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1、例1：沿程度方向向一堵竖直光滑墙壁抛出一个弹性小球A， 抛出点离程度地面高度为h，间隔 墙壁程度间隔 为s， 小球与墙壁发生弹性碰撞后，落在程度地面上，落地点距墙壁程度间隔 为2s，如图71所示. 求小球抛出时初速度.解析：因小球与墙壁发生弹性碰撞， 故与墙壁碰撞前后入射速度与反射速度具有对称性， 碰撞后小球运动轨迹与无墙壁阻挡时小球接着前进轨迹相对称，如图71甲所示，所以小球运动可以转换为平抛运动处理， 效果上相当于小球从A点程度抛出所做运动.依据平抛运动规律：因为抛出点到落地点间隔 为3s，抛出点高度为h代入后可解得：例2：如图72所示，在程度面上，有两个竖直光滑墙壁A和B，间距为d， 一
2、个小球以初速度从两墙正中间O点斜向上抛出， 与A和B各发生一次碰撞后正好落回抛出点O， 求小球抛射角.解析：小球运动是斜上抛和斜下抛等三段运动组成， 假设按依次求解那么相当困难，假如视墙为一平面镜， 将球与墙弹性碰撞等效为对平面镜物、像挪动，可利用物像对称规律及斜抛规律求解.物体跟墙A碰撞前后运动相当于从O点开始斜上抛运动，与B墙碰后落于O点相当于落到O点，其中O、O关于A墙对称，O、O对于B墙对称，如图72甲所示，于是有代入可解得例3：A、B、C三只猎犬站立位置构成一个边长为a正三角形，每只猎犬追捕猎物速度均为，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，
3、速度方向始终“盯住对方，它们同时起动，经多长时间可捕获到猎物？解析：以地面为参考系，三只猎犬运动轨迹都是一条困难曲线，但依据对称性，三只猎犬最终相交于三角形中心点，在追捕过程中，三只猎犬位置构成三角形形态不变，以绕点旋转参考系来描绘，可认为三角形不转动，而是三个顶点向中心靠近，所以只要求出顶点到中心运动时间即可.由题意作图73， 设顶点到中心间隔 为s，那么由条件得 由运动合成与分解学问可知，在旋转参考系中顶点向中心运动速度为由此可知三角形收缩到中心时间为 此题也可以用递推法求解，读者可自己试解.例4：如图74所示，两个同心圆代表一个圆形槽，质量为m，内外半径几乎同为R. 槽内A、B两处分别放
4、有一个质量也为m小球，AB间间隔 为槽直径. 不计一切摩擦. 现将系统置于光滑程度面上，开始时槽静止，两小球具有垂直于AB方向速度，试求两小球第一次相距R时，槽中心速度.解析：在程度面参考系中建立程度方向x轴和y轴. 由系统对称性可知中心或者说槽整体将仅在x轴方向上运动。设槽中心沿x轴正方向运动速度变为，两小球相对槽心做角速度大小为圆周运动，A球处于如图74甲所示位置时，相对程度面两个分速度为 B球运动与A球运动是对称.因系统在x轴方向上动量守恒、机械能也守恒，因此将、式代入、式得：由此解得 当两球间间隔 为R时，代入可解得槽中心运动速度为例5：用一轻质弹簧把两块质量各为M和m木板连接起来，放
5、在程度上，如图75所示，问必需在上面木板上施加多大压力F，才能使撤去此力后，上板跳起来恰好使下板离地？解析：此题可用能量守恒观点求解，但过程较繁，而用弹簧形变“对称性求解就显得简洁明了.假设用拉力F作用在m上，欲使M离地，拉力F至少应为F=M+mg依据弹簧拉伸和压缩过程具有对称性，故要产生上述效果，作用在m上向下压力应为F=M+mg例6：如图76所示，长为l两块一样匀称长方形砖块A和B叠放在一起，A砖相对于B砖伸出l/5,B砖放在程度桌面上，砖端面与桌面平行. 为保持两砖不翻倒，B砖伸出桌面最大长度是多少？解析：此题可用力矩平衡求解，但用对称法求解，会直观简洁.把A砖右端伸出B端l/5截去，补
6、在B砖右端，那么变成图76甲所示对称形态. 伸出最多时对称轴应恰好通过桌边.所以：解得B砖右端伸出桌面最大长度为.例7：如图77所示，OABC是一张程度放置桌球台面.取OA为x轴，OC为y轴，P是红球，坐标为x，y，Q是白球，坐标为，图中未画出Q球在台面上位置.OA=BC=25dm，AB=OC=12dm.假设P球坐标为：处，问Q球位置在什么范围内时，可使击出Q球顺次与AB、BC、CO和OA四壁碰撞反弹，最终击中P球？解析：由于弹性碰撞反弹听从规律与光线反射定律一样，所以作P点对OA壁镜像P1，P1对CO壁镜像P2，P2对BC壁镜像P3和P3对AB壁镜像P4，那么只需瞄准P4点击出Q球，Q球在A
7、B壁上D点反弹后射向P3，又在BC壁上E点反弹后射向P2，依次类推，最终再经F，G二点反弹击中P点，如图77甲所示.但是，假设反弹点E离B点太近， Q球从E点反弹后EP2线与CO交点，可能不在CO壁范围内而在CO延长线上， 这时Q球就无法击中CO壁而击到OA壁上，不符合题目要求，所以，Q球可以最终按题目要求击中P球条件是：反弹点D、E、F、和G确定要在相应台壁范围之内.P点坐标为10，8，由此可知，各个镜像点坐标分别为P110，8，P210，8，P310，32，P460，32设Q点坐标为；直线QP4方程为 D点在此直线上，由上式得： 直线DP3方程为 E点在此直线上，YE=12，由 此式及式得
8、 直线EP2方程为 F点在此直线上，最终，直线FP1方程为 G点在此直线上，YG=0，所以 反弹点位于相应台壁上条件为将、和式代入，除确定满意无需探讨不等式外，Q球按题目要求击中P球条件成为上面共两个条件，作直线及如图77乙所示，假设Q球位于下方三角形D0AH0内，即可同时满意、两式条件，瞄准P4击出，可按题目要求次序反弹后击中P球，三角形D0AH0三个顶点坐标如图77乙所示.例8：一无限长匀称带电细线弯成如图78所示平面图形，其中AB是半径为R半圆孤，AA平行于BB，试求圆心O处电场强度. 解析：如图78甲所示，左上1/4圆弧内线元L1与右下直线上线元L3具有角元对称关系. L1电荷与L3电
9、荷在O点场强E1与E3方向相反，假设它们大小也相等，那么左上与右下线元电场强度成对抵消，可得圆心处场强为零.设电荷线密度为常量，因很小，L1电荷与L3电荷可看做点电荷，其带电量当又因为 与E1大小一样，且E1与E2方向相反，所以圆心O处电场强度为零. 例9：如图79所示，半径为R半圆形绝缘线上、下1/4圆弧上分别匀称带电+q和q，求圆心处场强.解析：因圆弧匀称带电， 在圆弧上任取一个微小线元，由于带电线元很小，可以看成点电荷. 用点电荷场强公式表示它在圆心处分场强，再应用叠加原理计算出合场强. 由对称性分别求出合场强方向再求出其值.在带正电圆孤上取一微小线元，由于圆弧匀称带电，因此线密度.在带
10、负电圆弧上必定存在着一个与之对称线元， 两者产生场强如图79甲所示. 明显， 两者大小相等，其方向分别与x轴正、负方向成角，且在x轴方向上重量相等.由于很小，可以认为是点电荷，两线元在O点场强为方向沿y轴负方向，所以O点合场强应对E求和.即.例10：电荷q匀称分布在半球面ACB上，球面半径为R，CD为通过半球顶点C与球心O轴线，如图710所示，P、Q为CD轴线上在O点两侧，离O点间隔 相等两点，P点电势为UP，试求Q点电势UQ.解析：可以设想一个匀称带电、带电量也是q右半球，与题中所给左半球组成一个完好匀称带电球面，依据对称性来解.由对称性可知，右半球在P点电势等于左半球在Q点电势UQ.即正是
11、两个半球在P点电势，因为球面匀称带电，所以由此解得Q点电势.例11：如图711所示， 三根等长细绝缘棒连接成等边三角形，A点为三角形内心， B点与三角形共面且与A相对ac棒对称，三棒带有匀称分布电荷，此时测得A、B两点电势各为UA、UB，现将ac棒取走，而ab、bc棒电荷分布不变，求这时A、B两点电势、.解析：ab、bc、ac三根棒中电荷对称分布，各自对A点电势奉献一样，ac棒对B点电势奉献和对A点电势奉献一样，而ab、bc棒对B点电势奉献也一样.设ab、bc、ac棒各自由A点电势为U1，ab、bc棒在B点电势为U2. 由对称性知，ac棒在B点电势为U1. 由电势叠加原理得：3U1=UA U1
12、+2U2=UB 由、两式得 U1=UA/3将ac棒取走后，A、B两点电势分别为例12：如图712所示为一块很大接地导体板，在与导体板相距为dA处放有带电量为q点电荷.1试求板上感应电荷在导体内P点产生电场强度；2试求感应电荷在导体外P点产生电场强度P与P点对导体板右外表是对称；3在此题情形，试分析证明导体外表旁边电场强度方向与导体外表垂直；4试求导体上感应电荷对点电荷q作用力；5假设在切断导体板与地连线后，再将+Q电荷置于导体板上，试说明这部分电荷在导体板上如何分布可到达静电平衡略去边缘效应.解析：在探讨一个点电荷受到面电荷如导体外表感应电荷作用时，依据“镜像法可以设想一个“像电荷，并使它电场
13、可以代替面电荷电场，从而把问题大大简化.1导体板静电平衡后有 E感=E点,且方向相反，因此板上感应电荷在导体内P点产生场强为，r为AP间间隔 ，方向沿AP，如图712甲所示. 2因为导体接地，感应电荷分布在右外表，感应电荷在P点和P点电场具有对称性，因此有，方向如图712甲所示.3考察导体板在外表两侧很靠近外表两点P1和.如前述分析，在导体外点感应电荷产生场强大小为.点电荷在点产生场强大小也是. 方向如图712乙. 从图看出，点场强为上述两个场强矢量和，即与导体外表垂直.4重复2分析可知，感应电荷在q所在处A点场强为，方向垂直于导体板指向右方，该场作用于点电荷q电场力为，负号表示力方向垂直于导
14、体板指向左方.5切断接地线后，导体板上原来感应电荷仍保持原来分布，导体内场强为零.在此状况下再将+Q电荷加在导体板上，只要新增加电荷在导体内部各处场强为零，即可保持静电平衡，我们知道电荷匀称分布在导体板两侧外表时，上述条件即可满意.明显这时+Q将匀称分布在导体板两侧面上，才能保证板内场强为零，实现静电平衡.例13：如图713所示，在程度方向匀强电场中，用长为绝缘细线，拴住质量为m、带电量为q小球，线上端O固定，开始时将线和球拉成程度，松开后，小球由静止开始向下摇摆，当摆过60角时，速度又变为零. 求：1A、B两点电势差UAB多大？2电场强度多大？解析：1小球在A、B间摇摆，依据能量守恒定律有取
15、A点为零势能参考点，即那么 所以 2小球在平衡位置受力如图713甲.依据共点力平衡条件：有：解得电场强度：例14：如图714所示，ab是半径为R圆一条直径，该圆处于匀强电场中，场强为E，在圆周平面内，将一带正电q小球从a点以一样动能抛出，抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同点，在这些全部点中，到达c点时小球动能最大.cab=30，假设不计重力和空气阻力，试求：1电场方向与直径ab间夹角？2假设小球在a点时初速度方向与电场方向垂直，小球恰好能落在c点，那么初动能为多少？解析：由于对a点以一样初动能沿不同方向抛出小球到达圆周上各点时其中到达c点小球动能最大，因此过c点切线确定是等势线，由此可以确定
16、电场线方向，至于从a点垂直于电场线抛出小球可按类平抛运动处理. 1用对称性推断电场方向：由题设条件，在圆周平面内， 从a点以一样动能向不同方向抛出带正电小球， 小球会经过圆周上不同点，且以经过c点时小球动能最大，可知，电场线平行于圆平面.又依据动能定理，电场力对到达c点小球做功最多， 为qUac. 因此，Uac最大. 即c点电势比圆周上任何一点电势都低. 又因为圆周平面处于匀强电场中，故连接Oc，圆周上各点电势对于Oc对称或作过c点且与圆周相切线cf是等势线,Oc方向即为电场方向如图714甲所示，它与直径ab夹角为60.2小球在匀强电场中做类平抛运动. 小球沿垂直于电场方向抛出，设其初速度为，
17、小球质量为m. 在垂直于电场线方向，有：在沿电场线方向，有：由图中几何关系可得:且 将、式代入、两式解得：所以初动能例15：如图715所示，两块竖直放置平行金属板A、B之间间隔 为d，两板间电压为U，在两板间放一半径为R金属球壳，球心到两板间隔 相等，C点为球壳上一点，位置在垂直于两板球直径靠A板一端，试求A板与点C间电压大小为多少？解析：将金属球壳放在电场中到达静电平衡后，球壳为等势体，两极板之间电场由原来匀强电场变为如图715甲所示电场，这时C与A板间电势差就不能用公式UAC=EdAC来计算. 我们利用电场对称性求解.由于电场线和金属球关于球心O对称，所以A板与金属板电势差UAO和金属球与
18、B板电势差UOB相等，即UAO=UOB. 又A、B两板电势差保持不变为U，即UAO+UOB=U，由以上两式解得：UAO=UOB=U/2所以得A、C两点间电势差UAC=UAO=U/2例16：如图716所示，一静止带电粒子q，质量为m不计重力，从P点经电场E加速，经A点进入中间磁场B，方向垂直纸面对里，再穿过中间磁场进入右边足够大空间磁场BB=B，方向垂直于纸面对外，然后可以按某一途径再由A返回电场并回到动身点P，然后再重复前述过程. 为P到A间隔 ，求中间磁场宽度d和粒子运动周期.虚线表示磁场分界限解析：由粒子能“重复前述过程，可知粒子运动具有周期性；又由粒子经过A点进入磁场后可以按某一途径再返
19、回A点，可知运动具有对称性.粒子从A点进入中间磁场做匀速圆周运动，半径为R，过C点进入右边磁场，于做半径为R匀速圆周运动经点F到点D，由于过D点后还做匀速圆周回到A如图716甲所示，故DA和CA关于直线OA对称，且OA垂直于磁场分界限. 同理可知，OA也同时是CD圆弧对称轴. 因此粒子运动轨迹是关于直线OA对称. 由于速度方向为切线方向，所以圆弧AC、CD、DA相互相切.1设中间磁场宽度为d，粒子过A点速度为，由圆周运动对称性可得 那么 带电粒子在加速电场中有 在中间和右边磁场中有 d=Rcos解、得 2粒子运动周期T由三段时间组成，在电场中做匀变速直线运动时间为t1，在中间磁场中运动时间为t
20、2，因为AC所对圆心角为，所以在右边磁场中运动时间为t3因为CD所对圆心角为,所以 所以周期为 针对训练1从距地面高19.6m处A点，以初速度为5.0m/s沿程度方向投出一小球. 在距A点5.0m处有一光滑墙，小球与墙发生弹性碰撞即入射角等于反射角，入射速率等于反射率，弹回后掉到地面B处.求：B点离墙程度间隔 为多少？()2如图717所示，在边长为a正方形四个顶点上分别固定电量均为Q四个点电荷，在对角线交点上放一个质量为m，电量为q与Q同号自由点电荷. 假设将q沿着对角线挪动一个小间隔 ，它是否会做周期性振动？假设会，其周期是多少？(会做周期性振动，周期为)3如图718所示是一个由电阻丝构成平
21、面正方形无穷网络，当各小段电阻丝电阻均为R时，A、B两点之间等效电阻为R/2，今将A，B之间一小段电阻丝换成电阻为R另一端电阻丝，试问调换后A，B之间等效电阻是多少？4有一无限大平面导体网络，它由大小一样正六角形网眼组成，如图719所示，全部六边形每边电阻均为R0，求a，b两结点间等效电阻. 5如图720所示，某电路具有8个节点，每两个节点之间都连有一个阻值为2电阻，在此电路随意两个节点之间加上10V电压，求电路总电流，各支路电流以及电阻上消耗总功率. 总功率400W 节点18之间支路电流I16电路如图721所示，每两个节点间电阻阻值为R，求A、B间总电阻RAB. RAB=2R7电路如图722
22、所示，电阻阻值均为15，求RAC，RAB，RAO各为多少欧？8将200个电阻连成如图723所示电路，图中各P点是各支路中连接两个电阻导线上点，全部导线电阻都可忽视. 现将一电动势为，内阻为r电源接到随意两个P点处，然后将任一个没接电源支路在P点处切断，发觉流过电源电流与没切断前一样，那么这200个电阻R1，R2，R100，r1，r2，r100应有以下普遍关系：这时图中AB导线与CD导线之间电压等于0V9电路如图724所示电阻丝网络中，每一小段电阻丝电阻值都为R，试求图中A、B两点间等效电阻RAB. 10如图725所示四面体框架由电阻同为R6根电阻丝联结而成，求随意两个顶点A、B间等效电阻RAB. 11一匀质细导线圆环，总电阻为R，半径为a，圆环内充溢方向垂直于环面匀强磁场，磁场以速率K匀称随时间增加，环上A、D、C、三点位置对称. 电流计G连接A、C两点，如图726所示. 假设电流计内阻为RG，求通过电流计电流大小.