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1、一、图形的变换图形变换的根本方式是平移、对称和旋转。1、轴对称: 假如一个图形沿着一条直线对折后两局部完全重合，这样的图形叫做轴对称图形， 这条直线叫做对称轴。 等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，学过的轴对称平面图形： 长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，随意梯形和平行四边形不是轴对称图形。圆有多数条对称轴。轴对称图形的特征和性质：对称点到对称轴的间隔 相等；对对称点的连线与对称轴垂直；对称轴两边的图形大小、形态完全一样。对称图形包括 轴对称图形 中心对称图形。平行四边形（除棱形）属于中心对称图形。2、 旋转：在平面内，一个图形围着一个顶点旋转肯定的角度
2、得到另一个图形的变更较做旋转，定点O叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点。（1）生活中的旋转：电风扇、车轮、纸风车（2）旋转要明确绕点，角度和方向。（3）长方形绕中点旋转180度与原来重合，正方形绕中点旋转90度与原来重合。等边三角形绕中点旋转120度与原来重合。旋转的性质：（1）图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置挪动；（2）其中对应点到旋转中心的间隔 相等；（3）旋转前后图形的大小和形态没有变更；（4）两组对应点非别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；（5）旋转中心是唯一不动的点。3、旋转要留意：顺时针、逆时针、
3、度数因数和倍数整数1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。自然数 整数与自然数的关系：整数包括自然数。 大数能被小数整除时大数小数3、 因数、倍数： 大数是小数的倍数， 小数是大数的因数。例：12是6的倍数，6是12的因数。（1） 数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是互相依存的，不能单独存在。（2） 一个数的因数的个数是有限的，其中 最小的因数是1，最大的因数是它本身。 一个数的因数的求法：（用除法）成对地按依次找。 例如：求36的因数：从自然数一开场逐一往下除，不能整除的跳过始终除到商和除数有重复，其中除数和商都是被除数的因数，重复数保存一个按箭头方向
4、把因数有序排列。36363636363618129612346= 因此36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36提示：找因数要做到不重不漏（3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。 一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。（4）2、3、5的倍数特征1） 个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。2）一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。3）个位上是0或5的数，是5的倍数。4）能同时被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍数） 的最大的两位数是90，2、3、5的倍数特征最小的三位数是120。同时满意2、3、5的倍数，实际是求235=30的倍数。5） 假如一个数同
5、时是2和5的倍数，那它的个位上的数字肯定是0。 拓展进步 2的倍数：若一个整数的个位数字是0、2、4、6或8，则这个数就能被2整除。 3的倍数：若一个整数的各位数字的和能被3整除，则这个整数就能被3整除。 4的倍数： 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数就能被4整除。 5的倍数：若一个整数的末位是0或5，则这个数就能被5整除。 6的倍数：若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。 7的倍数：若 一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，假如差是7的倍数，则原数能被7整除。假如差太大或心算不易看出是否7的倍数，就须要接着上 述截尾、倍大、相减、验差的过程，直到能清晰推断
6、为止。例如，推断133是否7的倍数的过程如下：13327，所以133是7的倍数；又例如判 断6139是否7的倍数的过程如下：61392595 ， 595249，所以6139是7的倍数，余类推。 8的倍数：若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。 9的倍数：若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。11的倍数：两种方法： 若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。若 一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数，假如差是11的倍数，则原数能被11整除。假如差太大或心算不易看出是否11的倍数，就须要接着上 述截尾、倍大、相减、验差的
7、过程，直到能清晰推断为止。例如，推断165是否11的倍数的过程如下：165=11，所以165是11的倍数；又例如 推断2112是否11的倍数的过程如下：2112209 ， 20911，所以2112是11的倍数，余类推。13的倍数：若 一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，假如差是13的倍数，则原数能被13整除。假如差太大或心算不易看出是否13的倍数，就须要 接着上述截尾、倍大、相加、验差的过程，直到能清晰推断为止。例如，推断247是否13的倍数的过程如下：24+74=52，所以247是13的倍 数；又例如推断2496是否13的倍数的过程如下：249+64273 ， 27+3
8、439，所以2496是13的倍数，余类推。17的倍数：若 一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，假如差是17的倍数，则原数能被17整除。假如差太大或心算不易看出是否17的倍数，就须要 接着上述截尾、倍大、相减、验差的过程，直到能清晰推断为止。例如，推断221是否17的倍数的过程如下：2215=17，所以221是17的倍 数；又例如推断4318是否17的倍数的过程如下：43185391 ，391534，所以4318是17的倍数，余类推。 19的倍数：若 一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，假如差是19的倍数，则原数能被19整除。假如差太大或心算不易看出是
9、否19的倍数，就须要 接着上述截尾、倍大、相加、验差的过程，直到能清晰推断为止。例如，推断646是否19的倍数的过程如下：64+62=76，所以646是19的倍 数；又例如推断1691是否19的倍数的过程如下：169+12171 ，17+1219，所以1691是19的倍数，余类推。 若 一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。（注：隔出数，就是一个数扣除末三位后剩下的数字。例如5012的隔出数 就是5；12590的隔出数就是12。）例如：推断21128是否19的倍数的过程如下：217128=19，所以21128是19的倍数。23的倍数：若 一个整数的末四位与
10、前面5倍的隔出数的差能被23整除，则这个数能被23整除。（注：这里的隔出数，是一个数扣除末四位后剩下的数字。）例如：推断 2271595是否23的倍数的过程如下：15952275=460，460是23的倍数，所以2271595是23的倍数。29的倍数：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被29整除，则这个数能被29整除。例如：推断32625是否29的倍数的过程如下：262535=2610，2610是23的倍数，所以32625是29的倍数。另外，其他数的倍数的特征可综合起来考虑：如：15的倍数就是3的倍数和5的倍数的综合。26的倍数就是13的倍数和2的倍数的综合。3、完全数：除了它本身以外
11、全部的因数的和等于它本身的数叫做完全数。如：6的因数有：1、2、3（6除外），刚好1+2+3=6，所以6是完全数，小的完全数有6、28等4：自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数。 奇数：不能被2整除的数。叫奇数。也就是个位上是1、3、5、7、9的数。偶数：能被2整除的数叫偶数（0也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数。最小的奇数是1，最小的偶数是0. 关系： 奇数+、- 偶数=奇数 奇数+、- 奇数=偶数 偶数+、-偶数=偶数。 偶数 偶数=偶数奇数 偶数=偶数 奇数 奇数=奇数 5、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类. 质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。合数：除
12、了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。1： 只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。0： 每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘肯定得合数。 100以内的质数有25个： 连续的两个质数是2、3。100以内找质数、合数的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。关系： 质数质数=合数6、最大、最小A的最小因数是：1； 最小的奇数是：1；A的最大因数是：A； 最小的偶数是：0；A的最小倍数是：A； 最小的质数是：2；最小的自然数是：0； 最小的合数是：4；7、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。用短除法分解质因数
13、（一个合数写成几个质数相乘的形式）。比方：8、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。两数互质的特别状况：1和任何自然数互质；两个质数肯定互质；2和全部奇数互质； 质数与比它小的合数互质；相邻两个自然数互质；9、公因数、最大公因数几个数公有的因数叫这些数的公因数其中最大的那个就叫它们的最大公因数。用短除法求两个数或三个数的最大公因数 （除到互质为止，把全部的除数连乘起来）几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。 假如两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数。假如两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。10、公倍数、最小公倍数几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的
14、最小公倍数。用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把全部的除数和商连乘起来）用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把全部的除数和商连乘起来）假如两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。假如两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。 11、求最大公因数和最小公倍数方法用12和16来举例求法一：（列举求同法）最大公因数的求法：12的因数有：1、12、2、6、3、416的因数有：1、16、2、8、4最大公因数是42、求法二：（分解质因数法）12=22316=2222最大公因数是：22=4 （一样乘）最小公倍数是：22 322= 48 （一样乘 不同乘）最小公倍数的求法
15、：12的倍数有：12、24、36、48、16的倍数有：16、32、48、最小公倍数是48三 长方体和正方体1、 由6个长方形（特别状况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。长方体特点：（1）有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。（2）一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形。2、由6个完全一样的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。正方体特点：（1）正方体有12条棱，它们的长度都相等。（2）正方体有6个面，
16、每个面都是正方形，每个面的面积都相等。（3）正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特别的长方体。一样点不同点面棱长方体都有6个面，12条棱，8个顶点。6个面都是长方形。（有可能有两个相对的面是正方形）。相对的棱的长度都相等正方体6个面都是正方形。12条棱都相等。3、长方体、正方体有关棱长计算公式：长方体的棱长总和=（长+宽+高）4长4+宽4+高4 L=（abh）4 长=棱长总和4宽 高 a=L4bh宽=棱长总和4长 高 b=L4ah高=棱长总和4长 宽 h=L4ab正方体的棱长总和=棱长12 L=a12 正方体的棱长=棱长总和12 a=L124、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的外
17、表积。长方体的外表积=（长宽长高宽高）2 S=2（abahbh）无底（或无盖）长方体外表积= 长宽（长高宽高）2 S=2（abahbh）ab S=2（ahbh）ab无底又无盖长方体外表积=（长高宽高）2 S=2（ahbh） 贴墙纸正方体的外表积=棱长棱长6 S=aa6 用字母表示： S= 6a2生活实际：油箱、罐头盒等都是6个面游泳池、鱼缸等都只有5个面水管、烟囱等都只有4个面。留意1：用刀分开物体时，每分一次增加两个面。（外表积相应增加）留意2：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，外表积会扩大倍数的平方倍。（如长、宽、高各扩大2倍，外表积就会扩大到原来的4倍）。5、物体所占空间的大小叫做
18、物体的体积。长方体的体积=长宽高 V=abh 长=体积宽高 a=Vbh 宽=体积长高 b=Vah 高=体积长宽 h= Vab正方体的体积=棱长棱长棱长 V=aaa = a3 读作“a的立方”表示3个a相乘，（即aaa） 长方体或正方体底面的面积叫做底面积。长方体（或正方体）的体积=底面积高 用字母表示：V=S h（横截面积相当于底面积，长相当于高）。留意：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不肯定相等。6、箱子、油桶、仓库等所能包容物体的体积，通常叫做他们的容积。固体一般就用体积单位，计量液体的体积，如水、油等。常用的容积单位有升和毫升也可以写成L和ml。 1升=1立方分米 1毫升=1
19、立方厘米 1升=1000毫升 （1 L = 1 dm3 1 ml = 1 cm3）长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法一样。但要沉着器里面量长、宽、高。（所以，对于同一个物体，体积大于容积。）留意：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。（如长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的8倍）。 *形态不规则的物体可以用排水法求体积，形态规则的物体可以用公式干脆求体积。排水法的公式：V物体 =V如今V原来也可以 V物体 =S(h如今- h原来) V物体 = Sh上升进率8、【体积单位换算】大单位 小单位进率小单位 大单位进率：1立方米1000立方分米1000
20、000立方厘米 （立方相邻单位进率1000） 1立方分米1000立方厘米1升1000毫升 1立方厘米1毫升 1平方米=100平方分米=10000平方厘米 1平方千米=100公顷=1000000平方米留意：长方体与正方体关系把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，外表积增加了，体积不变。重量单位进率，时间单位进率，长度单位进率进率【单位换算】 大单位 小单位进率小单位 大单位长度单位：1千米 =1000 米 1 分米=10 厘米 1厘米=10毫米 1分米=100毫米 1米=10分米=100厘米=1000毫米 （相邻单位进率10）面积单位：1平方千米=100公顷 1平方米=100平方分米
21、 1平方分米=100平方厘米 1公顷=10000平方米 （平方相邻单位进率100）质量单位：1吨=1000千克 1千克=1000克四 分数的意义和性质1、分数的意义：一个物体、一物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。2、单位“1”：一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。（也就是把什么平均分什么就是单位“1”。）2、 分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。如的分数单位是。3、 分数与除法AB=（B0，除数不能为0，分母也不可以为0） 例如： 45=5、真分数和假分数、带分数 1、真分数：分子比分母小的
22、分数叫真分数。真分数1。 2、假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。假分数1 3、带分数：带分数由整数和真分数组成的分数。带分数1.4、真分数1假分数 真分数1带分数6、假分数与整数、带分数的互化（1）假分数化为整数或带分数，用分子分母，商作为整数，余数作为分子， 如：=105=2 =215=4（2）整数化为假分数，用整数乘以分母得分子 如：2= 24=8 （8作分子）（3）带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变，如：5= 55+1=26（4）1等于任何分子和分母一样的分数。如：1=7、分数的根本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以一样的数（0除外
23、），分数的大小不变。8、最简分数：分数的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。学问拓展：一个最简分数，假如分母中除了2和5以外，不含其他的质因数，就可以化 成有限小数。反之则不行以。9、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比拟小的分数，叫做约分。如：=10、 通分：把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫做通分。如： 和 可以化成和11、分数和小数的互化（1）小数化为分数：数小数位数。一位小数，分母是10；两位小数，分母是100 如：0.3= 0.03= 0.003=（2）分数化为小数： 方法一：把分数化为分母是10、100、1000如：=0.3 =0.6 =0.25
24、方法二：用分子分母 如：=34=0.75（3）带分数化为小数：先把整数后的分数化为小数，再加上整数 如：2=2+0.3=2.312、比分数的大小： 分母一样，分子大，分数就大；分子一样，分母小，分数才大。通分后比拟；化成小数比拟。13、 分数化简包括两步： 一是约分；二是把假分数化成整数或带分数。=0.5 =0.25 =0.75 =0.2 =0.4 =0.6 =0.8 =0.125 =0.375 =0.625 =0.875 =0.05 =0.04。14、两个数互质的特别推断方法： 1和任何大于1的自然数互质。 2和任何奇数都是互质数。 相邻的两个自然数是互质数。 相邻的两个奇数互质。 不一样的
25、两个质数互质。当一个数是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数状况下），一般状况下这两个数也都是互质数。15、求最大公因数的方法： 倍数关系： 最大公因数就是较小数。 互质关系： 最大公因数就是1 一般关系： 从大到小看较小数的因数是否是较大数的因数。2、带分数加减法: 带分数相加减，整数局部和分数局部分别相加减，再把所得的结果合并起来。附：详细说明（一）同分母分数加、减法1、同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减。2、计算的结果，能约分的要约成最简分数。（二）异分母分数加、减法1、分母不同，也就是分数单位不同，不能干脆相加、减。2、异分母分数相加、减，要先通分，再根据同分母分数加
26、减法的方法进展计算。（三）分数加减混合运算1、分数加减混合运算的运算依次与整数加减混合运算的依次一样。在一个算式中，假如有括号，应先算括号里面的，再算括号外面的；假如只含有同一级运算，应从左到右依次计算。2、整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用。3、 六 统计与数学广角复式折线统计图 综合应用 打 的最优方案1、众数： 一组数据中出现次数最多的一个数或几个数，就是这组数据的众数。众数可以反映一组数据的集中状况。在一组数据中，众数可能不止一个，也可能没有众数。2、中位数： （1）按大小排列；（2）假如数据的个数是单数，那么最中间的那个数就是中位数；（3）假如数据的个数是双数，那么最中间的那
27、两个数的平均数就是中位数。3、平均数的求法：总数总份数=平均数4、一组数据的一般程度： （1）当一组数据中没有偏大偏小的数，也没有个别数据屡次出现，用平均数表示一般程度。 （2）当一组数据中有偏大或偏小的数时，用中位数来表示一般程度。 （3）当一组数据中有个别数据屡次出现，就用众数来表示一般程度。4、平均数、中位数和众数的联络与区分: 平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。 简单受极端数据的影响，表示一组数据的平均状况。 中位数：将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数 。 它不受极端数据的影响，表示一组数据的一般状况。 众数：在一组数
28、据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。它不受极端数据的影响，表示一组数据的集中状况。 4、 统计图：我们学过 条形统计图、 复式折线统计图。条形统计图优点：条形统计图能形象地反映出数量的多少。折线统计图优点：折线统计图不仅能表示出数量的多少，还能反映出数量的变更状况。注： 画图时留意：一“点”（描点）、 二“连”（连线） 三“标”（标数据）。要用不同的线段分别连接两组数据中的数。6、 打 ：规律人人不闲着，每人都在传。（技巧：已知人数依次 2）（1）逐个法：所需时间最多。（2）分组法：相对节约时间。（3）同时进展法：最节约时间。七 数学广角用天平找次品规律：1、把全部物品尽可能平均地分成3份，（如余1则放入到最终一份中；如余2则分别放入到前两份中），保证找出次品而且称的次数肯定最少。2、数目与测试的次数的关系：23个物体，保证能找出次品须要测的次数是1次 49个物体，保证能找出次品须要测的次数是2次 1027个物体，保证能找出次品须要测的次数是3次 2881个物体，保证能找出次品须要测的次数是4次 82243个物体，保证能找出次品须要测的次数是5次244729个物体，保证能找出次品须要测的次数是6次3、找次品规律 1 2 3 4 5 次数3 33 333 3333 33333 3 9 27 81 243 次品个数