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1、 第十三章轴对称一、学问点归纳（一）轴对称和轴对称图形1、有一个图形沿着某一条直线折叠，假如它可以及另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点两个图形关于直线对称也叫做轴对称2、轴对称图形：假如一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的局部可以互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必需是直线）3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。4、轴对称图形的性质：假如两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接随
2、意一对对应点的线段被对称轴垂直平分轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。5画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，根据原图依次依次连接各点。（二）、轴对称及轴对称图形的区分和联络区分：轴对称是指两个图形之间的形态及位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特别形态的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称联络：1：都是折叠重合2;假如把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。（三）线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）（2）线
3、段的垂直平分线上的点及这条线段两个端点的间隔 相等；反过来，及一条线段两个端点间隔 相等的点在这条线段的垂直平分线上（证明是必需有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成及线段两个端点间隔 相等的全部点的集合（四）用坐标表示轴对称1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（-x，y）；2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；(五）关于坐标轴夹角平分线对称点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线yx对称的点的坐标是（y，x） 点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线yx对称的点的坐标是（y，x）（六）关于平行于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线xm对称的点的坐标是（2mx
4、，y）；点P（x，y）关于直线yn对称的点的坐标是（x，2ny）；(七）等腰三角形1、等腰三角形性质：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）2、等腰三角形的断定：假如一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.（八）等边三角形1、定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特别的等腰三角形。2、性质和断定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60。（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。（3）有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。（4）在直角三角形
5、中，假如一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （九）其他结论 （1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的间隔 等。（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的间隔 相等。（3）常用协助线：三线合一；过中点做平行线二、专题训练考点一、关于“轴对称图形”及“轴对称”的相识1下列几何图形中，线段角直角三角形半圆，其中肯定是轴对称图形的有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个2图9-19中，轴对称图形的个数是（ ） A4个 B3个 C2个 D1个3正n边形有_条对称轴，圆有_条对称轴考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称1. 在平面镜里看到背后墙上电子钟示数为1
6、2:50这时的实际时间应当是： 2. 一辆小汽车在水面上的倒影如图，那么从倒影中看出这个小车的车牌号是 3、在塑身操训练房的墙壁上有一面大镜,小明、小颖、珍珍三人正在训练, 从镜中看,小明在小颖的右前方,而珍珍在小颖的左前方，你能说出他们实际所站的方位吗 4、已知点P（2，3）关于y轴的对称点为Q（a，b），则a+b的值是 。5、将点A（3,2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A,点A关于y轴对称点的坐标是 。6、已知点P（3，-1）关于x轴对称点Q的坐标是（a+b，1-b），则ab= .7、已知点A（-1，-2）和B（5,2），将点A向 平移 个单位长度后得到的点及B点关于x轴对称。8、点A
7、(-2，6)关于直线y=3对称的点A的坐标是 。考点三、作一个图形关于某条直线的轴对称图形典例：1、如图，阴影局部是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用两种方法分别在下图方格内涂黑两个小正方形，使它们成为轴对称图形2、如图是44正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色如今要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 _个3、如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点已知A、B是两格点，假如C也是图中的格点，且使得ABC为等腰三角形，则点C的个数是 。考点四、线段垂直平分线的性质典例1、如图,DE是ABC中AC边的垂直平分线。（1）若B
8、C=8厘米，AB=10厘米，则EBC的周长为 ；1题（2）若ABC的周长=20cm，AC=8cm，则EBC的周长为 。2、如图，ABC的边BC的垂直平分线及边BA的垂直平分线的交点M恰好在AC上，且AC=16cm，则BM= ;CPM的面积= ABC面积。ANBDC2题M3、如图，ABC中，A=90，BD为ABC平分线，DEBC，E是BC的中点，（1）求C的度数。（2）假如ABD面积为6，AB=4，求BD.(3)假如AC=16cm，AD:DB=3：5，求AD的长.3题FEDCBAG4题4题4、如图，在RtABC中，ACB = 90，BAC的平分线交 BC于D. 过C点作CGAB于G，交AD于E.
9、 过D点作DFAB于F.下列结论：CED=CDE；ADF=2ECD； ；CE=DF. 其中正确结论的序号是( ) A B C D考点五、等腰三角形的特征和识别典例1、 如图所示，ABC中，AC=AD=BD，DAC=80，则B的度数是 。1题 2、 已知等腰三角形的一个内角为80，则另两个角的度数是_ _3、已知等腰三角形一腰上的高及另一腰的夹角为40，则它的一个底角的度数是_4、已知等腰三角形的两边为3cm和4cm，则周长为 。若两边为3cm和6cm，则周长为 cm。ABCDE5、已知等腰三角形的周长为28cm，一边长为8cm，则这个三角形另两边的长为 。FEADBC8题6题9题6、如图，AB
10、C中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EBA的度数 7、在等腰ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（） A 1cmAB4cm B 5cmAB10cm C 4cmAB8cm D 4cmAB10cmFEDCBA8、如图，C、E和B、D、F分别在GAH的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF，若A=18，则GEF的度数是（ ）A80 B90 C100 D1089、如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD，则A的度数（ ）A30 B.40 C.36 D.4610、如图,E在ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE.求证：ABC是等腰
11、三角形.11题11、如图，AF是ABC的角平分线，BDAF交AF的延长线于D，DEAC交AB于E，求证：AE=BE12、在图中，直线MN及线段AB相交于点O，1 = 2 = 45（1） 如图，若AO = OB，请写出AO及BD 的数量关系和位置关系；（2） 将图中的MN绕点O顺时针旋转得到下图，其中AO = OB求证：AC = BD，AC BD；考点六、等边三角形的特征和识别典例1、下列推理中，错误的是 ()AABC，ABC是等边三角形 BABAC，且BC，ABC是等边三角形ABCDEMCA60，B60，ABC是等边三角形 DABAC，B60，ABC是等边三角形2、如图，等边三角形ABC中，D
12、是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CECD，DMBC，垂足为M。求证：M是BE的中点。3题3、已知：如图，ABC为正三角形，D是BC延长线上一点，连结AD，以AD为边作等边三角形ADE，连结CE，用你学过的学问探究AC、CD、CE三条线段的长度有何关系试写出探求过程4、 如图，在等边ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时动身，分别以一样的速度由A向B和由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问（1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？（2）假如将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB及CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬
13、行过程中CQE的大小保持不变请利用图（2）情形，求证： CQE =60；（3）假如将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图（3），则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确考点七、30所对的直角边是斜边的一半1、如图：ADC中，A = 15，D=90，B在AC的垂直平分线上，AB =34，则CD =( )第3题图A. 15 B . 17 C. 16 D. 以上全不对 2、 如图，BAC=30，P是BAC平分线上一点，PM AC，PDAC，PD=28 , 则AM= 3、 如图，AB=AC，DEAB于E，DFAC于F，BAC=120o，BC=6，则D
14、E+DF= 4、 在中，的垂直平分线交于点F,交于点假如EF=1，求的长考点八、折纸问题1、有一本书折了其中一页的一角，如图：测得AD=30cm,BE=20cm，BEG=60，折痕EF的长 2、如图1，将矩形沿对称轴折叠，在对称轴处剪下一块，余下局部的绽开图为 ( )AEBDC3、将一矩形纸片按如图方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后及在同一条直线上，则CBD的度数A. 大于90 B.等于90 C. 小于90 D.不能确定考点九、最短途径问题ADBCEPABCPEF1、 小明在牛头山A处到对面凤凰山市场处买菜，然后回钟楼B住处，请你给小明设计出他出行的最短路途图。AB2、 正方形ABCD的面积是36，ABE是等边三角形，点E在正方形的内部，在AC上有一动点P，使得PD+PE的和最小，则这个最小值为 。3、如图，ABC是等边三角形，AD是BAC的平分线，且AD=4，E是AB上的中点，在AD上求一点P，使PE+PB最小，最小值为 。4、如图，在RtABC中，C=90，B=60，点D是BC边上的点，CD=4，BE=3，将ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB上的E处，若点P是AD上的动点，则PEB的周长的最小值是 。