“十字相乘根与系数关系：当b2-4ac0时，方程有两个不等实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等实数根；当b2-4ac0时，方程无实数根。反之，也成立。假如一元二次方程两根分别为x1、x2，那么有：。一元二次方程根与系数关系作用：1方程一根，求另一根；2不解方程，求二次方程根x1、x2对称式值，4、因式分解法重点是十字相乘法根判别式一元二次方程
8、aX2+bX+c=0 a0根状况可由b2-4ac来断定，因此b2-4ac叫做一元二次方程根判别式。当b2-4ac0时，方程有两个不相等实数根当b2-4ac=0时，方程有两个相等实数根当b2-4ac0时，方程没有实数根。在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：设未知数在设未知数时，大多数状况只要设问题为x；但也有时也须依据条件及等量关系等诸多方面考虑；找寻等量关系一般地，题目中会含有一表述等量关系句子，只须找到此句话即可依据其列出方程。处理问题过程可以进一步概括为： 第五章 中心对称图形二5.1 圆定义：圆是定点间隔 等于定长点集合。其中，定点叫做圆心，定长叫做半径。与圆有关概念：1、连接圆上
9、随意两点线段叫做弦，经过圆心弦叫做直径。2、圆上随意两点间部分叫做圆弧，简称弧。圆随意一条直径两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆。大于半圆弧叫做优弧，小于半圆弧叫做劣弧。3、定点在圆上角叫做圆心角。4、圆心一样，半径不相等两个圆叫做同心圆。可以互相重合两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中，可以互相重合弧叫做等弧。 与圆位置关系：在平面内，点与圆有3中位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外。假如设O半径为r，点P到圆心O间隔 为d，那么“点P在圆内 dr;点P在圆上d=r；点P在圆外dr5.2 圆对称性圆是中心对称图形，圆心是对称中心。圆是轴对称图形，过圆心随意一条直线都是它对称轴。圆心角、弧、弦
10、之间关系等对等定理：在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应其余各组量都分别相等。5.3 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交角叫做圆周角。定理：同弧或等弧所对圆周角相等，都等于该弧所对圆心角一半。圆心与圆周角位置关系分为三种状况：圆心在角一边上；圆心在角内部；圆心在角外部推论：1、直径或半圆所对圆周角是直角。 2、90圆周角对弦是直径。5.4 确定圆条件条件：不在同一条直线上三个点确定一个圆。三角形外接圆：三角形三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形外接圆。外接圆圆心是三角形三边垂直平分线交点，这个点叫做三角形外心。这个三角形叫做圆内接三角形5.5 直
11、线与圆位置关系1、直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交。dr2、直线与圆有唯一公共点，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆切线，这个公共点叫做切点。d=r3、直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。dr直线与圆位置关系可以用它们交点个数来区分，也可以用圆心到直线间隔 与半径大小关系来区分，它们结果是一样。切线性质与断定：断定：经过半径外端并且垂直于这条半径直线式圆切线。性质：圆切线垂直于过切点半径经过圆心且垂直于切线干脆必经过切点。 经过切点且垂直于切线直线必经过圆心切线与圆只有一个公共点；切线与圆心间隔 等于半径；切线垂直于过切点半径。内心：与三角形各边都相切圆叫做三角形内切圆。内切圆圆心叫
12、做三角形内心，它是三角形三条角平分线交点。这个三角形叫做圆外切三角形。5.6 圆与圆位置关系性质与断定：假如两圆半径分别为R和r，圆心距为d，那么两圆外离dR+r两圆外切d=R+r两圆相交R-rdR+rRr两圆内切d=R-r(Rr)两圆内含0dR-rRr连心线性质：圆是轴对称图形，从上表中可以看出它们都是轴对称图形。沿O1、O2所在直线连心线对折，发觉：两圆相切，直线O1O2必过切点；两圆相交，连心线垂直平分它们公共弦。5.7 正多边形与圆正多边形概念：各边相等、各角也相等多边形叫做正多边形。性质：正多边形都是对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，没条对称轴都通过正n边形中心。一个正多边形假如
13、有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形。假如一个正多边形是中心对称图形，那么它中心就是对称中心。边数一样正多边形相像。 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。友谊提示：1边数一样正多边形相像，这是解与正多边形有关问题常用到学问。 2任何三角形都有外接圆和内切圆，但只有正三角形外接圆和内切圆才是同心圆。过正多边形随意三个顶点圆就是这个正多边形外接圆。作正多边形：作半径为R正n边形关键是n等分圆。这就要学习两种方法：用量角器等分圆，可以作随意正多边形，这是近似作法。详细地说先计算出顶点在圆心角度数，即正n边形圆心角为，然后依次用量角器将圆等分，顺次连接各分点，就作出
14、正n边形。用尺规等分圆，作正方形和正六边形。详细地说：先作出两条互相垂直直径，将圆四等分，顺次连接各分点，就做出正方形；用圆规从圆上一点顺次截取等与半径弦，将圆六等分，顺次连接各等分点，就作出正六边形。友谊提示：在作正多边形时，要从圆周上某一点开始连续截取等弧，否那么，易产生误差。5.8 弧长及扇形面积1. 圆周长公式: 圆周长C=2R (R表示圆半径)2. 弧长公式: 弧长 (R表示圆半径, n表示弧所对圆心角度数)3. 扇形定义:一条弧和经过这条弧端点两条半径所组成图形叫做扇形.4. 弓形定义:由弦及其所对弧组成图形叫做弓形. 弓形弧中点到弦间隔 叫做弓形高.5. 圆面积公式.圆面积 (R
15、表示圆半径)6. 扇形面积公式:扇形面积 (R表示圆半径, n表示弧所对圆心角度数)弓形面积公式:(如图5)(1)当弓形所含弧是劣弧时, (2)当弓形所含弧是优弧时, (3)当弓形所含弧是半圆时, 1. 圆锥可以看作是一个直角三角形围着直角边所在直线旋转一周而形成图形,另一条直角边旋转而成面叫做圆锥底面,斜边旋转而成面叫做圆锥侧面.2. 圆锥侧面绽开图与侧面积计算:圆锥侧面绽开图是一个扇形,这个扇形半径是圆锥侧面母线长、弧长是圆锥底面圆周长、圆心是圆锥顶点.假如设圆锥底面半径为r,侧面母线长(扇形半径)是l, 底面圆周长(扇形弧长)为c,那么它侧面积是:与圆有关协助线1.如圆中有弦条件,常作弦
16、心距,或过弦一端作半径为协助线.2.如圆中有直径条件,可作出直径上圆周角.3.如一个圆有切线条件,常作过切点半径(或直径)为协助线. 圆内接四边形假设四边形四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形外接圆.圆内接四边形特征: 圆内接四边形对角互补; 圆内接四边形随意一个外角等于它内错角.第六章 二次函数1、定义：一般地，假如是常数，那么叫做二次函数。自变量取值范围是全体实数。2、二次函数性质：1抛物线顶点是坐标原点，对称轴是轴；2函数图像与符号关系： 当时抛物线开口向上顶点为其最低点；当时抛物线开口向下顶点为其最高点。3顶点是坐标原点，对称轴是轴抛物线解析式形式为
17、。3、二次函数 图像是对称轴平行于包括重合轴抛物线。4、二次函数用配方法可化成：形式，其中。5、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：6、抛物线三要素：开口方向、对称轴、顶点。 符号确定抛物线开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线开口大小、形态一样。 平行于轴或重合直线记作.特殊地，轴记作直线。7、顶点确定抛物线位置。几个不同二次函数，假如二次项系数一样，那么抛物线开口方向、开口大小完全一样，只是顶点位置不同。8、求抛物线顶点、对称轴方法 1公式法：，顶点是，对称轴是直线。P26-9 2配方法：运用配方方法，将抛物线解析式化为形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线。 3运用抛
18、物线对称性：由于抛物线是以对称轴为轴轴对称图形，所以对称轴连线垂直平分线是抛物线对称轴，对称轴与抛物线交点是顶点。 留意：用配方法求得顶点，再用公式法或对称性进展验证，才能做到万无一失。题11：抛物线yx26x4顶点坐标是()A(3，-5)B(-3，-5) C(3，5)D(-3，5)9、抛物线中，作用1确定开口方向及开口大小，这与中完全一样。 2和共同确定抛物线对称轴位置。由于抛物线对称轴是直线。，故：时，对称轴为轴；即、同号时，对称轴在轴左侧；即、异号时，对称轴在轴右侧。 3大小确定抛物线与轴交点位置。 当时，抛物线与轴有且只有一个交点0，：，抛物线经过原点； ,与轴交于正半轴；,与轴交于负
19、半轴。 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线对称轴在轴右侧，那么 。10、几种特殊二次函数图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下轴0,0轴(0, )(,0)(,)()11、用待定系数法求二次函数解析式1一般式：。图像上三点或三对、值，通常选择一般式。 2顶点式：.图像顶点或对称轴，通常选择顶点式。 3交点式：图像与轴交点坐标、，通常选用交点式：。题12：关于x一元二次方程x2-2(m-1)x(m2-1)0，有两个实数根x1、x2，且x12x224求m值。题13：先化简，再求值： ，其中题14：在平面直角坐标系中，B(1，0)，点A在第一象限内，且AO
20、B60，ABO45。(1)求点A坐标；(2)求过A、O、B三点抛物线解析式；(3)动点P从O点动身，以每秒2个单位速度沿OA运动到点A止，假设POB面积为S，写出S与时间t(秒)函数关系；是否存在t，使POB外心在x轴上，假设不存在，请你说明理由；假设存在，恳求出t值。12、直线与抛物线交点1轴与抛物线得交点为(0, )。 2与轴平行直线与抛物线有且只有一个交点(,)。 3抛物线与轴交点。二次函数图像与轴两个交点横坐标、，是对应一元二次方程两个实数根。抛物线与轴交点状况可以由对应一元二次方程根判别式断定： 有两个交点抛物线与轴相交； 有一个交点顶点在轴上抛物线与轴相切； 没有交点抛物线与轴相离
21、。 4平行于轴直线与抛物线交点：同3一样可能有0个交点、1个交点、2个交点。当有2个交点时，两交点纵坐标相等，设纵坐标为，那么横坐标是两个实数根。 5一次函数图像与二次函数图像交点，由方程组 解数目来确定：方程组有两组不同解时与有两个交点；方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点。 6抛物线与轴两交点之间间隔 ：假设抛物线与轴两交点为，由于、是方程两个根，故：第七章 锐角三角函数1正切：定义：在RtABC中，锐角A对边与邻边比叫做A正切，记作tanA，即;tanA是一个完好符号，它表示A正切，记号里习惯省去角符号“；tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A对边与邻边比
22、；tanA不表示“tan乘以“A；初中阶段，我们只学习直角三角形中，A是锐角正切；tanA值越大，梯子越陡，A越大； A越大，梯子越陡，tanA值越大。2正弦：定义：在RtABC中，锐角A对边与斜边比叫做A正弦，记作sinA，即;3余弦：030 45 60 90 sin01cos10tan01定义：在RtABC中，锐角A邻边与斜边比叫做A余弦，记作cosA，即;4在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外元素，求出全部未知元素过程，叫做解直角三角形。在ABC中，C为直角，A、B、C所对边分别为a、b、c，那么有 (1)三边之间关系：a2+b2=c2；(
23、2)两锐角关系：AB=90； (3)边与角之间关系：面积公式:(hc为C边上高); 5直角三角形内切圆半径 =面积2倍除以周长6直角三角形外接圆半径7特殊角三角函数值如右表所示：8解直角三角形几种根本类型列表如下：如图2，坡面与程度面夹角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母i表示，即从某点指北方向按顺时针转到目的方向程度角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC方位角分别为45、135、225。指北或指南方向线与目的方向线所成小于90程度角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD方向角分别是；北偏东30，南偏东45(东南方向)、南偏西为60，北偏西60。第八，九章 统计与概率在频率分布表里，落在
24、各小组内数据个数叫做频数；每一小组频数与数据总数比值叫做这一小组频率； 即：在频率分布直方图中，由于各个小长方形面积等于相应各组频率，而各组频率和等于1。因此，各个小长方形面积和等于1。频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布两种不同表示形式，前者精确，后者直观。用一件事务发生频率来估计这一件事务发生概率。可用列表方法求出概率，但此方法不太适用较困难状况。假设布袋内有m个黑球，通过屡次试验，我们可以估计出布袋内随机摸出一球，它为白球概率；要估算池塘里有多少条鱼，我们可先从池塘里捉上100条鱼做记号，再放回池塘，之后再从池塘中捉上200条鱼，假如其中有10条鱼是有标记，再设池塘共有x条鱼，那
25、么可按照估算出鱼条数。留意估算出来数据不是准确，所以应谓之“约是XX生活中存在大量不确定事务，概率是描绘不确定现象数学模型，它能精确地衡量出事务发生可能性大小，并不表示肯定会发生。试验频率与理论概率关系只是在试验次数许多时,试验频率接近于理论概念,但试验次数再多,也很难保证明验结果与理论值相等,这就是“随机事务特点.嬉戏公允吗1. 嬉戏公允性是指嬉戏双方各有50%赢时机,或者嬉戏多方赢时机相等.2. 表示一个事务发生可能性大小数叫做该事务概率.一个事务发生概率取值在0与1之间.3. 概率预料计算方法:某事务A发生概率:4. 用分析方法求事务发生概率要留意关键性两点:(1)要弄清晰我们关注是发生哪个或哪些结果;(2)要弄清晰全部时机均等结果.