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1、1.两种平面问题的根本概念和根本方程；答：弹性体在满足确定条件时，其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形和应力的分布规律来代替，这类问题称为平面问题。平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。平面应力问题设有张很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变更的面力，体力也平行于板面且不沿厚度变更。由于平板很薄，外力不沿厚度变更，因此在整块板上有：，剩下平行于XY面的三个应力重量未知。平面应变问题设有很长的柱体，支承状况不沿长度变更，在柱面上受到平行于横截面而且不沿长度变更的面力，体力也如此分布。平面问题的根本方程为：平衡方程几何方程物理方程弹性力学平面问题的物理方程由广义虎克定律
2、得到 平面应力问题的物理方程平面应力问题有 平面应变问题的物理方程平面应变问题有在平面应力问题的物理方程中，将E替换为, 替换为，可以得到平面应变问题的物理方程；在平面应变问题的物理方程中，将E替换为, 替换为，可以得到平面应力问题的物理方程。2弹性力学中的根本物理量和根本方程；答：根本物理量有：空间弹性力学问题共有15个方程，3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。其中包括6个应力重量，6个应变重量，3个位移重量。平面问题共8个方程，2个平衡方程，3个几何方程，3个物理方程，相应3个应力重量，3个应变重量，2个位移重量。根本方程有：1.平衡方程及应力边界条件：平衡方程：边界条件：2.几何方
3、程及位移边界条件：几何方程：边界条件：3.物理方程:3.有限元中运用的虚功方程。对于刚体，作用在其上的平衡力系在随意虚位移上的总虚功为0，这就是刚体的平衡条件，或者称为刚体的虚功方程。对于弹性变形体，其虚位移原理为：在外力作用下处于平衡的弹性体，当赐予物体微小的虚位移时，外力的总虚功等于物体的总虚应变能。设想一处于平衡状态的弹性体发生了随意的虚位移,相应的虚应变为,作用在微元体上的平衡力系有X,Y,Z和面力。外力的总虚功为实际的体力和面力在虚位移上所做的功，即：在物体产生微小虚变形过程中，整个弹性体内应力在虚应变上所做的功为总虚应变能，即：其中为弹性体单位体积内的应力在相应的虚应变上做的虚功，
4、由此得到虚功方程：4.节点位移，单元位移及它们的关系。自己写的，没找到答案答：节点位移：坐标系中各个单元节点在各自的自由度上产生的移动。单元位移：反响单元内个点的位移量的函数表达。关系：单元位移可由节点位移差值构造，即通过节点位移构造单元位移函数，从而反响单元内个点的位移。5.单元位移函数的概念及性质答：由弹性力学知，假如弹性体的位移重量是坐标的己知函数，就可由几何方程求得应变重量，再由弹性方程求得应力重量。但是，假如仅知道弹性体(或单元)中几个点(例如节点)的位移重量的数值，是不能干脆求得其应变重量和应力重量的。为了能用节点位移重量表示单元上的应变, 应力等，首先就必需把单元上任一点的位移重
5、量表示为坐标的某种函数。当然，这些函数在上述几个节点上的数值，应当等于其己知值。这种做法，事实上是假定单元上各点按某种模式变形，各点的位移值那么是由己知点(节点)按这种模式插值取得。接受的函数称为位移函数或位移模式。对于一个困难的弹性体，想要用某种连续函数来描述整体内任一点的位移是不大可能的。但当把弹性体离散化为许多细小的单元，那么在一个单元的局部范围内是可以把某一点的位移近似地表达为其坐标函数的，这一表达式就是单元位移模式或者叫单元位移函数。性质：1.在单元节点上的形态函数的值为1或者0 2.在单元中的任一点上，三个形态函数之和等于1.用来计算三角形面积时，要留意单元节点的排列依次，当三个节
6、点i，j，m取逆时针依次时，A0，反之小于0.6.节点力, 等效节点力节点力：通过节点来传递的力。利用虚功方程建立刚度方程，把作用在每个单元上的载荷都移置到各节点之后，各单元所受的力就只有通过节点传递的节点力。节点力在节点的的虚位移上所做的虚功等于单元内部应力在虚应变上所做的虚功。等效节点力：依据有限元法的离散思想，外载荷必需作用在节点上，而实际的外载荷由往往并不是通过节点作用的。因此，必需将这些非节点载荷依据确定的原那么移置到节点上，即所谓的等效节点载荷处理。这种移置必需满足静力等效原那么，因为只有这样才能使得这种移置所引起的误差只局限于局部，而不至于影响整体构造的应力状态圣文南原理。通常对
7、刚体而言的静力等效是指移置前后的两个载荷系统在任一轴上的投影之和彼此相等，对任一轴的力矩之和也彼此相等。但是对于具有三个或者三个以上节点的弹性体单元，假设按刚体静力等效原那么来移置载荷，其结果不是唯一的。在有限元法中，是按虚功等效的原那么来移置，即移置前的原载荷及移置后的节点载荷在随意虚位移上的虚功相等。在确定的位移函数下，这样移置的结果是唯一的。7.如何由单元节点位移导出单元位移函数, 单元应变, 单元应力和，如何建立单元节点位移和单元节点力之间的关系。8.单元刚度矩阵的物理意义性质物理意义：单位节点的位移重量所引起的节点力。例如：km n是表示当单元第n个自由度产生单位位移而其他自由度固定
8、时，在第m个自由度产生的节点力。具体参数在PPT上，没打出来表示结点S(S=i,j,m)在水平方向, 垂直方向产生单位位移时，在结点r(r=i,j,m)上分别所要施加的水平结点力和垂直结点力的大小。例如表示结点j在垂直方向产生单位位移时，在结点i所须要施加的水平结点力的大小。性质：1, ke是对称阵。其元素之间有如下关系：krs=ksr，这一特性是由弹性力学中的功的互等定理所确定的。2, ke是奇异阵。ke的每一行每一列元素之和均为0，其物理意义就是：在无约束条件下，单元可做刚体运动。依据行列式性质，可知值也为0。9.整体刚度矩阵的物理意义性质物理意义：刚度矩阵中的元素是刚度系数，即由单位结点
9、位移引起的结点力。性质：1, 总刚度矩阵是对称矩阵。2, 总刚度矩阵呈稀疏带状分布。因为任一节点只及绕它的相邻单元发生联系，所以k中的每一行含有大量的零元素，而非零元素往往分布在对角线主元素的旁边。3, 总刚度矩阵式奇异阵。10.有限元的根本原理及解题过程；根本原理：有限元法是将连续体志向化成为有限个单元集合而成，这些单元仅在有限个节点上相连接，亦即用有限个单元的集合来代替原来具有无限个自由度的连续体。由于有限元单元的分割和节点的配置特殊灵敏，它可以适用于随意困难的几何形态，处理不同的边界条件。在有限元单元集合体的根底上，对每一单元假设一个简洁的位移函数来近似模拟其位移分布规律，通过虚位移原理
10、求得每个单元的平衡方程，即建立起单元节点力和节点位移之间的关系。最终把全部的单元的这种特性关系集合起来，就可建立整个物体的平衡方程组。考虑边界条件后，解此方程组求得节点位移，并计算出各单元应力。解题过程：1, 首先绘出构造集合简图，在此根底上将构造离散化。包括划分单元跟等效节点载荷。2, 其次进展单元分析。计算每个单元的刚度矩阵。依据各单元所受载荷，利用载荷移置公式，得到每个单元的等效节点力载荷。3, 组装总刚度矩阵，组集构造节点载荷矩阵，引入约束条件，解线性方程组，即可求得包括节点位移重量在内的全部节点位移。4, 最终求得单元应力和节点应力。整理计算结果并绘制出构造变形图及各种应力重量的等值
11、曲线图。11.等参元的概念及单元分析过程；首先导出关于局部坐标系的规整形态的单元母单元的高阶位移模式的形函数，然后利用形函数进展坐标变换，得到关于整体坐标系的困难形态的单元子单元，假如子单元的位移函数插值结点数及其位置坐标变换结点数相等，其位移函数插值公式及位置坐标变换式都用一样的形函数及结点参数进展插值，那么称其为等参元12.轴对称三节点三角形单元, 四节点四面体单元, 8节点六面体单元的形函数, 自由度。答：1, 轴对称三节点三角形单元的自由度为6 。其形函数为：其中2, 四节点四面体单元自由度为12 。其形函数为：其中3, 8节点六面体单元自由度为24 。其形函数为：其中式中,单元节点i
12、的坐标。14. 杆单元及梁单元的区分。答：依据力学理论，有些杆件可以简化为只能承受轴向力的杆，有些杆件可以简化为既能承受轴向力又能承受弯矩的梁。在有限元方法中，将模拟杆的单元称为杆单元，将模拟梁的单元称为梁单元。所以它们的区分就是能否承受弯矩。15. 杆单元及梁单元的刚度矩阵推导。16.弹性力学薄板问题的根本假设，根本物理量和根本方程。答：根本假设：1, 变形前垂直于中面的直法线在变形后仍是弹性曲面的法线。2, 板的中面只发生弯曲变形，没有面内的伸缩变形，即无平行于中面的变形。3, 忽视沿厚度方向的挤压变形。即z方向上应力应变均为0 。根本物理量及根本方程：1位移：2应变：3应力：4内力矩：1
13、7.四节点薄板单元矩形单元的自由度。答：矩形板单元有四个角节点，每个节点有三个参数：挠度，以及绕x, y轴的转角，所以总共有12个自由度。18.为什么要引入等参单元的局部坐标系？有什么特点和好处？答：以四节点单元为例，在建立位移模式时出现一个新问题：假如干脆用x，y坐标系下的双线性位移模式，由于随意四边形单元的边界及坐标轴不平行，因此位移沿边界呈二次函数变更，单元在公共边界上不满足协调性。因此须建立一种新的局部坐标系-坐标系，使得4条边上有一个局部坐标为常数1，即所谓的局部坐标系。特点和好处：单元内，全部点的坐标, 均在-1到+1之间。所以该坐标系可以称为单元的自然坐标系。可以证明，在局部坐标
14、系状况下，位移模式关于, 坐标是双线性位移模式，而在x，y坐标系下不是双线性位移模式。由于实际单元的边界上有一个局部坐标为常数，因此位移沿单元边界限性变更，能保证单元的协调性。19.简述动力学有限元方程。答：首先由于动力载荷随时间变更，所以简化到节点上的载荷应当表示为时间的函数。其次，依据达朗贝尔原理，在运动的过程中，有加速度的物体应有附加的惯性力载荷。另外，运动的质点还会受到阻尼力。最终将这些力叠加起来，得到一个力系平衡方程，即：式中，M, C分别称为总体质量矩阵和总体阻尼矩阵。K为刚度矩阵。并且：上式就是动力有限元方程，它是节点位移的二阶微分方程。20.轴对称三节点三角形单元是不是常应变单元？为什么 答：轴对称三节点三角形单元不是常应变单元。因为对于轴对称三节点三角形单元有其中： ，可以看出，单元中的应变重量，都是常量，但是环向应变不是常量，而是坐标r和z的函数，所以轴对称三节点三角形单元不是常应变单元。