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1、高等数学竞赛 不定积分不定积分的概念与性质1、设，求2、设，求3、，试求函数利用根本积分法求不定积分一、 利用凑微分法求不定积分1、 求以下不定分;(1)2342、求以下不定积分1 23 4 5二、利用第二换元积分法求不定积分1、三角代换求以下积分1 2 3 42、倒代换即令求以下积分1 23、指数代换令那么1 24、利用分部积分法求不定积分1 23 455、建立以下不定积分的递推公式1 2有理函数的积分1、求以下不定积分1 2 32、求以下不定积分1 2 3 4简洁无理函数积分1、 2、三角有理式积分1、 2、 3、4、 5、 6、含有反三角函数的不定积分1、 2、抽象函数的不定积分1、 2
2、、分段函数的不定积分例如：设 求.高等数学竞赛 定积分比较定积分大小1、 比较定积分和的大小2、 比较定积分和的大小利用积分估值定理解题一、估值问题1、试估计定积分的值2、试估计定积分的值二、不等式证明1、证明不等式：2、证明不等式：三、求极限1、 2、关于积分上限函数与牛顿-莱布尼兹公式问题1、求以下导数：1；2由方程确定的隐函数的导数2、设在上连续且满意，求3、设为关于的连续函数，且满意方程，求与常数.4、求以下极限：1 25、设是连续函数，且，求.6、且，求与定积分的计算一、分段函数的定积分1、设求2、求定积分二、被积函数带有肯定值符号的积分1、求以下定积分：1 22、求定积分的值三、对
3、称区间上的积分1、设在上连续，计算2、设在上连续，且对任何有，计算3、计算积分4、设在区间上连续，为偶函数，且满意条件为常数.1证明：(2) 利用1的结论计算定积分四、换元积分法1、求以下定积分：1 2 3五、分部积分1、设有一个原函数为，求2、 3、积分等式的证明一、换元法适用于被积函数或其主要部分仅给出连续条件1、假设函数连续，证明：1232、设连续，求证，并计算3、设连续，且关于对称，z证明： 提示：关于对称，即二、分部积分法适用于被积函数中含有或变上限积分的命题例：设连续，证明： 三、构造协助函数法适用于证明在积分限中至少存在一点或使等式成立的命题解题思路：1将或改成，移项使等式一端为
4、零，那么另一端即为所作的协助函数或。2验证满意介值定理或微分中值定理的条件。3由介值定理或微分中值定理，即可证得命题。1、设在上连续，证明：至少存在一点，使得： 2、设在上连续，在内可导，.求证：在内至少存在一点使四、积分不等式的证明常用的证明积分不等式的定理有：定积分的比较定理，估值定理，函数的单调性，积分与微分中值定理。1、设在上连续，且严格递增，证明： 2、设在上连续且单调削减，求证： 3、设在上可导，且.证明： 广义积分1、求以下广义积分1 2 3 42、证明：无穷积分当时收敛，当时发散.3、当时，是以为瑕点的瑕积分，证明它在时收敛，在时发散.高等数学竞赛 导数与微分练习利用导数定义解
5、题1、 设函数 又在处可导，求复合函数在处的导数。2、 在处可导，求3、 设 求在点处的导数4、 设函数在处可导，且试求5、 设求极限6、 设在上有定义，且又，求导数在几何上的应用1、 设函数由方程确定，求曲线在处的法线方程2、 是周期为5的连续函数，它在的某个领域内有关系式 其中是当时比高阶的无穷小，且在处可导，求曲线在点处的切线方程.利用导数公式与求导法那么求导1、，求2、假设，求3、假设4、设函数由方程确定。求5、设函数由所确定，求6、设函数，其中具有二阶导数，且其一阶导数不等于1，求求高阶导数常用方法：1将函数变形。利用函数的阶导数公式； 2利用莱布尼兹公式求某些积的阶导数。1、设函数，求2、设函数，求3、设函数求4、设函数，求5、设函数可导、连续与极限存在的关系1、 设其中具有二阶连续导数，且求并探讨在内的连续性。2、设其中探讨在什么条件下在处连续。