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1、数学知识点总结高中数学 必修1学问点 第一章 集合及函数概念1.1集合【1.1.1】集合的含义及表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有 确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法表示 自然数集，或表示 正整数集，表示 整数集，表示 有理数集，表示 实数集.（3）集合及元素间的关系对象及集合的关系是，或者，两者必居其一. 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个 集合相等。（4）集合的表示法 自然语言法：用文字叙述的形式来描绘集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.描绘法：|具有的性质，其中为集合的代表元素.图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类含有有
2、限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集(). 把探讨的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。【1.1.2】集合间的根本关系1、 一般地，对于两个集合A、B，假如集合A中随意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作.2、 假如集合，但存在元素，且，则称集合A是集合B的真子集.记作：AB.3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：.并规定：空集合是任何集合的子集.4、 假如集合A中含有n个元素，则集合A有个子集，个真子集.5、子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集（或A中的任一元素都属于B(1)AA(2)(3)若且
3、，则(4)若且，则或真子集AB（或BA），且B中至少有一元素不属于A（1）（A为非空子集）(2)若且，则集合相等A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A(1)AB(2)BA6、已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.【1.1.3】集合的根本运算1、 一般地，由全部属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A及B的并集.记作：.2、 一般地，由属于集合A且属于集合B的全部元素组成的集合，称为A及B的交集.记作：.3、全集、补集名称记号意义性质示意图交集且（1）（2）（3） 并集或（1）（2）（3） 补集1 2 【1.2.1】函数的概念1、函数的概念
4、设A、B是非空的数集，假如依据某种确定的对应关系，使对于集合A中的随意一个数，在集合B中都有惟一确定的数和它对应，那么就称为集合A到集合B的一个函数，记作：.函数的三要素:定义域、值域和对应法则假如两个函数的定义域一样，并且对应关系完全一样，则称这两个函数相等【1.2.2】函数的表示法2、函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.3、映射的概念设、是两个集合，假如依据某种对应法则，对于集合中任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它
5、对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的映射，记作给定一个集合到集合的映射，且假如元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象1.3函数的根本性质【1.3.1】单调性及最大（小）值（1）函数的单调性定义及断定方法函数的性 质定义图象断定方法函数的单调性假如对于属于定义域I内某个区间上的随意两个自变量的值x1、x2,当x1 x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增）（4）利用复合函数假如对于属于定义域I内某个区间上的随意两个自变量的值x1、x2
6、，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数对于复合函数，令，若为增，为增，则为增；若为减，为减，则为增；若为增，为减，则为减；若为减，为增，则为减yxo（2）打“”函数的图象及性质分别在、上为增函数，分别在、上为减函数（3）最大（小）值定义 一般地，设函数的定义域为，假如存在实数满意：（1）对于随意的，都有； （2）存在，使得那么，我们称是函数的最大值，记作一
7、般地，设函数的定义域为，假如存在实数满意：（1）对于随意的，都有；（2）存在，使得那么，我们称是函数的最小值，记作【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性定义及断定方法函数的性 质定义图象断定方法函数的奇偶性假如对于函数f(x)定义域内随意一个x，都有f(x)=f(x),那么函数f(x)叫做奇函数（1）利用定义（要先推断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）假如对于函数f(x)定义域内随意一个x，都有f(x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数（1）利用定义（要先推断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y轴对称）若函数为奇函数，且在处有定义，则奇函数在轴两侧相对
8、称的区间增减性一样，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数及一个奇函数的积（或商）是奇函数补充学问函数的图象（1）作图平移变换 伸缩变换 对称变换 第二章 根本初等函数()2.1指数函数【2.1.1】指数及指数幂的运算1、根式的概念（1） 一般地，假如，那么叫做 的次方根。其中.（2） 当为奇数时，；（3）当为偶数时，（4） 我们规定： ； ；（5） 运算性质： 留意口诀：底数取倒数，指数取相反数【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数定义0101函
9、数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的改变状况改变对图象的影响在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低2.2对数函数【2.2.1】对数及对数运算（1） 对数的定义 若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数负数和零没有对数对数式及指数式的互化：（2）几个重要的对数恒等式，（3）常用对数及自然对数常用对数：，即；自然对数：，即（其中）（4）对数的运算性质 假如，那么加法： 减法：数乘： 换底公式：倒数关系：.【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象0101定
10、义域值域过定点图象过定点，即当时，奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的改变状况改变对图象的影响在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高(6)反函数的概念设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子假如对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成（7）反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式中反解出；将改写成，并注明反函数的定义域（8）反函数的性质 原函数及反函数的图象关于直线对称函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域若在原函数的图象上，则在反函数的图象上
11、一般地，函数要有反函数则它必需为单调函数2.3幂函数（1）幂函数的定义 一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数（2）幂函数的图象 （3）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 过定点：全部的幂函数在都有定义，并且图象都通过点 单调性：假如，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数假如，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴及轴奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数当
12、（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方补充学问二次函数（1）二次函数解析式的三种形式一般式： 顶点式：两根式：（2）二次函数图象的性质对称轴方程为顶点坐标是当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，二次函数当时，图象及轴有两个交点（3）一元二次方程根的分布 设一元二次方程的两实根为，且令，从以下四个方面来分析此类问题：开口方向： 对称轴位置：
13、判别式： 端点函数值符号 （4）二次函数在闭区间上的最值 设在区间上的最大值为，最小值为，令（）当时（开口向上）若，则 若，则 若，则xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)若，则 ，则xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)()当时(开口向下)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)若，则 若，则 若，则xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)
14、f(q)若，则 ，则高中数学 必修4学问点第一章 三角函数2、角的顶点及原点重合，角的始边及轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角的集合为终边在轴上的角的集合为终边在轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为3、及角终边一样的角的集合为4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度5、半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的肯定值是6、弧度制及角度制的换算公式：，Pvx y A O M T 7、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，8、设是一个随意大小的角，的终边上随意一点的坐标是，它及原点的间隔
15、是，则，9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正10、三角函数线：，11、角三角函数的根本关系：；（3） 倒数关系：12、函数的诱导公式：，口诀：函数名称不变，符号看象限，口诀：正弦及余弦互换，符号看象限13、的图象上全部点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上全部点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上全部点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象数的图象上全部点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上全部点向左（右）平
16、移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上全部点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象14、函数的性质：振幅：； 周期：； 频率：； 相位：； 初相：函数，当时，获得最小值为 ；当时，获得最大值为，则，15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象及性质：函数性质 y=cotx图象定义域值域RR最值当时，；当时，当时；当时，既无最大值也无最小值既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴对称中心无对称轴第二章 平面对量16、向量：既有大小，又有
17、方向的量 数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度 零向量：长度为的向量单位向量：长度等于个单位的向量平行向量（共线向量）：方向一样或相反的非零向量零向量及任一向量平行相等向量：长度相等且方向一样的向量17、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连平行四边形法则的特点：共起点三角形不等式： 运算性质：交换律：；结合律：；坐标运算：设，则18、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设，则设、两点的坐标分别为，则19、向量数乘运算：实数及向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作；当时，的方向及的方向一样；当时，的方向及的方向相反；当时，
18、运算律：；坐标运算：设，则20、向量共线定理：向量及共线，当且仅当有唯一一个实数，使设，其中，则当且仅当时，向量、共线21、平面对量根本定理：假如、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的随意向量，有且只有一对实数、，使（不共线的向量、作为这一平面内全部向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，当时，点的坐标是（当23、平面对量的数量积：零向量及任一向量的数量积为性质：设和都是非零向量，则当及同向时，；当及反向时，；或运算律：；坐标运算：设两个非零向量，则若，则，或 设，则设、都是非零向量，是及的夹角，则平面的法向量的求法（待定系数法）： 建立适当的坐标
19、系设平面的法向量为求出平面内两个不共线向量的坐标依据法向量定义建立方程组.解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量. （如图） 1、 用向量方法断定空间中的平行关系线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即.即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。线面平行（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明，即.即：直线及平面平行直线的方向向量及该平面的法向量垂直且直线在平面外（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量及已知直线的方向向量是共线向量即可.面面平行若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证.即：两平面平行或重合两平面的法向量
20、共线。3、用向量方法断定空间的垂直关系线线垂直设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即.即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。线面垂直（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明，即.（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若即：直线及平面垂直直线的方向向量及平面的法向量共线直线的方向向量及平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。面面垂直 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证. 即：两平面垂直两平面的法向量垂直。4、利用向量求空间角求异面直线所成的角已知为两异面直线，A，C及B，D分别是上的随意两点，所成的角为，则求直线和平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线及平面所成的角为，及的夹角为，则为的余角或的补角的余角.即有：假如是锐角，则，即； 假如是钝角，则, 即.第三章 三角恒等变换24、两角和及差的正弦、余弦和正切公式：； （）； （）25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：升幂公式降幂公式， 26、 27、 是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍； ；问： ； ；等等