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1、 数 学N单元 选修4系列 N1 选修4-1 几何证明选讲152014广东卷 (几何证明选讲选做题)如图11所示，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB2AE，AC与DE交于点F，则_图11153解析 本题考察相像三角形的性质定理，周长比等于相像比EB2AE，AEABCD.又四边形ABCD是平行四边形，AEFCDF，3.212014江苏卷 A选修41：几何证明选讲如图17所示，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点证明：OCBD.图17证明：因为B，C是圆O上的两点，所以OBOC，所以OCBB.又因为C，D是圆O上位于AB异侧的两点，所以B，D为同弧所对的两个圆周角，所以BD，
2、因此OCBD.2014江苏卷 B选修42：矩阵与变换已知矩阵A，B，向量，x，y为实数若，求xy的值解：由已知得，)，B)因为，所以)故解得所以xy.222014辽宁卷 选修41：几何证明选讲图16如图16，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PGPD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径； (2)若ACBD，求证：ABED.22证明：(1)因为PDPG，所以PDGPGD.由于PD为切线，故PDADBA.又由于PGDEGA，故DBAEGA，所以DBABADEGABAD，从而BDAPFA.因为AFEP，所以PFA90，所以BDA90，故
3、AB为圆的直径(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故BDAACB90.在RtBDA与RtACB中，ABBA，ACBD，从而RtBDARtACB，所以DABCBA.又因为DCBDAB，所以DCBCBA，故DCAB.因为ABEP，所以DCEP，DCE为直角所以ED为直径又由(1)知AB为圆的直径，所以EDAB.222014新课标全国卷 选修41：几何证明选讲如图15，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明：(1)BEEC；(2)ADDE2PB2.图1522证明：(1)连接AB，AC.由题设知PAPD，故PADPD
4、A.因为PDADACDCA，PADBADPAB，DCAPAB，所以DACBAD，从而BEEC.因此BEEC.(2)由切割线定理得PA2PBPC.因为PAPDDC，所以DC2PB，BDPB.由相交弦定理得ADDEBDDC，所以ADDE2PB2.222014全国新课标卷 选修41：几何证明选讲如图15，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CBCE.图15(1)证明：DE；(2)设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：ADE为等边三角形22证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以DCBE.由已知得CBEE，故DE.(2)设BC的中点为N，连接M
5、N，则由MBMC知MNBC，故点O在直线MN上又AD不是O的直径，M为AD的中点，故OMAD，即MNAD，所以ADBC，故ACBE.又CBEE，故AE.由(1)知，DE，所以ADE为等边三角形15 2014陕西卷 B.(几何证明选做题)如图13所示，ABC中，BC6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC2AE，则EF_图13153 解析由题目中所给图形的位置关系，可知AEFACB，又AA，所以AEFACB，所以.又AC2AE，BC6，所以EF3.72014天津卷 如图11所示，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F
6、.在上述条件下，给出下列四个结论：BD平分CBF；FB2FDFA；AECEBEDE；AFBDABBF.则全部正确结论的序号是()A BC D7D解析 DBCDAC，DBFDAB，且DACDAB，DBCDBF，BD平分CBF，ABFBDF，ABBFAFBD，BF2AFDF.故正确由相交弦定理得AEDEBECE，故错误N2 选修4-2 矩阵N3 选修4-4 参数与参数方程142014广东卷 (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2cos2sin 与cos 1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为_14(1
7、，2)解析 本题考察极坐标方程与直角坐标方程的转化以及曲线交点坐标的求解曲线C1的直角坐标方程是2x2y，曲线C2的直角坐标是x1.联立方程C1与C2得解得所以交点的直角坐标是(1，2)122014湖南卷 在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的一般方程为_12xy10解析 依题意，消去参数可得x2y1，即xy10.32014江苏卷 C选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，求线段AB的长解：将直线l的参数方程代入抛物线方程y24x，得4，解得t10，t28 ，所以AB|t1t2|8 .232014辽宁卷
8、 选修44：坐标系与参数方程将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程23解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，经变换为C上的点(x，y)，依题意，得由xy1得x21，即曲线C的方程为x21.故C的参数方程为(t为参数)(2)由解得或不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率k，于是所求直线方程为y1，即2x4y3，化为极坐标方程，得2 cos 4sin 3，
9、即.232014新课标全国卷 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos ，.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：yx2垂直，依据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标23解：(1)C的一般方程为(x1)2y21(0y1)可得C的参数方程为(t为参数，0t)(2)设D(1cos t，sin t)由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率一样，tan t，t.故D的直角坐标为，即.232014全国新课标卷 选修44：坐标系与
10、参数方程已知曲线C：1，直线l：(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程、直线l的一般方程；(2)过曲线C上随意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值23解：(1)曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的一般方程为2xy60.(2)曲线C上随意一点P(2cos ，3sin )到直线l的间隔 d|4cos 3sin 6|，则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan .当sin()1时，|PA|获得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|获得最小值，最小值为.15 2014陕西卷 C.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点到直线 sin1的间隔 是_15 1
11、解析易知点的直角坐标为(，1)，直线sin1的直角坐标方程为xy20.由点到直线间隔 公式，得d1.N4 选修4-5 不等式选讲42014江苏卷 D选修45：不等式选讲已知x0，y0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy.证明：因为x0，y0，所以1xy230，1x2y30，故(1xy2)(1x2y)339xy.152014江西卷 x，yR，若|x|y|x1|y1|2，则xy的取值范围为_150，2解析 |x|y|x1|y1|2|x|y|x1|y1|20xy2.242014辽宁卷 选修45：不等式选讲设函数f(x)2|x1|x1，g(x)16x28x1.记f(x)1的解集为M，g(x)4的解集
12、为N.(1)求M；(2)当xMN时，证明：x2f(x)xf(x)2.24解：(1)f(x)当x1时，由f(x)3x31得x，故1x；当x1时，由f(x)1x1得x0，故0x1.所以f(x)1的解集M.(2)由g(x)16x28x14得164，解得x，因此N，故MN.当xMN时，f(x)1x，于是x2f(x)xf(x)2xf(x)xf(x)xf(x)x(1x).242014新课标全国卷 选修45：不等式选讲设函数f(x)|xa|(a0)(1)证明：f(x)2；(2)若f(3)5，求a的取值范围24解：(1)证明：由a0 ，有f(x)|xa|a2，所以f(x)2.(2)f(3)|3a|.当a3时，
13、f(3)a，由f(3)5得3a.当0a3时，f(3)6a，由f(3)5得6，从而不存在a，b，使2a3b6.15 2014陕西卷 A.(不等式选做题)设a，b，m，nR，且a2b25，manb5，则的最小值为_15A. 解析由柯西不等式可知(a2b2)(m2n2)(manb)2，即5(m2n2)25，当且仅当anbm时，等号成立，所以 .12014长沙模拟 已知点P所在曲线的极坐标方程为2cos ，点Q所在曲线的参数方程为(t为参数)，则|PQ|的最小值是()A2 B.1C1 D.11D解析 易知点P在圆x2y22x0上，圆心为(1，0)，半径为1，点Q在直线2xy20上，故|PQ|的最小值是
14、11.42014株洲模拟 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)在极坐标系(与直角坐标系xOy取一样的长度单位，且以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴)中，直线C2的方程为(cos sin )10，则曲线C1与C2的交点的个数为_42解析 由题意，曲线C1的参数方程(为参数)可化为一般方程1，直线C2的极坐标方程(cos sin )10可化为一般方程xy10.联立两个方程，消去y可得1，即7x28x80.因为824780，所以直线与椭圆相交，且有两个交点52014湖南长郡中学月考 在极坐标系中，圆C1的方程为4 cos，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知
15、圆C2的参数方程为(a0，为参数)若圆C1与圆C2外切，则实数a_5.解析 依题意，4 cos4cos 4sin ，化成一般方程为x2y24x4y，即(x2)2(y2)28，即该圆的圆心为C1(2，2)，半径r12 .将(a0，为参数)化成一般方程为(x1)2(y1)2a2，即圆心为C2(1，1)，半径r2a.由丙点间两圆外切可得|C1C2|3 2 a，所以a.62014衡阳模拟 已知曲线C的极坐标方程为4cos .若以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，则曲线C的参数方程为_6.(为参数)解析 由曲线C的极坐标方程为4cos ，可得其一般方程为x2y24x，即(x2)2y24，
16、所以曲线C的参数方程为(为参数)72014湖南雅礼中学月考 已知极坐标系下曲线4sin 表示圆，则点A到圆心的间隔 为_72 解析 将曲线4sin 化成一般方程为x2y24y，则该圆的圆心为(0，2)，而点A的直角坐标为(2 ，2)，由两点间间隔 公式可得d2 .82014湖南十三校联考 以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的极坐标方程为2cos ，若直线l经过圆C的圆心，则常数a的值为_81解析 将直线l的参数方程(t为参数)化为一般方程为yxa，将圆C的极坐标方程2cos 化为一般方程为x2y22x，则圆心为(1，0)，代入直线yxa可得a1.