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1、离散数学考试（试题及答案）一、（10分）某项工作须要派A、B、C和D 4个人中的2个人去完成，按下面3个条件，有几种派法？如何派？(1)若A去，则C和D中要去1个人；(2)B和C不能都去；(3)若C去，则D留下。解 设A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。则依据题意应有：ACD，(BC)，CD必需同时成立。因此(ACD)(BC)(CD)(A(C D)(CD)(BC)(CD)(A(C D)(CD)(BC)(BD)C(CD)(ABC)(ABD)(AC)(ACD)(C DBC)(C DBD)(C DC)(C DCD)(CDBC)(CDBD)(CDC)(CDCD)FF(AC)FF(C
2、 DB)FF(CDB)F(CD)F(AC)(BC D)(CDB)(CD)(AC)(BC D)(CD)T故有三种派法：BD，AC，AD。二、（15分）在谓词逻辑中构造下面推理的证明：某学术会议的每个成员都是专家并且是工人，有些成员是青年人，所以，有些成员是青年专家。解：论域：全部人的集合。()：是专家；()：是工人；()：是青年人；则推理化形式为：()()，()()()下面给出证明：(1)() P(2)(c) T(1)，(3)()() P(4)( c)( c) T(3)，(5)( c) T(4)，I(6)( c)(c) T(2)(5)，I(7)()() T(6) ，三、（10分）设A、B和C是三
3、个集合，则AB(BA)。证明：ABx(xAxB)$x(xBxA)x(xAxB)$x(xBxA)$x(xAxB)x(xBxA)$x(xAxB)x(xAxB)($x(xAxB)x(xAxB)($x(xAxB)x(xBxA)(BA)。四、（15分）设A1，2，3，4，5，R是A上的二元关系，且R，求r(R)、s(R)和t(R)。解 r(R)R，s(R)RR1，R2，R3，R4，R2t(R)，。五、（10分）R是非空集合A上的二元关系，若R是对称的，则r(R)和t(R)是对称的。证明 对随意的x、yA，若(R)y，则由r(R)R得，或。因R与对称，所以有或，于是(R)x。所以r(R)是对称的。下证对随
4、意正整数n，对称。因R对称，则有2y$z()$z()2x，所以R2对称。若对称，则$z()$z()，所以对称。因此，对随意正整数n，对称。对随意的x、yA，若(R)y，则存在m使得，于是有，即有(R)x。因此，t(R)是对称的。六、（10分）若f：AB是双射，则f1：BA是双射。证明 因为f：AB是双射，则f1是B到A的函数。下证f1是双射。对随意xA，必存在yB使f(x)y，从而f1(y)x，所以f1是满射。对随意的y1、y2B，若f1(y1)f1(y2)x，则f(x)y1，f(x)y2。因为f：AB是函数，则y1y2。所以f1是单射。综上可得，f1：BA是双射。七、（10分）设是一个半群，
5、假如S是有限集，则必存在aS，使得a*aa。证明 因为是一个半群，对随意的bS，由*的封闭性可知，b2b*bS，b3b2*bS，S，。因为S是有限集，所以必存在ji，使得。令pji，则*。所以对qi，有*。因为p1，所以总可找到k1，使得i。对于S，有*(*)*。令a，则aS且a*aa。八、（20分）（1）若G是连通的平面图，且G的每个面的次数至少为l(l3)，则G的边数m与结点数n有如下关系：m(n2)。证明 设G有r个面，则2m。由欧拉公式得，nmr2。于是， m(n2)。（2）设平面图G是自对偶图，则| 2(1)。证明 设G*是连通平面图G的对偶图，则G* G，于是*|，将其代入欧拉公式
6、2得，2(1)。离散数学考试试题（B卷及答案）一、（10分）证明(PQ)(PR)(QS)SR证明 因为SRRS，所以，即要证(PQ)(PR)(QS)RS。(1)R 附加前提(2)PR P(3)P T(1)(2)，I(4)PQ P(5)Q T(3)(4)，I(6)QS P(7)S T(5)(6)，I(8)RS (9)SR T(8)，E二、（15分）依据推理理论证明：每个考生或者勤奋或者聪慧，全部勤奋的人都将有所作为，但并非全部考生都将有所作为，所以，肯定有些考生是聪慧的。设P(e)：e是考生，Q(e)：e将有所作为，A(e)：e是勤奋的，B(e)：e是聪慧的，个体域：人的集合，则命题可符号化为：
7、x(P(x)(A(x)B(x)，x(A(x)Q(x)，x(P(x)Q(x)$x(P(x)B(x)。(1)x(P(x)Q(x) P(2)x(P(x)Q(x) T(1)，E(3)$x(P(x)Q(x) T(2)，E(4)P(a)Q(a) T(3)，(5)P(a) T(4)，I(6)Q(a) T(4)，I(7)x(P(x)(A(x)B(x) P(8)P(a)(A(a)B(a) T(7)，(9)A(a)B(a) T(8)(5)，I(10)x(A(x)Q(x) P(11)A(a)Q(a) T(10)，(12)A(a) T(11)(6)，I(13)B(a) T(12)(9)，I(14)P(a)B(a) T
8、(5)(13)，I(15)$x(P(x)B(x) T(14)，三、（10分）某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球，求不会打这三种球的人数。解 设A、B、C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则：12，6，14，6，5，B2，|(AC)6。因为|(AC)(AB)(BC)|(AB)|(BC)|B|(AB)|526，所以|(AB)|3。于是B12614653220，25205。故，不会打这三种球的共5人。四、（10分）设A1、A2和A3是全集U的子集，则形如(为或)的集合称为由A1、
9、A2和A3产生的小项。试证由A1、A2和A3所产生的全部非空小项的集合构成全集U的一个划分。证明 小项共8个，设有r个非空小项s1、s2、(r8)。对随意的aU，则a或a，两者必有一个成立，取为包含元素a的或，则a，即有a，于是U。又明显有U，所以U。任取两个非空小项和，若，则必存在某个和分别出如今和中，于是。综上可知，s1，s2，是U的一个划分。五、（15分）设R是A上的二元关系，则：R是传递的R*RR。证明 (5)若R是传递的，则R*R$z()，由R是传递的得，即有R，所以R*RR。反之，若R*RR，则对随意的x、y、zA，假如且，则R*R，于是有R，即有，所以R是传递的。六、（15分）若
10、G为连通平面图，则nmr2，其中，n、m、r分别为G的结点数、边数和面数。证明 对G的边数m作归纳法。当m0时，由于G是连通图，所以G为平凡图，此时n1，r1，结论自然成立。假设对边数小于m的连通平面图结论成立。下面考虑连通平面图G的边数为m的状况。设e是G的一条边，从G中删去e后得到的图记为G，并设其结点数、边数和面数分别为n、m和r。对e分为下列状况来探讨：若e为割边，则G有两个连通分支G1和G2。的结点数、边数和面数分别为、和。明显n1n2nn，m1m2mm1，r1r2r1r1。由归纳假设有n1m1r12，n2m2r22，从而(n1n2)(m1m2)(r1r2)4，n(m1)(r1)4，
11、即nmr2。若e不为割边，则nn，mm1，rr1，由归纳假设有nmr2，从而n(m1)r12，即nmr2。由数学归纳法知，结论成立。七、（10分）设函数g：AB，f：BC，则：(1)是A到C的函数；(2)对随意的xA，有(x)f(g(x)。证明 (1)对随意的xA，因为g：AB是函数，则存在yB使g。对于yB，因f：BC是函数，则存在zC使f。依据复合关系的定义，由g和f得g*f，即。所以A。对随意的xA，若存在y1、y2C，使得、g*f，则存在t1使得g且f，存在t2使得g且f。因为g：AB是函数，则t1t2。又因f：BC是函数，则y1y2。所以A中的每个元素对应C中惟一的元素。综上可知，是
12、A到C的函数。(2)对随意的xA，由g：AB是函数，有g且g(x)B，又由f：BC是函数，得f，于是g*f。又因是A到C的函数，则可写为(x)f(g(x)。八、（15分）设是的子群，定义R、bG且a1*bH，则R是G中的一个等价关系，且aR。证明 对于随意aG，必有a1G使得a1*aeH，所以R。若R，则a1*bH。因为H是G的子群，故(a1*b)1b1*aH。所以R。若R，R，则a1*bH，b1*cH。因为H是G的子群，所以(a1*b)*(b1*c)a1*cH，故R。综上可得，R是G中的一个等价关系。对于随意的baR，有R，a1*bH，则存在hH使得a1*bh，ba*h，于是b，aR。对随意的b，存在hH使得ba*h，a1*bhH，R，故aR。所以，aR。