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1、新人教版九年级上二次函数学问点总结学问点一：二次函数的定义1二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项学问点二：二次函数的图象及性质抛物线的三要素：开口、对称轴、顶点2. 二次函数的图象及性质（1）二次函数根本形式的图象及性质：a的肯定值越大，抛物线的开口越小（2）的图象及性质：上加下减（3）的图象及性质：左加右减（4）二次函数的图象及性质3. 二次函数的图像及性质 （1）当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值 （2）当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而
2、增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值4. 二次函数常见方法指导（1）二次函数图象的画法画准确图 五点绘图法（列表-描点-连线）利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，及轴的交点，顶点.（2）二次函数图象的平移平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 可以由抛物线经过适当的平移得到详细平移方法如下：平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”（3）用待定系数法求二次函数的解析式一般式：.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.顶点式：.已知图象的顶点或对称轴，通常选择
3、顶点式.交点式： .已知图象及轴的交点坐标、，通常选择交点式.（4）求抛物线的顶点、对称轴的方法公式法：，顶点是，对称轴是直线.配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线. 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴及抛物线的交点是顶点.（5）抛物线中，的作用确定开口方向及开口大小，这及中的完全一样.和共同确定抛物线对称轴的位置由于抛物线的对称轴是直线，故假如时，对称轴为轴；假如（即、同号）时，对称轴在轴左侧；假如（即、异号）时，对称轴在轴右侧.的大小确定抛物线及轴交点的位置当时，所以抛
4、物线及轴有且只有一个交点（0，），故假如，抛物线经过原点；假如,及轴交于正半轴；假如,及轴交于负半轴.学问点三：二次函数及一元二次方程的关系5.函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象及轴交点的横坐标，因此二次函数图象及轴的交点状况确定一元二次方程根的状况.(1)当二次函数的图象及轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象及轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象及轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地视察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程
5、没有实数解6.拓展：关于直线及抛物线的交点学问（1）轴及抛物线得交点为.（2）及轴平行的直线及抛物线有且只有一个交点(,). （3）抛物线及轴的交点 二次函数的图像及轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线及轴的交点状况可以由对应的一元二次方程的根的判别式断定： 有两个交点抛物线及轴相交； 有一个交点（顶点在轴上）抛物线及轴相切； 没有交点抛物线及轴相离. （4）平行于轴的直线及抛物线的交点 同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根. （5）一次函数的图像及二次函数的图像的交点，由方程组的解的数
6、目来确定： 方程组有两组不同的解时及有两个交点; 方程组只有一组解时及只有一个交点； 方程组无解时及没有交点. （6）抛物线及轴两交点之间的间隔 ：若抛物线及轴两交点为，由于、是方程的两个根，故学问点四：利用二次函数解决实际问题7.利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去探讨问题.在探讨实际问题时要留意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据及点的坐标联络起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.