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1、鲁教版初三数学学问点编辑人:鲁东高校08级经济系 李建鹏第一章 分式一、分式1分式的概念：假如整式A除以整式B, 可以表示成的形式,且除式B中含有字母，那么称式子为分式。其中, A叫分式的分子, B叫分式的分母。留意：推断一个代数式是否为分式,不能将它变形,不能约分后去推断,即使它约分后是整式也不能说它就是整式,约分之前是分式这个式子就是分式。如:x2x是分式,虽然约分之后等于x是整式,但约分前是分式。是常数,所以a/不是分式而是整式。2有理式：整式和分式统称有理式。(整式的分母中不含有字母)3关于分式的几点说明:(1)分式的分母中必需含有未知数；(2)分式是两个整式相除的商式,对随意一个分式
2、，分母都不为零；(3)分数线有除号和括号的作用,如：表示ab(cd)；(4)“分式的值为零包含两层意思：一是分式有意义(分母0)，二是分子的值为零，不要误会为“只要分子的值为零，分式的值就是零。4一般的，对分式AB都有：分式有意义 B0；分式无意义 B=0；分式的值为0A=0且B0；分式的值大于0分子分母同号；分式的值小于0分子分母异号。5根本性质：分式的分子和分母同乘以或除以同一个不为0的整式，分式值不变。二、分式的乘除法1.分式的乘除法那么:分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母； 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，及被除式相乘。分式的乘方是把分式的分子、分母各自
3、乘方，再把所得的幂相除。2.约分:把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数约去，这种变形称为约分。留意:当分式的分子分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式时,干脆约分； 分式的分子和分母都是多项式时，将分子和分母分解因式再约分。3.最简分式: 一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。约分时，一般要将一个分式化为最简分式。三、分式的加减法1.通分:利用分式的根本性质 ,把异分母的分式化为同分分母的过程。通分原那么:异分母通分时, 通常取各分母的最简公分母作为它们的共同分母。通分步骤:先求出全部分式分母的最简公分母，再将全部分式的分母变为最简公分母，同时各分式根据分母所扩大的倍数
4、,相应扩大各自的分子。最简公分母的确定方法:系数取各因式系数的最小公倍数、一样字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积。2. 法那么:同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减,先通分,化 为同分母的分式,再按同分母分式的加减法法那么进展计算。四、分式方程1.概念:分母中含有未知数的方程叫做分式方程。2.分式方程的解法:去分母(方程两边同乘以最简公分母，将分式方程化为整式程假设遇到互为相反数时，不要忘了变更符号)；按解整式方程的步骤求出未知数的值；验根。3.分式方程的增根:在方程变形时，有时会产生不合适原方程的根即代入方程后分母的值为的根，叫做原方程的增根。例题：取 时，方程会产生
5、增根(或说无解)。(思路)在这里增根就是x=3,但不能干脆带入方程求m,所以要先去分母再将x=3带入求m第二章 相像图形一、线段的比1.概念:在同一单位长度下,两条线段的长度的比叫这两条线段的比。在a:b或中,a叫比例的前项,b叫比例的后项。2.留意:假设a:b=k,说明a是b的k倍；两条线段的比及所采纳的长度单位无关,但求比时两条线段的长度单位必需一样；两条线段的比值是一个没有单位的正数；除a=b外,a:bb:a, a/b及b/a互为倒数。二、比例线段1.概念:四条线段a,b,c,d中,假如 a及b的比等于c及d的比, 即a:b=c:d (或a/b=c/d), 那么这四条线段 a,b,c,d
6、 叫做成比例线段,简称比例线段。a、b、c、d叫比例的项,其中,a、d叫外项,b、c叫内项。2.比例中项:当a:b=b:c时,称b为a及c的比例中项。(b2=ac)3.性质:内项之积等于外项之积 假设 a/b=c/d 那么 ad=bc 合比性质 假设 a/b=c/d 那么 (a+b)/b=(c+d)/d 分比性质 假设 a/b=c/d 那么 (a-b)/b=(c-d)/d 等比性质 假设 a/b=c/d=m/n(b+d+n0)，那么 (a+c+m)(b+d+n)=a/b合分比性质 假设 a/b=c/d 那么 (a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d) 更比性质 假设 a/b=c/d 那么
7、c/a=d/b(当然也就有a/c=b/d)反比性质 假设 a/b=c/d 那么 b/a=d/c 三、形态一样的图形例如:两个半径不相等的圆；全部的等边三角形；全部的正方形；全部的正六边形。一个图形各点的横坐标、纵坐标都乘以或除以同一个数，那么连接所得到点的图形及原图形形态一样。四、相像三角形1.概念:对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相像三角形(相像符号为“)。平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形及原三角形相像。ABCDEDEOBC相像比：相像三角形对应边的比叫做相像比。2.全等肯定相像,相像不肯定全等(全等是相像中相像比为1时的特别状况)五、探究三角形相
8、像的条件1定义断定：对应角相等、对应边成比例2断定1：两个角对应相等断定2：两边对应成比例且夹角相等断定3：三边对应成比例Rt相像的断定:(除上述三个外)斜边及始终角边对应成比例的两直角三角形相像。3.三角形相像的断定定理推论 推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相像。 推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相像。 推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相像。 推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相像。 推论五：假如一个三角形的两边和其中一边上的中线及另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相像。 推论六：假如一个三角形的两边和第三边上的中线及另一个三角形的
9、对应部分成比例，那么这两个三角形相像。4.(补充)射影定理: 在RtABC中，ACB=900，CD是斜边AB上的高,那么AC2=ADAB BC2=BDAB CD2=ADBD5.(补充)三角形的重心概念:三角形三条中线的交点叫做三角形的重心；三角形的重心及顶点的间隔 等于它及对边中点的间隔 的两倍。六、相像三角形的性质1相像三角形的三个对应角相等，三边对应成比例；2相像三角形对应高的比，对应中线的比及对应角平分线的比都等于相像比，3相像三角形周长的比等于相像比，相像三角形面积的比等于相像比的平方。 七、测量旗杆的高度(略)八、相像多边形1.概念:对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相像多边形
10、。2.性质:性质1：相像多边形的对应角相等，对应边成比例；性质2：相像多边形的周长之比等于相像比;面积之比等于相像比的平方。九、位似图形1.概念:假如两图形不仅相像,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心, 这时的相像比又称为位似比。2.性质:位似图形上的随意一对对应点到位似中心的间隔 之比等于位似比。 3.探究:利用位似可以把一个图形放大或缩小；对应点连线都交于位似中心,对应线段平行或在一条直线上；在平面直角坐标系中,假如位似变换是以原点为位似中心,相像比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.。第三章 证明(一)一、定义及命题1.定义的概念
11、:能清晰地规定某一名称或术语的句子叫做该名称或术语的定义。2.命题的概念:一般地,推断一件事情的句子，叫做命题(命题必需是对某事作出推断)。3.命题的特征:每个命题都是由条件和结论两部分组成，条件是的事项，结论是由事项推断出的事项。一般地,命题都可以写成“假如，那么的形式其中,“假如引出的部分是条件,“那么引出的部分是结论。4.真假命题:假如条件成立，那么结论成立(正确的命题),像这样的命题叫做真命题；条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立(错误的命题)，这样的命题叫做假命题。二、证明的必要性三、公理及定理1.公理:通过长期理论总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理。2.定理
12、:通过推理得到证明的真命题叫做定理,可以作为推断其它命题真假的根据。本教科书选用如下命题作为公理：两条直线被第三条直线所截，假如同位角相等，那么这两条直线平行。也可以简洁说成：同位角相等，两直线平行。两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。也可以简洁说成：两直线平行，同位角相等。两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。三边对应相等的两个三角形全等。全等三角形的对应边相等，对应角相等。此外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理。例如“在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替，简称为“等量代换。四、 平行线的断定定理五、平行线的性质定理把一个命题的
13、条件和结论交换后,就构成了一个新的命题。假如把原来的命题叫做原命题,那么这个新的命题就叫做原命题的逆命题。一个命题是真命题,它的逆命题不肯定是真命题。六、三角形内角和定理三角形三个内角之和为1800 ； 直角三角形的两个锐角互余。关于协助线：协助线是为了证明须要在原图上添画的线(协助线通常画成虚线)；它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用；添加协助线，可构造新图形，形成新关系，找到联络及未知的桥梁，把问题转化，但协助线的添法没有肯定的规律，要根据须要而定,平常做题时要留意总结。第四章 数据的搜集及处理一、普查和抽样调查1.普查:为了肯定的目的而考察对象进展的全面调
14、查,称为普查。其中,所要考察的对象的全体称为总体,而组成总体的每一个考察对象称为个体。普查的优点及缺陷:可以干脆获得总体状况,但总体中个体数目许多时,工作量大,无法一一考察；有时受客观条件的限制,无法对个体一一考察；有时调查具有破坏性,不允许对个体一一考察。2.抽样调查:从总体中抽取部分个体进展调查，这种调查称为抽样调查,其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本,样本中的个体的数目称为样本容量。二、数据的搜集议一议: 抽样调查时应留意什么答:抽样调查时要留意样本的代表性、广泛性和真实性:即被调查的对象不得太少，被调查对象应是随意抽取的，调查数据应是真实的。抽样调查的可行性：1.抽样调查只
15、考察总体的一部分，因此其优点是调查范围小，节约时间、人力、物力和财力；2.但其调查结果往往不如普查得到的结果精确。三、数据的整理对数据进展分组整理,就是将搜集到的全部数据根据肯定的标准划分为假设干组。通过分组整理,可比较清晰地驾驭数据的整体分布状况。四、频数和频率我们称每个考察对象出现的次数为频数,而每个对象出现的次数及总次数的比值为频率。公式:频率=频数总次数频数=总次数频率；总次数=频数频率频数之和=总次数； 频率之和=1频数、频率、频数分布表、频数分布直方图和频数分布折线图都反映了一组数据的分布状况。五、数据的波动1.极差的概念:刻画数据离散程度(即相对于“平均程度的偏离状况)的一个统计
16、量,是指一组数据中最大数据及最小数据的差(极差=最大值-最小值)。极差的意义:极差是最简洁的一种度量数据波动状况的量(一般而言,极差小,各个数据的波动也就小,它们的平均数对这组数据一般程度的代表性也就大；极差大,平均数的代表性也就小),但只能反映数据的波动范围,不能衡量每个数据的变更状况,而且受极端值的影响较大(当个别极端值远离其它数据时,极差往往不能充分反映全体数据的实际离散程度)。2.方差的概念:各个数据及平均数的差的平方的平均数。方差越小，波动越小；方差越大，波动越大。公式:标准差：就是方差的算术平方根规律：有两组数据，设其平均数分别为 、 方差分别为 、 (1) 当第二组每个数据比第一
17、组每个数据增加m个单位时,那么有 = +m， =(2) 当第二组每个数据是的第一组每个数据 n 倍时, 那么有=n ， =(3)当第二组每个数据是的第一组每个数据 n 倍加 m 时，那么有=n +m， = 第五章 二次根式一、二次根式1.概念:形如0)这样的式子叫做二次根式(a也是二次根式)。其中a可以是数,也可是单项式和多项式。2.求二次根式中字母的取值范围的根本根据：被开方数不小于零；分母中有字母时，要保证分母不为零。二、二次根式的性质根本性质一：=(0)根本性质二：积的性质：=(0,b0)商的性质： = (0,b0)注：一般地，二次根式化简的结果中分母中不含根号，而且根号内的数就是一个自
18、然数，且自然数的因数中，不含有除1以外的自然数的平方数，被开方数为带分数时，还要先化为假分数再利用性质化简。三、二次根式的加减法1.最简二次根式的两个条件：1被开方数不含分母(即因数是整数，因式是整式) ；2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。2.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后，假如被开方数一样，这几个二次根式就叫做同类二次根式(及二次根式的系数无关)。3.二次根式的加减:(在二次根式加减或其它运算时，把根号前的乘数看作它的系数)合并同类二次根式化为最简二次根式；系数相加减；二次根式不变。及合并同类项类似,把同类二次根式的系数相加减,作为结果的系数,根号及根号内部都不变四、二
19、次根式的乘除法1.算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根=(0,b0)2.两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数(0,b0)留意:假如被开方数是带分数，应先化成假分数。第六章 证明(二)一、全等三角形(详细性质和断定见初一学问点)1.根据书写标准,根据对应顶点找对应边或对角。2.公共角、对顶角必为对应角；公共边必为对边。3.对应角的对边为对应边；对应边的对角为对应角。4.在两个全等三角形中,最长边对最长边；最小边对最小边；最大角对最大角；最小角对最小角。二、等腰三角形等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角)推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边
20、并且垂直于底边由推论得:等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高相互重合(三线合一)推论2:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60三、 直角三角形1.性质:直角三角形的两个锐角互余。反过来,有两个角互余的三角形是直角三角形。2.等腰直角三角形:两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形(具有等腰三角形和直角三角形的全部性质)。等腰直角三角形的两个锐角都是453.性质定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半四、线段的垂直平分线1.定义:垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线(中垂线)结论1:假如两点A 、B关于直线CD对称,那么直线 CD是线段AB 的垂直平分线；结论
21、2:假如CD是线段AB的垂直平分线,那么点A 、B关于直线CD对称。2. 线段垂直平分线的性质定理:线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的间隔 相等3. 线段垂直平分线的断定(性质定理逆定理):到线段两端间隔 相等的点在线段的垂直平分线上4. 定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点并且这点到三顶点的间隔 相等五、 角平分线1. 角平分线性质定理:角的平分线上的点到这个角的两边的间隔 相等2. 逆定理:在一个角的内部,且到角的两边间隔 相等的点,在这个角的平分线上第七章 一元二次方程一、一元二次方程1. 定义:方程的两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2次,我们把这样的
22、方程叫做一元二次方程。(条件:方程两边都是整式只含有一个未知数未知数的最高次数是2次)2. 一般形式:ax2+bx+c=0(a,b,c为常数且a0)。一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0的形式。其中ax2，bx,c分别称为二次项，一次项，常数项,a、b分别称为二次项系数,一次项系数。(b和c可以为0,但a不能为0,因为一元二次方程必需有二次项,一次项和常数项没有的时候就是b和c为0的状况)留意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。3. 一元二次方程的解:使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根)。二、 判别式:=b2-4
23、ac1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)根的状况：(1)当0时,方程有两个不相等的实数根；(2)当=0时,方程有两个相等的实数根；(3)当0时,方程无实数根。2.根据根的状况,也可以逆推出的状况,这方面的学问主要用来求取值范围等问题。三、一元二次方程根及系数的关系(韦达定理)一元二次方程的求根公式:一元二次方程根及系数的关系:假设方程ax2+bx+c=0(a0)的两根分别为x1、x2,那么x1x2=b/a,x1x2=c/a补充规律:两根均为负的条件:x1x20,x1x20两根均为正的条件:x1x20,x1x20两根一正负的条件:x1x20当然,以上还必需满意一元二次方程有根的条件:b2
24、-4ac0三、一元二次方程的解法1.干脆开平方法2.配方法:通过配方,将方程的左边化成一个含未知数的完全平方式,右边是一个非负常数,运用干脆开平方求出方程的解的方法,即转化成(x+b)2=a(a0)的形式,再利用开平方步骤:(1)把方程化成一元二次方程的一般形式；(2)把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数)；(3)把含有未知数的项放在方程的左边,不含未知数的项放在方程的右边；(4)方程的两边同加上一次项系数一半的平方(这是关键)；(5)方程的左边化成完全平方的形式,方程的右边化成非负数；(6)利用干脆开平方的方法去解。假如整理后左边是完全平方式,假如右边是个负数,那么指出原方程无实根。
25、3.公式法步骤:(1) 把方程化成一元二次方程的一般形式；(2) 写出方程各项的系数；(3)计算出b2-4ac的值，看b2-4ac的值及0的关系,假设b2-4ac0时,两支曲线分别位于第一、三象限内,在每一象限内,y的值随x值的增大而减小；当k0时,两支曲线分别位于第二、四象限内,在每一象限内,y的值随x值的增大而增大。三、 反比例函数的应用第十章 频率和概率一、 用频率估计概率1.概率:一个事务发生的可能性的大小可以用一个数来表示,我们把这个数叫做这个事务发生的概率,一般用P事务表示。事务A发生的概率也记为P(A),事务B发生的概率记为P(B),依此类推 2.三种事务的概率:必定事务发生的概
26、率为1(或100%),记作P(必定事务)=1;不行能事务发生的概率为0,记作P(不行能事务)=0随机事务(不确定事务)发生的概率介于0到1之间,即0P(不确定事务)1假如A为随机事务(不确定事务),那么0P(A)13. 用频率估计概率当试验次数很大时,一个事务发生频率也稳定在相应的概率旁边。因此,我们可以通过屡次试验,用一个事务发生的频率来估计这一事务发生的概率。二、用列举法计算概率用列举法求概率的条件:(1)试验的全部结果是有限个(n)；(2)各种结果的可能性相等。一般地,假如在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事务A包含其中的m种结果,那么事务A发生的概率为P(A)=m/n。说明:本资料是本人做兼职老师期间根据学生教科书整理而成,还有其他资料未能上传,邮箱:954085948qq