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1、第4章 相交线及平行线一、学问构造图余角余角补角补角角两线相交 对顶角相交线及平行线同位角三线八角内错角同旁内角平行线的断定平行线平行线的性质尺规作图二、根本学问提炼整理（一）余角及补角1、假如两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。2、假如两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一个角的补角。3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只及角的度数有关，及角的位置无关。4、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。5、余角和补角的性质用数学语言可表示为：（1）则(同角的余角或补角相等)。（2）
2、且则(等角的余角（或补角）相等)。6、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。（二）对顶角1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。3、对顶角的性质：对顶角相等。4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用特别广泛，它是证明两个角相等的根据及重要桥梁。5、对顶角是从位置上定义的，对顶角肯定相等，但相等的角不肯定是对顶角。（三）同位角、内错角、同旁内角1、两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。2、同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。3、内错角：两个角都在两条直
3、线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。4、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。5、这三种角只及位置有关，及大小无关，通常状况下，它们之间不存在固定的大小关系。（四）六类角1、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的。2、余角、补角只有数量上的关系，及其位置无关。3、同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系，及其数量无关。4、对顶角既有数量关系，又有位置关系。（五）尺规作线段和角1、在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。2、尺规作图是最根本、最常见的作图方法，通常叫根本作图。3
4、、尺规作图中直尺的功能是：（1）在两点间连接一条线段；（2）将线段向两方延长。4、尺规作图中圆规的功能是：（1）以随意一点为圆心，随意长为半径作一个圆；（2）以随意一点为圆心，随意长为半径画一段弧；5、娴熟驾驭以下作图语言：（1）作射线；（2）在射线上截取=；（3）在射线上依次截取=；（4）以点为圆心，为半径画弧，交于点；（5）分别以点、点为圆心，以、为半径作弧，两弧相交于点；（6）过点和点画直线（或画射线）；（7）在的外部（或内部）画=；6、在作较困难图形时，涉及根本作图的地方，不必重复作图的具体过程，只用一句话概括叙述就可以了。（1）画线段=；（2）画=；（六）平行线的断定及性质平行线的断
5、定平行线的性质1、 同位角相等，两直线平行2、 内错角相等，两直线平行3、 同旁内角互补，两直线平行4、 平行于同一条直线的两直线平行5、 垂直于同一条直线的两直线平行1、两直线平行，同位角相等2、两直线平行，内错角相等3、两直线平行，同旁内角互补4、经过直线外一点，有且只有一条直线及已知直线平行【经典例题】例1. 推断下列语句是否正确，假如是错误的，说明理由。（1）过直线外一点画直线的垂线，垂线的长度叫做这个点到这条直线的间隔 ；（2）从直线外一点到直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的间隔 ；（3）两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线相互垂直；（4）两条直线的位置关系要么相交，要么
6、平行。分析：本题考察学生对根本概念的理解是否清楚。（1）、（2）都是对点到直线的间隔 的描绘，由“直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的间隔 ”可推断（1）、（2）都是错的；由对顶角相等且互补易知，这两个角都是90，故（3）正确；同一平面内，两条直线的位置关系是相交或平行，必需强调“在同一平面内”。解答：（1）这种说法是错误的。因为垂线是直线，它的长度不能度量，应改为“垂线段的长度叫做点到直线的间隔 ”。（2）这种说法是错误的。因为“点到直线的间隔 ”不是指引到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度。（3）这种说法是正确的。（4）这种说法是错误的。因为只有在同一平面内，两条直线的位
7、置关系才是相交或平行。假如没有“在同一平面内”这个前提，两条直线还可能是异面直线。说明：此题目的是让学生抓住相交线平行线这局部概念的本质，弄清易混概念。 例2. 如下图（1）所示，直线DE、BC被直线AB所截，问，各是什么角？图（1） 分析：已知图形不标准，开场学不简单看，可把此图画成如下图（2）的样子，这样就简单看了。图（2） 答案：是同位角，是内错角，是同旁内角。 例3 如下图（1），图（1） （1）是两条直线_及_被第三条直线_所截构成的_角。 （2）是两条直线_及_被第三条直线_所截构成的_角。 （3）_及_被第三条直线_所截构成的_角。 （4）及6是两条直线_及_，被第三条直线_所截
8、构成的_角。 分析：从较困难的图形中分解出有关角的直线，因此可以得到是由直线被第三条直线所截构成的同位角，如下图（2），类似可知其他状况。图（2） 答案：（1）1及2是两条直线被第三条直线所截构成的同位角。 （2）1及3是两条直线被第三条直线所截构成的同位角。 （3）是两条直线被第三条直线所截构成的内错角。（4）5及6是两条直线被第三条直线所截构成的同旁内角。例4如图，已知AMF=BNG=75，CMA=55，求MPN的大小答案：50解析：因为AMF=BNG=75，又因为BNG=MNP，所以AMF=MNP，所以EFGH，所以MPN=CME，又因为AMF=75，CMA=55，所以AMF+CMA=1
9、30，即CMF=130，所以CME=180130=50，所以MPN=50例5如图，1及3为余角，2及3的余角互补，4=115，CP平分ACM，求PCM答案：57.5解析：因为1+3=90，2+（903）=180，所以2+1=180，所以ABDE，所以BCN=4=115，所以ACM=115，又因为CP平分ACM，所以PCM=ACM=115=57.5，所以PCM=57.5例6如图，已知：1+2=180，3=78，求4的大小答案：102解析：因为2=CDB，又因为1+2=180，所以1+CDB=180，所以得到ABCD，所以3+4=180，又因为3=78，所以4=102例7如图，已知：BAP及APD
10、 互补，1=2，说明：E=F解析：因为BAP及APD 互补，所以ABCD，所以BAP=CPA，又因为1=2，所以BAP1=CPA2，即EAP=FPA，所以EAPF，所以E=F例8 如图，已知ABCD，P为HD上随意一点，过P点的直线交HF于O点，试问：HOP、AGF、HPO有怎样的关系？用式子表示并证明答案：HOP=AGFHPO解析：过O作CD的平行线MN，因为ABCD，且CDMN，所以ABMN，所以AGF=MOF=HON，因为CDMN，HPO=PON，所以HOP=HONPON=HONHPO，所以HOP=AGFHPO例9 如图，已知ABCD，说明：BBEDD=360 分析：因为已知ABCD，所
11、以在BED的内部过点E作AB的平行线，将BBEDD的和转化成对平行线的同旁内角来求。 解：过点E作EFAB，则BBEF=180（两直线平行，同旁内角互补）ABCD（已知）EFAB（作图）EFCD（平行于同一条直线的两直线平行）DDEF=180（两直线平行，同旁内角互补）BBEFDDEF=360BBEDD=BBEFDDEFBBEDD=360例10. 小张从家（图中A处）动身，向南偏东40方向走到学校（图中B处），再从学校动身，向北偏西75的方向走到小明家（图中C处），试问ABC为多少度？说明你的理由。解：AEBD（已知）BAE=DBA（两直线平行， 内错角相等）BAE=40（已知）ABD=40（
12、等量代换）CBD=ABCABD（已知）ABC=CBDABD（等式性质）ABD=40（已知）ABC=7540=35例11 如图，ADC=ABC， 12=180，AD为FDB的平分线，说明：BC为DBE的平分线。分析：从图形上看，AE应及CF平行，AD应及BC平行，不妨假设它们都平行，这时欲证BC为DBE的平分线，只须证3=4，而3=C=6 ，4=5，由AD为FDB的平分线知5=6，这样问题就转化为证AECF，且ADBC了，由已知条件12=180不难证明AECF，利用它的平行及ADC=ABC的条件，不难推证ADBC。证明：12=180（已知）27=180（补角定义）1=7（同角的补角相等）AECF
13、（同位角相等，两直线平行）ABCC=180（两直线平行，同旁内角互补）又ADC=ABC（已知），CFAB（已证）ADCC=180（等量代换）ADBC（同旁内角互补，两直线平行）6=C， 4=5（两直线平行，同位角相等，内错角相等）又3=C（两直线平行，内错角相等）3=6（等量代换）又AD为BDF的平分线5=63=4（等量代换）BC为DBE的平分线例12 如图，DE，BE 分别为BDC， DBA的平分线，DEB=12（1）说明：ABCD（2）说明：DEB=90分析：（1）欲证平行，就找角相等及互补，但就本题，干脆证CDB及ABD互补比拟困难，而12=DEB，若以E为顶点，DE为一边，在DEB内部
14、作DEF=2，再由DE，EB分别为CDB， DBA的平分线，就不难证明ABCD了，（2）由（1）证得ABCD后，由同旁内角互补，易证12=90，进而证得DEB=90证明：（1）以E为顶点，ED为一边用量角器和直尺在DEB的内部作DEF=2DE为BDC的平分线（已知）2=EDC（角平分线定义）FED=EDC（等量代换）EFDC（内错角相等，两直线平行）DEB=12（已知）FEB=1（等量代换），EBA=EBF=1（角平分线定义）FEB=EBA（等量代换）FEBA（内错角相等，两直线平行）又EFDCBADC（平行的传递性）（2）ABDC（已证）BDCDBA=180（两直线平行，同旁内角互补）又1=
15、DBA，2=BDC（角平分线定义）12=90又12=DEBDEB=90中考真题精讲1如图，ADBC于D，EGBC于G，E=1，可得AD平分BAC理由如下：ADBC于D，EGBC于G，（已知）ADC=EGC=90，（垂直的定义），ADEG，（同位角相等，两直线平行）1=2，（两直线平行，内错角相等）E=3，（两直线平行，同位角相等）又E=1（已知），2=3（等量代换）AD平分BAC（角平分线的定义）考点：平行线的断定及性质；角平分线的定义；垂线专题：推理填空题分析：先利用同位角相等，两直线平行求出ADEG，再利用平行线的性质求出1=2，E=3和已知条件等量代换求出2=3即可证明解答：解：ADBC
16、于D，EGBC于G，（已知）ADC=EGC=90，（垂直的定义）ADEG，（同位角相等，两直线平行）1=2，（两直线平行，内错角相等）E=3，（两直线平行，同位角相等）又E=1（已知）2=3（等量代换）AD平分BAC（角平分线的定义）点评：本题考察平行线的断定及性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键2已知，如图，1=ACB，2=3，FHAB于H问CD及AB有什么关系？考点：平行线的断定及性质；垂线专题：探究型分析：由1=ACB，利用同位角相等，两直线平行可得DEBC，根据平行线的性质和等量代换可得3=DCB，故推出CDFH，再结合已知FHAB，易得CDAB解答：
17、解：CDAB；理由如下：1=ACB，DEBC，2=DCB，又2=3，3=DCB，故CDFH，FHABCDAB点评：本题是考察平行线的断定和性质的根底题，比拟简单，稍作转化即可3已知：如图，AEBC，FGBC，1=2，求证：ABCD考点：平行线的断定及性质专题：证明题分析：首先由AEBC，FGBC可得AEFG，根据两直线平行，同位角相等及等量代换可推出A=2，利用内错角相等，两直线平行可得ABCD解答：证明：AEBC，FGBC，AMB=GNM=90，AEFG，A=1；又2=1，A=2，ABCD点评：本题考察了平行线的性质及断定，熟记定理是正确解题的关键4如图，已知BEDF，B=D，则AD及BC平
18、行吗？试说明理由考点：平行线的断定及性质专题：探究型分析：利用两直线平行，同旁内角互补可得B+C=180，即C+D=180；根据同旁内角互补，两直线平行可证得ADBC解答：解：AD及BC平行；理由如下：BEDF，B+BCD=180（两直线平行，同旁内角互补）B=D，D+BCD=180，ADBC（同旁内角互补，两直线平行）点评：此题主要考察了平行线的断定和性质：两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行5如图，已知HDC及ABC互补，HFD=BEG，H=20，求G的度数考点：平行线的断定及性质专题：计算题分析：已知HFD=BEG且BEG=AEF，从而可得到HFD=AEF，根据同位角相等两
19、直线平行可得到DCAB，根据平行线的性质可得到HDC=DAB，已知HDC及ABC互补，则DAB也及ABC互补，根据同旁内角互补即可得到ADBC，根据平行线的性质即可求得G的度数解答：解：HFD=BEG且BEG=AEF，HFD=AEF，DCAB，HDC=DAB，HDC+ABC=180，DAB+ABC=180，ADBC，H=G=20点评：此题主要考察学生对平行线的断定及性质的综合运用实力6推理填空：如图ABCD，1=2，3=4，试说明ADBE解：ABCD（已知）4=1+CAF（两直线平行，同位角相等）3=4（已知）3=1+CAF（等量代换）1=2（已知）1+CAF=2+CAF（等量代换）即4=DA
20、C3=DAC（等量代换）ADBE（内错角相等，两直线平行）考点：平行线的断定及性质专题：推理填空题分析：首先由平行线的性质可得4=BAE，然后结合已知，通过等量代换推出3=DAC，最终由内错角相等，两直线平行可得ADBE解答：解：ABCD（已知），4=1+CAF（两直线平行，同位角相等）；3=4（已知），3=1+CAF（等量代换）；1=2（已知），1+CAF=2+CAF（等量代换），即4=DAC，3=DAC（等量代换），ADBE（内错角相等，两直线平行）点评：本题难度一般，考察的是平行线的性质及断定定理7如图，CDAF，CDE=BAF，ABBC，BCD=124，DEF=80（1）视察直线AB及
21、直线DE的位置关系，你能得出什么结论并说明理由；（2）试求AFE的度数考点：平行线的断定及性质；三角形内角和定理专题：探究型分析：（1）先延长AF、DE相交于点G，根据两直线平行同旁内角互补可得CDE+G=180又已知CDE=BAF，等量代换可得BAF+G=180，根据同旁内角互补，两直线平行得ABDE；（2）先延长BC、ED相交于点H，由垂直的定义得B=90，再由两直线平行，同旁内角互补可得H+B=180，所以H=90，最终可结合图形，根据邻补角的定义求得AFE的度数解答：解：（1）ABDE理由如下：延长AF、DE相交于点G，CDAF，CDE+G=180CDE=BAF，BAF+G=180，A
22、BDE；（2）延长BC、ED相交于点HABBC，B=90ABDE，H+B=180，H=90BCD=124，DCH=56，CDH=34，G=CDH=34DEF=80，EFG=8034=46，AFE=180EFG=18046=134点评：两直线的位置关系是平行和相交解答此类要断定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角本题是一道探究性条件开放性题目，能有效地培育“执果索因”的思维方式及实力8如图，1=2，2=G，试猜测2及3的关系并说明理由考点：平行线的断定及性质专题：探究型分析：此题由1=2可得DGAE，由此平行关系又可得到角的等量关系，易证得2=3解答：解：2=3，理由如下：1=2
23、（已知）DGAE（同位角相等，两直线平行）3=G（两直线平行，同位角相等）2=G（已知）2=3（等量代换）点评：主要考察了平行线的断定、性质及等量代换的学问，较简单9如图，点E、F、M、N分别在线段AB、AC、BC上，1+2=180，3=B，推断CEB及NFB是否相等？请说明理由考点：平行线的断定及性质专题：探究型分析：要推断两角相等，通过两直线平行，同位角或内错角相等证明解答：解：答：CEB=NFB（2分）理由：3=B，MEBC，1=ECB，1+2=180，ECB+2=180ECFN，CEB=NFB（8分）点评：解答此类要断定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角10如图所示，
24、已知ABCD，BD平分ABC交AC于O，CE平分DCG若ACE=90，请推断BD及AC的位置关系，并说明理由考点：平行线的断定及性质；角平分线的定义专题：探究型分析：根据图示，不难发觉BD及AC垂直根据平行线的性质，等式的性质，角平分线的概念，平行线的断定作答解答：解：BDAC理由如下：ABCD，ABC=DCG，BD平分ABC交AC于O，CE平分DCG，ABD=ABC，DCE=BCG，ABD=DCE；ABCD，ABD=D，D=DCE，BDCE，又ACE=90，BDAC点评：留意平行线的性质和断定、角平分线的概念的综合运用，细致视察图象找出各角各线间的关系是正确解题的关键11如图，已知OABE，
25、OB平分AOE，4=5，2及3互余；那么DE和CD有怎样的位置关系？为什么？考点：平行线的断定及性质；垂线专题：探究型分析：猜测到DECD，只须证明6=90即可利用平行线的性质、角平分线的性质以及等量代换可以证得2=5；然后根据外角定理可以求得6=2+3=90，即DECD解答：解：DECD，理由如下：OABE（已知），1=4（两直线平行，内错角相等）；又OB平分AOE，1=2；又4=5，2=5（等量代换）；DEOB（已知），6=2+3（外角定理）；又2+3=90，6=90，DECD点评：本题考察了垂线、平行线的断定及性质解答此题的关键是留意平行线的性质和断定定理的综合运用12已知：如图，ABC
26、D，BD平分ABC，CE平分DCF，ACE=90（1）请问BD和CE是否平行？请你说明理由（2）AC和BD的位置关系怎样？请说明推断的理由考点：平行线的断定及性质专题：探究型分析：（1）根据平行线性质得出ABC=DCF，根据角平分线定义求出2=4，根据平行线的断定推出即可；（2）根据平行线性质得出DGC+ACE=180，根据ACE=90，求出DGC=90，根据垂直定义推出即可解答：解：（1）BDCE理由：ADCD，ABC=DCF，BD平分ABC，CE平分DCF，2=ABC，4=DCF，2=4，BDCE（同位角相等，两直线平行）；（2）ACBD，理由：BDCE，DGC+ACE=180，ACE=9
27、0，DGC=18090=90，即ACBD点评：本题考察了角平分线定义，平行线的性质和断定，垂直定义等学问点，留意：同位角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补13如图，已知1+2=180，DEF=A，试推断ACB及DEB的大小关系，并对结论进展说明考点：平行线的断定及性质专题：证明题分析：ACB及DEB的大小关系是相等，理由为：根据邻补角定义得到1及DFE互补，又1及2互补，根据同角的补角相等可得出2及DFE相等，根据内错角相等两直线平行，得到AB及EF平行，再根据两直线平行内错角相等可得出BDE及DEF相等，等量代换可得出A及DEF相等，根据同位角相等两直线平行，得到DE及AC平行，根据
28、两直线平行同位角相等可得证解答：解：ACB及DEB相等，理由如下：证明：1+2=180（已知），1+DFE=180（邻补角定义），2=DFE（同角的补角相等），ABEF（内错角相等两直线平行），BDE=DEF（两直线平行，内错角相等），DEF=A（已知），BDE=A（等量代换），DEAC（同位角相等两直线平行），ACB=DEB（两直线平行，同位角相等）点评：此题考察了平行线的断定及性质，以及邻补角定义，利用了转化及等量代换的思想，敏捷运用平行线的断定及性质是解本题的关键14如图，DH交BF于点E，CH交BF于点G，1=2，3=4，B=5试推断CH和DF的位置关系并说明理由考点：平行线的断定及性
29、质分析：根据平行线的断定推出BFCD，根据平行线性质推出5+BED=180，求出B+BED=180，推出BCHD，推出2=H，求出1=H，根据平行线的断定推出CHDF即可解答：解：CHDF，理由是：3=4，CDBF，5+BED=180，B=5，B+BED=180，BCHD，2=H，1=2，1=H，CHDF点评：本题考察了平行线的性质和断定，主要考察学生运用性质进展推理的实力15如图，已知3=1+2，求证：A+B+C+D=180考点：平行线的断定及性质；三角形的外角性质专题：证明题分析：过G作GHEB，根据已知条件即可得出BECF，再由两直线平行，同旁内角互补即可证明解答：证明：过G作GHEB，
30、3=1+2=EGK+FGK，1=EGK，2=FGK，GHCF，BECF，A+B=BMD，C+D=ANC，A+B+C+D=BMD+ANC，BECF，BMD+ANC=180（两直线平行，同旁内角互补），A+B+C+D=BMD+ANC=180点评：本题考察了平行线的性质及断定及三角形的外角性质，难度一般，关键是奇妙作出协助线16如图，已知：点A在射线BG上，1=2，1+3=180，EAB=BCD求证：EFCD考点：平行线的断定及性质；平行公理及推论专题：证明题分析：根据平行线的性质推出BGEF，AEBC，推出BAC=ACD，根据平行线的断定推出BGCD即可解答：证明：1+3=180，BGEF，1=2
31、，AEBC，EAC=ACB，EAB=BCD，BAC=ACD，BGCD，EFCD点评：本题综合考察了平行线的性质和断定，平行公理及推理等学问点，解此题关键是娴熟地运用定理进展推理，题目比拟典型，是一道很好的题目，难度也适中17如图，六边形ABCDEF中，A=D，B=E，CM平分BCD交AF于M，FN平分AFE交CD于N试推断CM及FN的位置关系，并说明理由考点：平行线的断定及性质分析：设A=D=，B=E=，BCM为1，AMC为3，AFN为2，由六边形的内角和为720得，21+22+2+2=720由此得到1+2=360，又在四边形ABCM中，1+3=360故得：2=3，然后利用平行线的断定即可证明
32、题目结论解答：解：CMFN设A=D=，B=E=，BCM为1，AMC为3，AFN为2，六边形的内角和为720，21+22+2+2=720，1+2=360，又在四边形ABCM中，1+3=360，2=3，CMFN点评：此题主要考察了平行线的性质及断定，也考察了多边形的内角和定理，解答此题的关键是留意平行线的性质和断定定理的综合运用19如图，在四边形ABCD中，ABCD，点E、F分别在AD、BC边上，连接AC交EF于G，1=BAC（1）求证：EFCD；（2）若CAF=15，2=45，3=20，求B和ACD的度数考点：平行线的断定及性质；三角形的外角性质专题：证明题分析：（1）根据1=BAC，易得ABE
33、F，而ABCD，根据平行公理的推论可得EFCD；（2）由（1）知EFCD，那么B+BFE=180，据图易求BFE，进而可求B，又由于1是AGF的外角，可求1，而EFCD，那么有ACD=1=35解答：证明：（1）如右图，1=BAC，ABEF，ABCD，EFCD；（2）EFCD，B+BFE=180，BFE=2+3=65，B=115，1是AGF的外角，1=3+GAF=35，EFCD，ACD=1=35点评：本题考察了平行线的断定和性质、平行公理的推论、三角形外角性质，解题的关键是证明EFCD20如图，ABEF，ABCD，1=B，2=D，那么BEDE，为什么？考点：平行线的断定及性质分析：首先根据平行线的传递性得到EFCD，再根据平行线的性质可得D=3，B=4，再根据1=B，2=D可得到1=4，3=2，然后即可算出4+3=90，进而得到BEDE解答：解：BEDE，理由如下：ABEF，ABCD，EFCD，D=3，2=D，3=2，ABEF，B=4，1=B，1=4，1+4+3+2=180，4+3=90，BEDE点评：此题主要考察了平行线的性质，以及垂直定义，关键是证明1=4，3=2