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1、高中数学函数学问点总结 1. 对于集合，肯定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性。 中元素各表示什么？ A表示函数的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹2 进展集合的交、并、补运算时，不要遗忘集合本身和空集的特殊状况 留意借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 明显，这里很简洁解出-1,3.而B最多只有一个元素。故B只能是-1或者3。依据条件，可以得到11/3. 但是， 这里千万当心，还有一个B为空集的状况，也就是0,不要把它搞遗忘了。3. 留意以下性质： 要知道它的来历：假设B为A的子集，那么对于元素a1来说，有2种
2、选择在或者不在。同样，对于元素a2, a3,都有2种选择，所以，总共有种选择， 即集合A有个子集。当然，我们也要留意到，这种状况之中，包含了这n个元素全部在何全部不在的状况，故真子集个数为，非空真子集个数为 3德摩根定律：有些版本可能是这种写法，遇到后要可以看懂4. 你会用补集思想解决问题吗？解除法、间接法 的取值范围。留意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过； 如告知你函数f(x)2(a0) 在上单调递减，在上单调递增，就应当立刻知道函数对称轴是1.或者，我说在上 ，也应当立刻可以想到m，n事实上就是方程 的2个根5、熟识命题的几种形式、 命题的四种形式及其互相关系是什么？
3、互为逆否关系的命题是等价命题。 原命题及逆否命题同真、同假；逆命题及否命题同真同假。6、熟识充要条件的性质高考常常考 满意条件，满意条件，假设 ；那么是的充分非必要条件；假设 ；那么是的必要非充分条件；假设 ；那么是的充要条件；假设 ；那么是的既非充分又非必要条件；7. 对映射的概念理解吗？映射f：AB，是否留意到A中元素的随意性和B中及之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？一对一，多对一，允许B中有元素无原象。留意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，那么从A到B的映射个数有个。如：假设，；问：到的映射有 个，到的映射有 个；到的函数有 个，假设，那么到的一一映射有
4、个。函数的图象及直线交点的个数为 个。 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否一样？ 定义域、对应法那么、值域一样函数的推断方法：表达式一样；定义域一样 (两点必需同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 函数定义域求法：l 分式中的分母不为零；l 偶次方根下的数或式大于或等于零；l 指数式的底数大于零且不等于一；l 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。l 正切函数 l 余切函数 l 反三角函数的定义域函数y的定义域是 1, 1 ，值域是，函数y的定义域是 1, 1 ，值域是 0, ，函数y的定义域是 R ，值域是.，函数y的定义域是 R ，值域是 (0, ) .当以上几
5、个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满意每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。10. 如何求复合函数的定义域？ 义域是。 复合函数定义域的求法：的定义域为，求的定义域，可由解出x的范围，即为的定义域。例 假设函数的定义域为，那么的定义域为 。分析：由函数的定义域为可知：；所以中有。解：依题意知： 解之，得 的定义域为11、函数值域的求法1、干脆视察法对于一些比较简洁的函数，其值域可通过视察得到。例 求函数的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最根本的方法之一。例、求函数25，x-1，2的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数分子或分母中有一个是二次都可通用，但
6、这类题型有时也可以用其他方法进展化简，不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的具体写出来，盼望大家可以看懂4、反函数法干脆求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 求函数值域。5、函数有界性法干脆求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数，的值域。6、函数单调性法 通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例求函数2x10的值域7、换元法通过简洁的换元把一个函数变为简洁函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发
7、挥作用。例 求函数的值域。8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的间隔 公式直线斜率等等，这类题目假设运用数形结合法，往往会更加简洁，一目了然，赏心悦目。例：点P在圆x22=1上， 例求函数的值域。解：原函数可化简得：2+8 上式可以看成数轴上点Px到定点A2，B-8间的间隔 之和。由上图可知：当点P在线段上时，2+8=10当点P在线段的延长线或反向延长线上时，2+8=10故所求函数的值域为：10，+例求函数 的值域解：原函数可变形为： 上式可看成x轴上的点Px，0到两定点A3，2，B-2，-1的间隔 之和，由图可知当点P为线段及x轴的交点时， ，故所求函数的值域为，+
8、。注：求两间隔 之和时，要将函数 9 、不等式法利用根本不等式2，3a，b，c，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例：倒数法有时，干脆看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发觉另一番境况例 求函数的值域多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，首先要细致、细致视察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑干脆法，函数单调性法和根本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 切记：做题，特殊是做大题时， 肯定要留意附加条件，如定义
9、域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，及到手的总分值失之交臂 13. 反函数存在的条件是什么？ 一一对应函数 求反函数的步骤驾驭了吗？ 反解x；互换x、y；注明定义域 在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜爱偷懒的人供应了大便利。请看这个例题：(2004.全国理)函数的反函数是 B A222(x1)B222(x1)C22x (x=1. 解除选项.如今看值域。原函数至于为y=1,那么反函数定义域为x=1, 答案为B.我题目已经做完了， 好像没有动笔除非你拿来写*书。思路能不能明白呢？14. 反函数的性质有哪些？ 反函数性质：1、 反函数的定义域是原函数的值域 可扩展
10、为反函数中的x对应原函数中的y2、 反函数的值域是原函数的定义域可扩展为反函数中的y对应原函数中的x3、 反函数的图像和原函数关于直线对称难怪点和点y，x关于直线对称 互为反函数的图象关于直线yx对称； 保存了原来函数的单调性、奇函数性； 由反函数的性质，可以快速的解出许多比较费事的题目，如04. 上海春季高考函数，那么方程的解.15 . 如何用定义证明函数的单调性？ 取值、作差、判正负推断函数单调性的方法有三种：(1)定义法：依据定义，设随意得x12，找出f(x1)(x2)之间的大小关系可以变形为求的正负号或者及1的关系(2)参照图象：假设函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)
11、在关于点(a，0)的对称区间具有一样的单调性； 特例：奇函数假设函数f(x)的图象关于直线xa对称，那么函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。特例：偶函数(3)利用单调函数的性质：函数f(x)及f(x)c(c是常数)是同向改变的函数f(x)及(x)(c是常数)，当c0时，它们是同向改变的；当c0时，它们是反向改变的。假如函数f1(x)，f2(x)同向改变，那么函数f1(x)f2(x)和它们同向改变；函数相加假如正值函数f1(x)，f2(x)同向改变，那么函数f1(x)f2(x)和它们同向改变；假如负值函数f1(2)及f2(x)同向改变，那么函数f1(x)f2(x)和它们反
12、向改变；函数相乘函数f(x)及在f(x)的同号区间里反向改变。假设函数u(x)，x，及函数yF(u)，u()，()或u(),()同向改变，那么在，上复合函数yF(x)是递增的；假设函数u(x)，及函数yF(u)，u()，()或u()，()反向改变，那么在，上复合函数yF(x)是递减的。同增异减假设函数yf(x)是严格单调的，那么其反函数xf1(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性一样。f(g)g(x)fg(x)f(x)(x)f(x)*g(x) 都是正数增增增增增增减减/减增减/减减增减减 16. 如何利用导数推断函数的单调性？ 值是 A. 0B. 1C. 2D. 3 a的最大值为317. 函
13、数f(x)具有奇偶性的必要非充分条件是什么？ f(x)定义域关于原点对称 留意如下结论： 1在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数及奇函数的乘积是奇函数。 推断函数奇偶性的方法一、 定义域法一个函数是奇偶函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇偶函数的必要条件.假设函数的定义域不关于原点对称，那么函数为非奇非偶函数.二、 奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算，然后依据函数的奇偶性的定义推断其奇偶性.三、 复合函数奇偶性f(g)g(x)fg(x)f(x)(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶18
14、. 你熟识周期函数的定义吗？ 函数，T是一个周期。 我们在做题的时候，常常会遇到这样的状况：告知你f(x)()=0,我们要立刻反响过来，这时说这个函数周期2t. 推导：，同时可能也会遇到这种样子：f(x)(2),或者说f()().其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称， 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比方，f(x)(2),或者说f()()就都表示函数关于直线对称。 如： 19. 你驾驭常用的图象变换了吗？ 联想点,() 联想点,() 联想点,() 联想点,() 联想点,(2a) 联想点,(2a,0) 这是书上的方法，虽然我从来不用， 但可能大家接触最多，我还是写出来
15、吧。对于这种题目，其实根本不用这么费事。你要推断函数()怎么由(x)得到，可以干脆令00,画出点的坐标。 看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。 留意如下“翻折变换： 19. 你娴熟驾驭常用函数的图象和性质了吗？ (k为斜率，b为直线及y轴的交点) 的双曲线。 应用：“三个二次二次函数、二次方程、二次不等式的关系二次方程求闭区间m，n上的最值。 求区间定动，对称轴动定的最值问题。 一元二次方程根的分布问题。 由图象记性质！ 留意底数的限定！ 利用它的单调性求最值及利用均值不等式求最值的区分是什么？均值不等式肯定要留意等号成立的条件20. 你在根本运算上常出现错误吗？ 21. 如
16、何解抽象函数问题？ 赋值法、构造变换法 对于这种抽象函数的题目，其实简洁得都可以干脆用死记了1、 代，2、 令0或1来求出f(0)或f(1)3、 求奇偶性，令x；求单调性：令1 几类常见的抽象函数 1. 正比例函数型的抽象函数 fxk0xyfxfy2. 幂函数型的抽象函数 fx fxfy；f3. 指数函数型的抽象函数 fx fxyfxfy；fxy4. 对数函数型的抽象函数fxa0且a1xyfxfy；f fxfy5. 三角函数型的抽象函数fx fxyfx fxy例1函数fx对随意实数x、y均有fxyfxfy，且当x0时，f(x)0，f(1) 2求f(x)在区间2,1上的值域.分析：先证明函数fx
17、在R上是增函数留意到fx2fx2x1x1fx2x1fx1；再依据区间求其值域.例2函数fx对随意实数x、y均有fxy2fxfy，且当x0时，f(x)2，f(3) 5，求不等式 fa22a20N；fab fafb，a、bN；f24.同时成立？假设存在，求出fx的解析式，假设不存在，说明理由.分析：先猜出fx2x；再用数学归纳法证明.例6设fx是定义在0，上的单调增函数，满意fxyfxfy，f31，求：（1） f1；（2） 假设fxfx82，求x的取值范围.分析：1利用313；2利用函数的单调性和关系式.例7设函数y fx的反函数是ygx.假如ffafb，那么gabgagb是否正确，试说明理由.分
18、析：设fam，fbn，那么gma，gnb，进而mnfafb ff gmgn.例8函数fx的定义域关于原点对称，且满意以下三个条件： x1、x2是定义域中的数时，有fx1x2； fa 1a0，a是定义域中的一个数； 当0x2a时，fx0. 试问：（1） fx的奇偶性如何？说明理由；（2） 在0，4a上，fx的单调性如何？说明理由. 分析：1利用f x1x2 f x1x2，断定fx是奇函数；（3） 先证明fx在0，2a上是增函数，再证明其在2a，4a上也是增函数. 对于抽象函数的解答题，虽然不行用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟识的根本初等函数.
19、因此，针对不同的函数要进展适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题. 例9函数fxx0满意ffxfy，（1） 求证：f1f10；（2） 求证：fx为偶函数；（3） 假设fx在0，上是增函数，解不等式fxfx0.分析：函数模型为：fxa0（1） 先令xy1，再令xy 1；（2） 令y 1；（3） 由fx为偶函数，那么fxf.例10函数fx对一实在数x、y满意f00，fxyfxfy，且当x0时，fx1，求证：（1） 当x0时，0fx1；（2） fx在xR上是减函数.分析：1先令xy0得f01，再令yx；（3） 受指数函数单调性的启发：由fxyfxfy可得fxy，进而由x1x2，有fx1
20、x21.练习题：1.：fxyfxfy对随意实数x、y都成立，那么 Af00 Bf01 Cf00或1 D以上都不对2. 假设对随意实数x、y总有ffxfy，那么以下各式中错误的选项是 Af10 Bf fx Cf fxfy DfxnN3.函数fx对一实在数x、y满意：f00，fxyfxfy，且当x0时，fx1，那么当x0时，fx的取值范围是 A1， B，1C0，1 D1，4.函数fx定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有fx1x2，那么fx为 A奇函数非偶函数 B偶函数非奇函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数5.不恒为零的函数fx对随意实数x、y满意fxyfxy2fxfy，那么函数fx是 A奇函数非偶函数 B偶函数非奇函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数参考答案：1A 2B 3 C 4A 5B23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？ (和三角形的面积公式很相像， 可以比较记忆.要知道圆锥绽开图面积的求法)