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1、第六章 实数6.1 平方根(3课时) 课程目的 一、学问与技能目的 1.通过对平方值的计算等确立平方根的意义、开方的运算。理解算术平方根与平方根的区分与联络。毛 2.对于随意有理数都能区分其“”、“”性，运用计算器已势在必行。 二、过程与方法目的 采纳类比平方值的求法，定义出平方根的概念，同时从这个过程可知一个什么样的数才具有平方根，这种数有几个平方根？并比拟这两个平方根之间有什么关系？ 三、情感看法与价值观目的 1.引导学生充分进展沟通，讨论与探究等教学活动，培育他们的合作与钻研精神。 2.理解无理数的发觉过程，激励学生大胆质疑，培育学生学习数学的热忱。 教材解读 本节内容首先给出一个简洁的
2、问题，依据正方形的面积求出其边长，由此引出求某数的平方根的问题，在涉及到不能干脆用已有的学问开方时，则引进计算器的运用方法，通过计算器对随意正数进展开方。这样将有理数与无理数沟通起来成为实数。 学情分析 上学期已经学习了有理数，对任何数的形式主义都可以顺当得到，同时也感知了“互为相反数的平方相等”，故由平方值去探究平方根的问题事实上只是互逆过程，只要求出一个数的平方就可得知平方根的值。第课时 一、创设情境，导入新课 玲玲家最近喜事不断，家里新购了一套房子，全家欢高兴喜地搬进新居，爸爸妈妈又增加了工资。条件改善了，为了给玲玲一个好的学习环境，爸爸准备给玲玲买一张桌子供她在家做作业。爸爸问玲玲：“
3、你宠爱长方形桌子还是正方形桌子？”玲玲认为正方形桌子更大，可以多堆点书，又可以有足够的位置写字，所以她更宠爱正方形桌子。于是爸爸依据她的宠爱为她购置了一张正方形桌子，玲玲量了量课桌的边长为100cm，你能算出这张桌子的周长和面积吗？当然可以了，可是假如玲玲更干脆地告知爸爸“我想要一张面积约为125dm的正方形桌子”。请问她爸爸能为她购置到满足的桌子吗？当然可以，计算正方形的面积必需要知道正方形的边长，依据边长求面积是乘方运算，而依据面积求边长又是什么运算呢？这节课我们就来讨论这个问题。 二、师生互动，课堂探究 (一)提出问题,引发讨论 1.你能求出下列各数的平方吗 0,-1,5,2.3,-,-
4、3,3,1, 能.02=0 (-1)2=1 52=25 2.32=5.29 (-)2= (-3)2=9 32=9 12=1 ()2= 2.若已知一个数的平方为下列各数,你能把这个数的取值说出来吗 25,0,4,-,1.69 能.由于52=25,(-5)2=25,故平方为25的数为5或-5. 02=0,故平方为0的数为0. 22=4,(-2)2=4,故平方为4的数为2或-2. (-)2=,()2=,故平方为的数为. (-)2=,()2=,故平方为的数为. 对于-这个数,没有哪个数的平方等于它,故平方为-的数找不到. 1.32=1.69,(-1.3)2=1.69,故平方为1.69的数是1.3. 又
5、如:课本P160中的问题:小欧要裁一块面积为25dm2的正方形画布,由于正方形的面积为边长的平方,而边长不行能为负数,故此画布的边长应为5dm.依此可得正方形的面积若分别为1,9,16,36,时,此正方形的边长分别为1,3,4,6, . 由以上讨论发觉,有时候我们已知一个数要求这个数的平方值时,只有一个,也有些时候,我们已知某数的平方,要求出这个数,发觉此时通常可找到两个数,且这两个数是互为相反数,而假如是已知某物的面积求其边长时,其边长也只有一个值.我们把已知平方值,求原数的问题称为求这个数的平方根. (二)导入学问,说明疑难 1.教材内容讲解 欲确定某数的平方根时,由以上过程发觉,即使有两
6、个值,这两个值也是一对互为相反数,因此事实上我们若求出其中一个值,另一个值也就可以依据求出的数再写出它的相反数,我们就可先确定一个正数,把这个正数称为所给数的算术平方根. 一般地,假如一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根,a的算术平方根记为,读作“根号a”,a叫做被开方数.规定:0的算术平方根是0. 例1 求下列各数的算术平方根: (1)900 (2)1 (3) (4)196 (5)0 (6)10-6 解:(1)302=900,故900的算术平方根是30,即=30. (3)()2=,故的算术平方根是,即= (4)142=196,故196的算术平方根是14,即=1
7、4. (5)02=0,故0的算术平方根是0,即=0. (6)(10-3)2=10-6,故10的算术平方根是10-3,即 =10-3 例2:节俭节约是中国人的一种美德,涛涛的爷爷是个能工巧匠,他把两张破损了一局部的桌面重新拼接成一张完好的正方形桌面,其面积为169dm2.已知他用的两张小桌面也是锯成了正方形的桌面,其中一张是边长为5dm的小板子,试问另一张较大的桌面的边长应为多少dm才能拼出面积为169dm2的桌面 分析:边长为5dm的正方形板子,其面积为25dm2,要拼出面积为169dm2的桌面,还需面积为169-25=144dm2的正方形桌面,故问题事实上转化为求144的算术平方根,即=12
8、. 解:设另一张较大的桌面的边长为xdm,则有x2+52=159,x2=169-25=144,而122=144 故144的算术平方根为12,即=12,即另一张桌面的边长应为12dm. 练习: 1.求下列各式的值: ; ; ; .解:=1.2 =0.1=0.9-0.2=0.7 = (2)若(a-1)2+b-9=0,则的算术平方根是下列哪一个( ) A. B.3 C.3 D.-3分析:由于(a-1)20.b-90, (a-1)2+b-9=0时,有a-1=0且b-9=0, a=1,b=9, =9,故的算术平方根是3. 3. 有意义吗为什么 分析: 无意义,因为任何数的平方都是非负数,即a20,故无意
9、义. 2.探究活动 (1)当a为负数时,a2有没有算术平方根其算术平方根与a有什么关系当a为正数时,a2的算术平方根如何表示a为0呢举例说明你的结论. (2)x2-x+是否有算术平方根如有请写出其算术平方根,如没有说明为什么 解:当a为负数时,a2为正数,故a2有算术平方根,如a=-5时,a2=(-5)2=25, =5,5是-5的相反数,故a20时,a的算术平方根与a互为相反数,表示为-a. 当a2为正数时,a的算术平方根表示为,其值为a,即=a. 当a=0时, =0 由此可知=|a|= (2)因为(x-)2=x2-x+,而(x-)2确定是非负数,故x-x+也是非负数,故x2-x+有算术平方根
10、,其算术平方根的值要视x的取值而定.当x时,x2-x+的算术平方根为x-.当x时,x2-x+的算术平方根为-(x-)=-x. (三)归纳总结,学问回忆 这节课主要就平方根中的算术平方根进展讨论,求一个数的算术平方根与求一个正数的平方幂正好是互逆的过程,因此,求正数的算术平方根事实上可以转化为求一个数的开平方运算.只不过,只有正数和0才有算术平方根,负数没有算术平方根. 练习设计 (一)双基练习 1.某数的算术平方根等于它本身,则这个数为_;若某数的算术平方根为其相反数,则这个数为_.2.求下列各式的值:, , , 3.3x-4为25的算术平方根,求x的值. 4.已知9的算术平方根为a,b的确定
11、值为4,求a-b的值. (二)创新提升 5.已知2a-1的算术平方根是3,3a+b-1的算术平方根是4,求a、b的值. (三)探究拓展 6.若与互为相反数,求xy的算术平方根. 参考答案1.0,1 0; 2.0.4, ,3,0.5,10-1(); 3.x=3 4.a=3,b=4,则a-b=3-4或3-(-4),故a-b=-1或7. 5.a=5,b=2 6.x=4,y=4,xy=16,xy的算术平方根为4.课后作业：第2课时 一、创设情境，导入新课某同学用一张正方形纸片折小船，但他手头上没有现成的正方形纸片，于是他撕下一张作业本上的纸，依据如图，沿AE对折使点B落在点F的位置上,再把多余局部FE
12、CD剪下,假如他事先量得矩形ABCD的面积为90cm2,又测量剪下的多余的矩形纸片的面积为40cm2.请依据上述条件算出剪出的正方形纸片的边长是多少厘米. 将原矩形纸片的面积减去剩余的矩形纸片的面积即为正方形纸片的面积,正方形纸片的面积为90-40=50cm2,而正方形的面积为边长的平方,要求正方形的边长就得算出多少的平方等于50,但我们知道72=49,82=64,50这个数既不是72,也不是82,由于495064,故此正方形的边长应大于7而小于8.究竟它为多少呢它是一个小数吗你有什么方法确定这个值呢这一系列问题正是我们这节课要讨论的问题. 二、师生互动,课堂探究 (一)提出问题,引发讨论 在
13、实际问题中,往往会遇到像上述情形中的问题,假如在所学过的有理数中的确找不到适宜的数的平方会等于所给的数,我们该怎么表示所给数的算术平方根呢 我们知道,若有正数x,使x2=a(a0),则x为a的算术平方根,记作x=,于是若x2=50时(x为正数),则x=,而725082,因此有750,故50,故7 7.09,而7.082=50.12,7.072=49.98,故7.077.08,接着接着增加小数点后一位小数,如7.071,计算7.0712=49.99,而7.0722=50.013,故7.0717.072,如此接着进展下去,可以发觉将小数点后的小数位接着增加下去,始终不能穷尽,都只能使7.07的平方
14、值无限接近,因此发觉,不行能化为我们以前学过的无限循环小数,只能化为无限不循环小数,而有理数只包括有限小数和无限循环小数或者整数,但却不在这些数的范围内,只能说这个数不是有理数,我们把这种数重新命名为“无理数”,于是数的范围也就扩大了,是否我们可以干脆用计算器来计算某一个正数的算术平方根呢 只要计算器上有“”键或者“”键,它就可以用来求某正数的算术平方根了,但不同的计算器的按键依次不一样,只要按计算器的运用方法去按键,就可求出随意正数的算术平方根了. 例1:用计算器计算和,的值. 解:通过按键可得的值在计算器上显示:56,为有理数.的值在计算器上显示1.414213562,而的值在计算器上显示
15、2.236067978,的值在计算器上显示3.16227766.从计算器上显示的数都是位数有限的,因此往往给我们一个印象“这些值都是有理数”,而事实上我们知道用平方幂验证它们的平方根时,却怎么也找不到准确的数,使其平方为2、5、10,于是我们得出:这些数不是有理数,只是一个无限不循环小数即无理数.通过计算器计算出的小数只能是这些数的算术平方根的近似值或最接近的值.运用计算器可以很便利地确定一个随意正数的算术平方根. 活动:怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形求出其边长. 分析:将两个面积为1的小正方形的面积相加得2,而要拼的大正方形的面积正好为2,于是可知,只要将两个小正方形
16、剪开再重新拼合成一个正方形即能满足要求.要确定新正方形的边长,我们就得确定的值大约是多少,我们知道12=1,22=4,故137=21cm,21cm比原正方形的边长20cm更长,这是不行能的. 通过上述两例发觉利用面积大的纸片不确定能剪出面积小的纸片. (三)归纳总结,学问回忆 通过本节课的学习可知,并不是全部的正数的算术平方根都是有理数,这时我们既可以用“”的形式表示,也可以用一个与的值接近的有理数替代,于是可用计算器算出这个数,但事实上,是一个无理数. 练习设计 (一)双基练习1. 用计算器求出下列各式的值. - 2.用计算器比拟与的大小. 3.在物理学中,用电器中的电阻R与电流I,功率P之
17、间有如下的一个关系式:P=I2R,现有一用电器,电阻为18欧,该用电器功率为2400瓦,求通过用电器的电流I. 4.用边长为5cm的正方形纸片两张重新剪开并拼接成一个较大的正方形,其边长约为多少(准确到0.01cm) (二)创新提升 5.某地开拓了一块长方形的荒地,新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2.5倍,它的面积为60000米2. (1)试估算这块荒地的宽约为多少米(误差小于1米) (2)若在公园中建一个圆环喷水池,其面积为80米2,该水池的半径是多少(准确到0.01) (三)探究拓展 6.(1)随意找一个很大正数,利用计算器将该数除以3,将所得结果再除以3.随着运算资料的
18、增加,你发觉了什么换一个数试试,是否仍有类似的规律 (2)随意找一个特别大的正数,利用计算器不断地对它进展开算术平方根,你发觉了什么第3课时 一、创设情境,导入新课 同学们,你知道“神舟五号”载人飞船吗？“神舟五号”载人飞船于2003年10月15日9时整,在中国酒泉卫星放射中心进展首次载人航天放射,由“长征二号”F型火箭点火升空,这标记着我国的航天事业又前进了一步,我国在世界上的地位也徒然而升了;当物体到达11.2千米/秒的运动速度时能摆脱地球引力的束缚,在摆脱地球束缚的过程中,在地球引力的作用下它并不是直线飞离地球,而是按抛物线飞行,脱离地球引力后在太阳引力作用下绕太阳运行,若要摆脱太阳引力
19、的束缚飞出太阳系,物体的运动速度必需到达16.7千米/秒,那时将按双曲线轨迹飞离地球,而相对太阳来说它将沿抛物线飞离太阳.经过计算,在地面上,物体的运动速度到达7.9千米/秒时,该速度被称为第一宇宙速度.第一宇宙速度与哪些因素有关呢又是如何计算呢 二、师生互动,课堂探究 (1)前面在第一节课的学习中,我们计算过了许多互为相反数的平方,发觉这些数的平方值会相等,依据我们求正数x的算术平方根的考虑,若x2=a,则x=称为a的算术平方根,而x还有一个负值,又该如何称呢 (2)宇宙飞船分开地球进入轨道正常运行的速度要大于第一宇宙速度v1(米/秒)而小于第二宇宙速度v2(米/秒),其中v1、v2满足v1
20、2=gR,v22=2gR,其中g是物理中的一个常数(重力加速度),g9.8米/秒2,R是地球半径,R6.4106米,如何确定v1、v2的值呢它与算术平方根有什么关系下面让我们来逐个分析吧. (二)导入学问,说明疑难 1.若一个数的平方等于16,这个数是多少,又怎样表示呢 由于42=16,(-4)2=16,故平方等于16的数有两个:4和-4,把4和-4叫做16的平方根,记为4=,则-4= -,把4和-4称为16的平方根. 一般地,假如一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根,即若x2=a,则x为a的平方根,记为x=.如3和-3是9的平方根,记为3是9的平方根,表示为3=.把求一个数
21、a的平方根的运算,叫做开平方,而平方运算与开平方运算互为逆运算.依据这种运算关系,可以求一个数的平方根,例如当x2=1时,x=1;当x2=16时,则x=4,当x2=36时,x=6;当x2=49时,x=7;当x2=,则为的平方根,依次可记为,它们的对应关系如图所示. 练习:求下列各数的平方根. (1)0.49 (2) (3)81 (4)0 (5)-100 解:(1)因为0.72=0.49,(-0.7)2=0.49,所以0.49的平方根为0.7,即=0.7 (2)因为()2=,(-)2= ,所以的平方根为,即= (3)因为92=81,(-9)2=81,所以81的平方根为9,即=9. (4)因为02
22、=0,所以0的平方根为0,即=0. (5)因为任何数的平方都不小于0,找不到平方为-100的数,故-100没有平方根. 将这些数的平方根与它们的算术平方根进展比拟,正数(或0)的算术平方根只是它们的平方根中的一局部,是正数(或0)的那局部,而负的那个值正好是算术平方根的相反数,进一步可归纳出: 正数的平方根有两个,它们是一对互为相反数. 0的平方根是0 负数没有平方根 例1:求下列各式的值,并依据这些值写出各被开方数的平方根. (1) (2)- (3) 解:(1)因为1.22=1.44,所以=1.2,1.44的平方根为1.2,即=1.2. (2)因为92=81,所以-=-9,81的平方根为9,
23、即=9. (3)因为()2=,所以=,它正是的平方根. 故求正数的平方根时,只要知道它的算术平方根,就能确定了,因为其算术平方根和算术平方根的相反数即为该数的平方根.同样假如知道某数的算术平方根的相反数,则该数的平方根同样可确定. 面对问题(2)中的“宇宙速度”,我们知道第一宇宙速度v12=gR,其中g=9.8米/秒2,R6.4106米,v22=2gR,则有v129.86.4106米2/秒262.72106米2/秒2=6.27107米2/秒2.v22125.44106米2/秒2=1.2544108米2/秒2 因此,v1是6.272107的平方根,v2是1.2544108的平方根. 那么v1=7
24、.9103米/秒=7.9千米/秒,v2= 11.2103米/秒=11.2千米/秒 但在实际问题中,速度是一个比0大的数,数学问题中不考虑速度的方向,故负值不合题意,应舍去,事实上,在某些详细问题中,要依据得出的答案是否有意义而取值. 例2:某矩形的面积为13200平方米,若其长是宽的3倍,试求出此矩形的长与宽分别是多少米 解:设宽为x米,则长为3x米,其面积为3x2平方米 故3x2=13200 x2=4400 解得x=66.33 但x为矩形的边长应大于0,故x=66.33米,3x=198.99米,即此矩形的长为198.99米,宽为66.33米. 2.探究活动 对于正数x和y,有下列命题: (1
25、)若x+y=2,则1 (2)x+y=3,则 (3)若x+y=6,则3 依据以上三个命题所供应的规律猜测: (1)若x+y=9,则_. (2)若对于随意正数a、b,总有_. 分析:当x+y=3时,有,从中发觉分母为2,分子为x、y的和,再验证其它的等式:x+y=2时,则=1.当x+y=6时, =3.与已知相吻合,故有结论m0,n0,且m+n=a时,则,即 x+y=9时,则, 由此得a+b2, 即(-)20 (三)归纳总结,学问回忆 本节课针对平方根与算术平方根的意义详细地分析何种情形用平方根,何种情形用其算术平方根,得依据实际状况选择答案. 练习设计 (一)双基练习 1. 的值为多少16的平方根
26、为多少 的平方根呢 2.假如一个正数的一个平方根为4,则另一个平方根为多少 3.有一长方形花坛,长是宽的4倍,其面积为25m2,求长和宽. 4.若(a-)2= +a2-2,现教师布置了一道化简题: +(a=) .甲、乙两同学很快地写出其解答过程:甲: + =+=+-a=-a,当a=时,-a=10-=9 乙: +=+=+a-=a= 谁的答案是对的为什么 (二)创新提升 5.已知a=-1,b=2-,c=-2,试比拟a、b、c的大小.(不用计算器) (三)探究拓展 6.若的整数局部为a,小数局部为b,求a、b的值. 参考答案1.4,4,2 2.-4 3.长为10m,宽为2.5m 4.甲的答案是对的,
27、因为a= 时,a. 5.因为32 ,所以a-b=-1-=-1-1-=-1-,而c-a=-1- =a-b0 bac 6. 50时, -表示a的算术平方根的相反数无意义;若a0,则-无意义. 例2:求下列各数的立方根。 -27; ; -0.216。 解:(-3)3=-27,=-3; ()3=, =,. (-0.6)3=-0.216, =-=-0.6. 练习:(1)求下列各数的立方根: 0 8 -64 81- 解:=0; =2; =-4; 81-=81-6=75; 4.22; (2)比拟-4、-5、-的大小. 解:43=64,53=125,64100125, 4-5 2.探究活动 若正方体的棱长为1
28、,则其体积为1;若正方体的棱长为2,则其体积为8;若正方体的棱长为4,则其体积为64;若其棱长为8,则其体积为512当棱长为2n时,其体积为多少某正方体的体积为1时,其棱长为1;体积为2时,棱长为;体积为3时,棱长为 ;若体积扩大到原来的n倍,则棱长扩大多少倍 解:正方体棱长为1,则体积为1,棱长为2,体积为8,比拟两者棱长扩大了2倍,体积扩大了8倍,棱长又扩大了1倍,其体积相应增大7倍,为原来的8倍,故当棱长为2n时,体积为8n3. 当体积扩大到原来的n倍时,棱长扩大到原来的倍. (三)归纳总结,学问回忆 这节课学习了立方根的概念,立方根的表示方法以及如何求一个数的立方根.用计算器求随意数的
29、立方根时,只能先求出该数的确定值的立方根,再依据随意数的正负性确定其值,留意区分平方根与立方根. 练习：（一）51页1； 52页2，3 1.某数的立方根等于它本身,这个数是多少 2.求下列各数的立方根:(1)-1+; (2)640003.某金属冶炼厂将27个大小一样的立方体钢铁在炉火中熔化后浇铸成一个长方体钢铁,此长方体的长,宽,高分别为160cm,80cm和40cm,求原来立方体钢铁的边长.4.有一边长为6cm的正方体的容器中盛满水,将这些水倒入另一正方体容器时,还需再加水127cm3才满,求另一正方体容器的棱长. 参考答案 1.这个数为0,1 2.(1)- (2)40 3. cm 4.7c
30、m 作业：57页2，4。 6.2 立方根(2课时)答：被开方数扩大（缩小）1000倍时，它的立方根扩大（缩小）10倍。课堂练习：1。 171页2， 173页10，112.视察下列各式是否成立,你能从中找到什么结论,并证明你的结论. (1) =2 (2) =3 (3) =4 (4) =5 3.设1995x3=1996y3=1997z3,xyz0,且=+,求的值.参考答案 2.7=8-1=23-1 26=27-1=33-1 63=64-1=43-1 124=125-1=53-1 揣测=n(n=1,2,3,) =n3.令1995x3=1996y3=1997z3=k,k0,则1995=,1996=,1
31、997=,故=+, 即 =. 而x0,y0,z0,所以=()3,解得: =1. 6.3 实数(1)一、教学目的 （一）学问目的1.理解无理数和实数的意义，驾驭实数的分类，可以推断一个数是有理数还是无理数；2.驾驭有理数的运算法则在实数运算法则中仍适用.（二）实力目的 通过实数的分类,使学生进一步领悟分类的思想;（三）情感目的1.由实数的分类，浸透数学分类的思想 2.数形结合表达了数学的统一性的美.二、教学重点和难点教学重点：使学生理解无理数和实数的意义及性质，实数的运算律和运算性质.教学难点：无理数意义的理解三、教学方法讲练结合四、教学手段投影片五、教学活动设计(一)复习提问什么叫有理数？有理
32、数如何分类？由学生答复，教师扶植订正：1整数和分数统称为有理数2有理数的分类有两种方法：第一种：按定义分类：第二种：按大小分类：(二)引入新课同学们，有理数由整数和分数组成，下面我们用小数的观点来看，整数可以看做是小数点后面是0的小数，如3可写做3.0、3.00；而分数，我们可以将分数化为有限小数或无限循环小数，由此我们可以看到有理数总是可以用有限小数或无限循环小数表示。如3=3.0， ， ，但是是不是全部的数都可以写成有限小数或无限循环小数形式呢？答案是否认的，我们来看这样一组数：我们会发觉这些数的小数位数是无限的，而且是不循环的，这样的小数叫做无限不循环小数，明显它不属于有理数的范围这就是
33、我们今日要学习的一个新的概念：无理数1定义：无限不循环小数叫做无理数请同学们推断以下说法是否正确？(1)无限小数都是无理数(2)无理数都是无限小数(3)带根号的数都是无理数答：(1)错，无限不循环小数都是无理数(2)错，无理数是无限不循环小数如今我们不仅学过了有理数，而且又定义了无理数，明显我们所学的数的范围又扩大了，我们把有理数和无理数统称为实数，这是我们今日学习的又一新的概念2实数的定义：有理数和无理数统称为实数3实数的分类：对于实数，我们可按定义分类如下： 由上述分类，我们发觉有理数和无理数都有正负之分，所以对实数我们还可以按大小分类如下： 对于这两种分类的方法，同学们应坚固地驾驭4实数的相