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1、第八章 边界层理论8-1 边界层的根本概念 实际流体和志向流体的本质区分就是前者具有粘性。对层流而言，单位面积摩擦力的大小，可以看出，对于确定的流体的等温流场，摩擦力的大小及速度梯度有关，其比例函数即动力粘度。速度梯度大，粘性力也大，此时的流场称为粘性流场。若速度梯度很小，则粘性力可以忽视，称为非粘性流场。对于非粘性流场，则可按志向流体来处理。则N-S方程可由欧拉方程代替，从而使问题大为简化。当空气、蒸汽，水等小粘度的流体及其它物体作高速相对运动时，一般雷诺数很大。由，则在这些流淌中，惯性力粘性力，所以可略去粘性力。但在紧靠物体壁面存在一流体薄层，粘性力却及惯性力为同一数量级。所以，在这一薄层
2、中，两者均不能略去。这一薄层就叫边界层，或叫速度边界层，由普朗特在1904年发觉。图8-2空气沿平板边界层速度分布外部区域边界层 a流体流过固体壁面，紧贴壁面处速度从零快速增至主流速度，这一流体薄层，就叫边界层或速度边界层。 b整个流场分为两局部 层外，粘性忽视，无旋流淌。 层内，粘性流，主要速度降在此，有旋流淌。 c由边界层外边界上，来定义d，d为边界层厚度。 d按流淌状态，边界层又分为层流边界层和紊流边界层。 由于在边界层内，流体在物体外表法线方向(即)速度梯度很大，所以，边界层内的流体具有相当大的旋涡强度；而在层外，由于速度梯度很小。所以，即使对于粘度很大的流体，粘性力也很小，故可忽视不
3、计，所以可认为，边界层外的流淌是无旋的势流。边界层的根本特征有：(1)薄层性质，其中L为物体的长度；沿流方向。 (2) 层内很大， 边界层内存在层流和紊流两种流态。 (3) 边界层内，即认为边界层内各截面上的压力等于同一截面上边界层外边界上的压力；惯性力和粘性力为同一数量级。另外，边界层又分为层流边界层，紊流边界层以及超始局部为层流，然后是紊流的，为混合边界层。层流边界层向紊流边界层过渡时，不是突然转变的。层内的扰动随着边界层的增厚在某个部位出现并开展出来，直至充溢整个边界层。所以，从层流到紊流之间有一过渡区段.边界层层流边界层紊流边界层混合边界层起始局部为层流然后为紊流 层流边界层过渡区紊流
4、边界层图 8-3 平板上的混合边界层边界层由层流向紊流的转变，确定了Re的大小，判别边界层层流和紊流的雷诺数为：， 其中：x为所测点及物体前缘点的间隔 。 V为边界层外边界上的速度V(x)。 对平板面言，层流转变为紊流的临界Re为： ，(来流紊流度，物体壁面粗糙度)Rex临及边界层外势流的紊流度以及物体壁面的粗糙度有关。试验证明，若使层外Re，或增加壁面粗糙度eRex临(相当于增加扰动)，提早使边界层内的流淌由层流转变为紊流。工程上还经常遇到一种管流边界层。如图所示。流体从大容器流入管道，管道入口呈圆角，则在进口断面上处流速分布匀称。由于粘性，流体在近壁处形成边界层，且边界层厚度沿流淌方向增大
5、。依据流体流淌的连续性，边界层内流速的减小，必将使中心局部流速增大，因此，沿流淌方向的各断面上速度分布不断变更。直至在离进口间隔 为L的c-c断面上，边界层根本上扩展至管轴，此时断面中心最大流速已等于完全扩展段的最大流速的0.98-0.99，则认为该断面上流淌根本上已完全扩展。从进口a-a至c-c断面的间隔 L称为管道的起始段长度，c-c断面以后则为充分开展的管流。当起始段边界层为层流时，起始段长度L较大，约为L/d=0.058Re。起始段除了摩擦损失之外，还有流体动能变更而导致的附加损失（从进口处的渐渐增大至）。若设附加损失为，则起始段内的总压强损失为理论分析和试验探讨的结果说明：k=1.1
6、61.33若加大管道入口流速，使边界层由层流转变为紊流，由于紊流流体质点的脉动混杂，边界层比层流增长得快，因此起始段比层流时要小，约为L/d=30。实际在距进口12d，边界层已扩展至接近管轴，之后边界层的接着扩展就很缓慢，在距进口12d，以后，沿程阻力系数已及充分扩展时一样，这就是说，紊流起始段很短，影响也小，一般状况下可以忽视不计，但在工程测量及管道阻力试验时，需避开起始段的影响。8-2 不行压层流边界层方程 边界层特性确实定，关系到流淌阻力、能量损失、传热传质等重要的工程实际问题。德国人普朗特和匈牙利人冯卡门(普朗特的学生)在这方面作出了宏大奉献。他们除了提出边界层的概念以外，还推导了边界
7、层的解析计算法和动量计算法。前者算为边界层的微分方程式，后者称为边界层的积分方程式。 下面，我们首先探讨边界层的微分方程式。由于在边界层以外，很小，可认为是无旋运动，则可利用志向流体的势流理论进展处理。所以，对流体的流淌阻力，我们可近似地认为全部发生在边界层以内。(这就是探讨边界层内的流淌的意义之一)xx图 8-5 不行压平板层流边界层前提：在边界层以内，取值范围：0xl，0yl，由于xy，我们认为x的数量级是1，y的数量级是，并且认为：比1低一个数量级。所谓低一个数量级，一般可以这样认为，两个量之比，其中一个量可忽视时，则认为这个量比另一个量小一数量级。即：x1，y并且边界层内，由u，故认为
8、或由连续方程，u1，x1并且我们认为u1，而y，必定是，这样才能满意连续方程，。 留意：导数又称为微商，例如，类似地在进展数量级比较时，我们可以写成，即1的数量级。假定边界层内流淌全是层流，且忽视质量力，那么，对于不行压流体定常二元绕流流淌并忽视质量力时，N-S方程和连续方程为：(1)(2)(3) 因为两方程联立，上式保存1的数量级项，低于1的数量级统统忽视。 、两式中右边括号内的两项相比，后一项要比前一项大得多，所以均可略去，又由式由于惯性力和粘性力属于同一数量级，而惯性项的1的数量级，而粘性项必定为1，而为的数量级，则必有v为的数量级。又式及式相比，又可略去三项。至于压力梯度的数量级，我们
9、后面再探讨。故由： 边界条件中，y=0，u=0；y=，u=u(x)，对沿平壁面而言y=，u=1。上式即为层流边界层微分方程，又称为普朗特边界层方程，由普朗特在1904年提出。从(3)还可以得到一个重要结论，在边界层内，即边界层横截面上应点压力相等，即p=f(x)，而边界层外界上及边界层以外，由势流伯努利方程：求导，则： 说明层外压力项和惯性项具有同一数量级，而边界层以内，并且，由于在边界层以内惯性项和粘性项为同一数量级，所以压力梯度至多也只能是1的数量级，否则等式(3)不能成立。 当流体纵掠平板时，边界层外主流速度没有变更，此时，则，则整个流场压力到处相等。 方程(3)虽然是在平壁的状况下导出
10、的，但对曲率不太大的曲线壁面仍旧适用。此时，x轴沿壁面方向，y轴沿壁面法线方向。 边界层微分方程式是边界层计算的根本方程式。明显，此方程比一般的N-S方程要简洁，但是，由于它的非线性(例如，就并非一次函数)，即使对于外形最简洁的物体，求解也是非常困难的。目前，只能对最简洁的平板绕流层流边界层进展计算，对困难物体的绕流以及紊流边界层还不能用微分方程求解。为此，下一节探讨边界层问题的近似解法，即边界层动量积分关系式。8-3 边界层动量积分方程一、边界层动量积分方程 由卡门在1921年提出。推导前提：二元定常，忽视质量力，且u(由边界层微分方程的数量级比较可看出)，所以只考虑x方向的动量变更，不引入
11、y方向的流速。twddpddxxACBDxyydy图 8-6 边界层微元限制体 取限制体如图所示，沿边界层取一块面积ABDC，AB、CD为两通直线，且垂直壁面的两者相距dx，BD为壁面，并且也为x轴。AC为边界层的外边界限(并非流线)。垂直纸面(黑板面)方向的尺寸为1，则单位时间内： AB面流进的流体质量； 动量 CD面流出的流体质量； 同理 动量对定常流，由质量守恒：流进限制面的流体质量=流出限制面的流体质量又因边界层外边界限AC及流线并不平行，故AC面有质量流进。则AC面流进的流体质量，由mAB+mAC=mCD动量=质量流量速度其中Ue为边界层外边界上的速度。则单位时间内通过限制面的x方向
12、的动量变更为：出口动量入口动量而限制体在x方向的受力为： AB面：FAB=p1 CD面： AC面：BD面：负号是因为受力及x轴方向相反 则x方向外力之和为： 其中略去了二阶微量。那么，由动量定理，得到：定常运动条件下边界层的动量积分关系式。 由于在边界层内，p=p(x)，且d=d(x)，所以，上述偏导数可改写成： 上式即为边界层的动量积分关系式。 由于在推导过程中，未知对作任何本质的假设，所以上式适用于层、紊流。 对不行压流体，上式的未知数有三个，即u，d，所以一个方程要解三个未知数，那么还要补充两个方程。二、边界层的位移厚度和动量损失厚度动量积分关系式，先改写动量积分关系式，由势流伯努到方程
13、：则，再由于 ，则 再对左边第二项做了变换，由乘积求导公式：，令=h，则 按上述变换代入，且左边第一项以及或边的得： 下面分析式中两次积分的物理意义： 第一项积分： 表示速度为V的志向流体，流经高度为d，垂直纸面尺寸为1的截面的流量及以实际流速u流过同样截面的流量之差。图示如下：dVxyd1Ue-u图 8-7 边界层位移厚度 而曲边三角形的面积总可用一个矩形面积来代替，令d1就称为位移厚度。比较同一平板外表的粘性流和志向势流流淌，由于粘性流体边界层内的流淌受阻，在无穷远处来流中每一条确定的流线在志向势流流场中的位置被向外排斥了一段间隔 。 方程第三项积分的物理意义为： 明显表示了因粘性影响而产
14、生的流体动量的削减量。令 称为动量损失厚度，它的物理意义为：当志向流体流过平板时，某一断面处通过的质量流量为；若是粘性流体通过该断面，其质量流量为，因此在同一断面损失的志向流体的质量为，损失的动量为，把这局部动量损失折算为厚度d2，的志向势流所具有的动量，边界层内的流体动量损失，其数值相当于平板外表上的厚度为d2的一层志向流体的动量。8-4平板层流边界层的近似计算 作为应用边界层的积分关系式来决实际问题的例子，下面我们来探讨不行压粘性流体定常流流经平板的问题。如图所示：外部速度xl边界层边界层图 8-8 平板层流边界层 设x轴沿着平板，y轴为平板法线方向。坐标原点在平板前缘点上，来流的沿x轴，
15、板长为l。 假定来流流经平板时，平板上下两层形成层流边界层，如图所示。如今要求的是边界的厚度的变更规律和摩擦阻力FD。 由于顺来流方向放置的平板很薄，可以认为不引起流淌的变更。所以，在边界层外边界上，由势流的伯努利方程： 两边对x求导，则：即：p=常数，即边界层外边界上压力为常数。而边界层内，。所以整个边界层内向点压力一样。即整个流场压力到处相等。代入上式则变成： (1) (1)式中有三个未知数u，d，所以再补充两个方程。 当x固定时，假设边界层内速度u的分布为： (2) 可以看出层内随yu，这和实际状况是符合的。 边界条件： 1) 壁面外，y=0，u=0； 2) 边界层外边界处，y=d，u=
16、 V； 3) 边界层外边界处，y=d，； 4) 边界层外边界处，由于u= V，由层流边界层微分方程(即普朗特边界层方程),在边界层的外边界上： 5) 在平板壁面处，y=0，u=0，又由上式(普朗特边界层方程)，得： ； 把边界条件代入(2)式，得： 再把上面的五个系数代入(2)式，得第一个补充关系式，即层流边界层中的速度分布规律为： 再对上式求导，并利用牛顿内摩擦定律，得： (3) 再将上式代入(1)式求积分，则得到： (4) (5) 将(3)，(4)，(5)代入(1)式，得： ，积分得： 确定积分常数C，x=0，d=0，C=0，于是得：，它的准确解为，并且的表达式为的三次方时，得出的解比四次
17、方准确。其系数为4.64。因此，不能认为选择速度分布时，多项式数越多越好。 由上式可看出：xd；Vd。 将d表达式，代入(c)式，得切向应力： 从上式可以看出：沿平板长度方向(x方向)，越来越小，这是因随x，速度边界层越来越厚，边界层内速度变更渐趋缓和之故。 总摩擦阻力为： 其中b为板宽，且FD为平板一面的摩擦阻力，一块板两面的摩擦阻力为2FD。 摩擦阻力系数为： 。其中Cf为无量纲数8-5 平板紊流边界层近似计算 对紊流必需用另外的方法去找两个补充关系式。依据普朗特假设，通常我们和圆管内的紊流进展比较。并认为圆管中心线上的最大速度相当于平板未流速度V，圆管半径r相当于边界层厚度d。并且假定从
18、平板前缘一开场(x=0处)就是紊流边界层。 那么及圆管一样，假定紊流边界层内速度分布也听从七分之一次方规律，则： (1) 并且由公式推出： (2) 在4103Re105范围内 其中，V为边界层内的平均流速，umax相当于V。且将r换成d，则得： (3) 将(1)(3)代入，并且由前节推导，最终经积分，微分，再积分得： 确定积分常数C，x=0，d=0，得C=0，得： 代入(c)得： 则平板一个壁面上的总摩擦阻力 摩擦阻力系数为： 依据试验测量：Cf的系数比较准确的数值是0.074，则： 上式仅适用于5105107 当107时，速度分布的1/7次规律及实际出入较大，此时层内速度分布相当于对数规律式
19、，则： 表8-1给出了平板层流边界层和紊流边界层的近似计算公式。从表中可看出，平板层流边界层和紊流边界层的重大差异有：1) 紊流边界层沿平板壁面法向截面上的速度比层流边界层的速度增加得快，也即使说紊流边界层的速度分布曲线比层流边界层的速度分布曲线要饱满得多，这及圆管的状况相像；2) 沿平板壁面紊流边界层的厚度比层流边界层的厚度增长得快，因为紊流的d及成比例，而层流的d则及成比例，在紊流边界层内流体微团发生横向运动，简洁促使厚度快速增长；3) 在其他条件一样的状况下，沿平板壁面上紊流边界层的切向应力沿着壁面的减小要比层流边界层的减小慢些；4) 在同一下，紊流边界层的摩擦阻力比层流边界层的大得多，
20、这是因为层流中的摩擦阻力只是由不同流层之间发生相对运动而引起的，紊流中还有流体微团的很猛烈的横向掺混，因此产生更大的摩擦阻力。8-6 平板混合边界层近似计算 为了求平板混合边界层的摩擦阻力，作出下面两个假设： 1) 在A点由层流边界层突然转变为紊流边界层，即在某一截面上突然发生转变。2) 在计算紊流边界层的厚度变更(即d)，层内速度和切应力的分布时都认为是从前缘点O开场的(否则前面的有关公式则不能用)。图 8-9 平板混合边界层由以上两个假定，则平板混合边界层的总摩擦阻力：其中：代表混合边界层总摩擦力； 代表层流边界层总摩擦力； 代表紊边界层总摩擦力； 则： 其中：xcr为转变点A至前缘点O的
21、间隔 ； 为层流边界层的摩擦阻力系数； 为紊流边界层的摩擦阻力系数； b为垂直黑板方向的平板宽度。 由上式，则混合边界层的摩擦阻力系数为： 式中：，取决于层流边界层转变为紊流，边界层的临界雷诺数Rexc。 本书介绍了以下两个公式，由上式用来计算平板混合边界层的摩阻系数：5105107， (1)5105109， (2) 并且，层流边界层的摩擦阻力系数比紊流的摩阻系数要小得多。所以，在混合边界层中，层流边界层越长，则平板摩擦力阻力就越小。8-7 边界层的分别现象 前面几节讲座的是绕平板流淌的边界层问题，这类问题比较简洁，这是因为整个流场包括边界层内压力保持不变。但是当粘性流体流经曲面物体时，边界层
22、外边界上沿曲面方向的流体速度V是变更的，即，所以，曲面边界层内的压力也将发生变更。图 8-10 边界层分别示意图(a) 流线型物体 (b)非流线形物体图 8-11 曲面边界层分别形成示意图下面我们就来分析由于压力的变更，即对边界层内流淌的影响，进一步说明流淌分开物体而分别的缘由。并且，由于层内，故 。那么，什么叫边界层分别呢？指边界层从某个位置开场脱离物面，此时物面旁边出现回流现象，这样的现象又称作边界层脱表达象。 流体绕流机翼，无穷远处来流速度为V，压力为p。下面我们只探讨上半外表并把它放大，如图所示，沿上外表流体先加速，即，到最小截面M处，流速最大为Vmax，反之，压力沿x下降，即，到最小
23、截面处压力最小为pmin。图中实线处表示流线，虚线表示边界层的外边界。过了M点以后，由于截面扩大，流体减速，即，压力上升，即，于是，到某一截面，S点以后，发生边界层分别。下面我们进一步分析分别现象的物理过程，我们知道粘性力，即摩擦力对流体的流淌起阻碍作用，即损耗动能，减低流速，而越靠近物体壁面(因越大)受粘性力的阻滞作用越大，那么动能损耗越大，减速越快。而在曲面降压加速段中，由于流体的局部压能转变为流体的动能，由于，所以，虽然粘性力阻碍流体运动，但由于，推动流体前进，对摩擦力起着抵消作用。所以，流体仍能前进。但在曲面减速升压段中，于前述恰恰相反，一方面流体的动能局部地能转变为压能(由于做减速运
24、动)，即，另一方面，粘性力的阻碍作用又接着损耗功能，即压力的沿流程上升和摩擦阻力一起同时流淌起阻碍作用。从而使流速降低，边界层增厚。当流体流到曲面的某一点S时，这时，靠近壁面的流体微团动能已全部损耗。所以，这局部流体微团便停滞不前，速度为零，并且阻碍了后面流体微团的前进，后面的流体微团只能绕道前进，及此同时，由于，即压力接着上升，迫使下局部流体微团向反方向逆流，并快速向外扩张，于是，后面的来流由于受这局部流体的阻碍，则被迫分开物体壁面。这样，便形成了边界层分别。并且，S点为曲面上流体的流淌方向发生变更的点，称为分别点。 ST线上一系列流体微团速度均等于零。线以上流体正向流淌，线以下流体反向流淌
25、(即倒流)，由于连续面(留意当数学上意义不一样)的不稳定性，所以，很小扰动就会引起ST线的波动，形成旋涡，被主流带走，并在物体的后面开成尾涡区。 边界层分别的结果是在流场中形成旋涡区，由于旋涡运动损耗大量功能(变成热量耗散)，因此边界层分别现象应尽量避开。并且，从上述分析可看出，边界层分别现象只可能发生在逆压梯度(即)的区域。由边界层分别的数学分析，我们知道在边界层外边缘，即y=处，切应力很小，而在边界层外的主流区则认为切应力为零，则在边界层外边缘切应力沿y方向的变更率为负值。 即， 而边界层内(假定为层流)，将代入上式， 即，(1)而二阶导数小于零，说明曲线是凸的，说明在外界层外缘速度分布曲
26、线的曲率中心在曲线左侧；而在壁面上，即y=0处，由普朗特边界层方程： 由，则 (2) 下面分三种状况探讨： (一)加速段，即，顺压梯度的状况由(2)式得：由(1)式得： 说明在0yd的区域内二阶导数小于零，速度分布曲线是凸的，曲率中心在曲线左侧。 (二)零压梯度，即，即压力最小处 由(2)式，二阶导数为零，说明速度分布曲线在y=0处存在拐点，即速度在此点有反方向变更趋势，而边界层外缘，。 (三)减速段，即，逆压梯度的状况 由(2)式，二阶导数大于零，速度曲线为凹型，说明速度反方向变更，而边界层外缘，。图8-12 边界层分别示意图曲线由凹到凸，说明速度分布曲线在0yd的四周内存在拐点。速度到面沿流程的变更趋势为，即速度到面越来越瘦。于是在某一点x=xs处，而在x=xs左侧，流体沿流淌方向流淌；在x=xs右侧，流体反方向流淌；则x=xs处，流体微团停顿前进，而是在(y=0+y)流体发生分别。而xxs处，二阶导数为凹，到为凸，中间必定存在一个拐点，并且速度由正方向到反方向中间必有速度为0的点，此点的速度等于0。ST线上流体正方向流淌ST线下流体反方向流淌形成旋涡，消耗能量 结论：边界层分别只可能发生在压力沿流程上升的区域，即，逆压梯度的状况下(但不是充分条件)。并且，分别点后的区域不再保持边界层特性。接着增加雷诺数，即使柱体的后半局部的，接着增加那么分别点S就始终前移。