中考数学圆知识点精讲打印.docx

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1、圆学问点一、圆的定义及有关概念1、圆的定义：平面内到定点的间隔 等于定长的全部点组成的图形叫做圆。2、有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。圆上随意两点间的局部叫做圆弧，简称弧。连接圆上随意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。在同圆或等圆中，可以重合的两条弧叫做等弧。例 P为O内一点，OP=3cm，O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_；最长弦长为_解题思路：圆内最长的弦是直径，最短的弦是和OP垂直的弦，.学问点二、平面内点和圆的位置关系平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内当点在圆外时，dr；反过来，当dr时，

2、点在圆外。当点在圆上时，dr；反过来，当dr时，点在圆上。当点在圆内时，dr；反过来，当dr时，点在圆内。例 如图，在中，直角边，点，分别是，的中点，以点为圆心，的长为半径画圆，则点在圆A的_，点在圆A的_解题思路：利用点与圆的位置关系练习：在直角坐标平面内，圆的半径为5，圆心的坐标为试推断点与圆的位置关系学问点三、圆的根本性质1圆是轴对称图形，其对称轴是随意一条过圆心的直线。2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧。3、圆具有旋转对称性，特殊的圆是中心对称图形，对称中心是圆心。圆心角定理：在同圆或等圆中，假

3、如两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。圆周角定理推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径。例1 如图，在半径为5cm的O中，圆心O到弦AB的间隔 为3cm，则弦AB的长是（ ）A4cm B6cm C8cm D10cm例2、如图，A、B、C、D是O上的三点，BAC=30，则BOC的大小是( )A、60 B、45 C、30 D、15例3、如图1和图2，MN是O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，APM=CPM（1）由以

4、上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由（2）若交点P在O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由 (1) (2) 解题思路：（1）要说明AB=CD，只要证明AB、CD所对的圆心角相等 解：（1）AB=CD 理由： （2）作OEAB，OFCD，垂足为E、F 例4如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？ 解题思路：BD=CD，因为AB=AC，所以这个ABC是等腰，要证明D是BC的中点，只要连结AD证明AD是高或是BAC的平分线即可 解：BD=CD 理由是：学问点四、圆与三角形的关系1、不在同一条直线上的

5、三个点确定一个圆。2、三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆。3、三角形的外心：三角形三边垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心。4、三角形的内切圆：与三角形的三边都相切的圆。5、三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。例1 如图，通过防治“非典”，人们增加了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图2449所示，A、B、C为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为便利起见，要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问假如你是工程师，你将如何选址解题思路： 连结AB、BC，作线段AB、BC的中垂线，两条中垂线的交点即为垃圾回收站所

6、在的位置例2 如图，点O是ABC的内切圆的圆心，若BAC=80，则BOC=（ ）A130 B100 C50 D65例3 如图，RtABC，C=90，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点C的间隔 为（ ）A5 cm B2.5cm C3cm D4cm解题思路：直角三角形外心的位置是斜边的中点 学问点五、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离当直线和圆相交时，dr；反过来，当dr时，直线和圆相交。当直线和圆相切时，dr；反过来，当dr时，直线和圆相切。当直线和圆相离时，dr；反过来，当dr时，直线和圆相离。切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径切线的断定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条

7、直径的直线是圆的切线。切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这点的连线平分两条切线的夹角。例1、 在中，BC=6cm，B=30，C=45，以A为圆心，当半径r多长时所作的A与直线BC相切？相交？相离？解题思路：例2如图，AB为O的直径，C是O上一点，D在AB的延长线上，且DCB=A（1）CD与O相切吗？假如相切，请你加以证明，假如不相切，请说明理由（2）若CD与O相切，且D=30，BD=10，求O的半径 解题思路：（1）要说明CD是否是O的切线，只要说明OC是否垂直于CD，垂足为C，因

8、为C点已在圆上 由已知易得：A=30，又由DCB=A=30得：BC=BD=10 解：学问点六、圆与圆的位置关系重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用难点：探究两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题外离：两圆没有公共点，一个圆上全部的点都在另一个圆的外部相离：内含：两圆没有公共点，一个圆上全部的点都在另一个圆的内部相切：外切：两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上全部的点都在另一个圆的外部内切：两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上全部的点都在另一个圆的内部相交：两圆只有两个公共点。设两圆的半径分别为r1、r2，圆心距（两圆圆心的间隔 ）为d，则有两圆的位置关系，d与r1和r2

9、之间的关系 外离dr1+r2 外切d=r1+r2 相交r1r2dr1+r2 内切d=r1r2 内含0dr1r2（其中d=0，两圆同心）例1两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1所示（点O，O是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求TPN的大小 （1） (2) 解题思路：要求TPN，其实就是求OPO的角度，很明显，POO是正三角形，如图2所示 解： 例2如图1所示，O的半径为7cm，点A为O外一点，OA=15cm，求：（1）作A与O外切，并求A的半径是多少？ (1) (2)(2）作A与O相内切，并求出此时A的半径 解题思路：（1）作A和O外切，就是作以A

10、为圆心的圆与O的圆心距d=rO+rA；（2）作OA与O相内切，就是作以A为圆心的圆与O的圆心距d=rArO例3如图所示，点A坐标为（0，3），OA半径为1，点B在x轴上 （1）若点B坐标为（4，0），B半径为3，试推断A与B位置关系；_A_y_x_O （2）若B过M（2，0）且与A相切，求B点坐标学问点七、正多边形和圆重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系难点：使学生理解四者：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系正多边形的中心：全部对称轴的交点； 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径。正多边形的中心角：正多边形每一

11、条边所对的圆心角。正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。例1如图，已知正六边形ABCDEF，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积解题思路：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OMAB垂于M，在RtAOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的解：例2在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建立一个内接于ABC的矩形

12、水池DEFN，其中D、E在AB上，如图2494的设计方案是使AC=8，BC=6（1）求ABC的边AB上的高h（2）设DN=x，且，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？（3）实际施工时，发觉在AB上距B点185的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？假如在，为了爱护大树，请设计出另外的方案，使内接于满意条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树 解题思路：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的学问，应用配方法求最值（3）的设计要有新意，应用圆的对称性就能圆满解决此题 解：学问点八、弧长和扇形、圆锥侧面积面积重点：n的圆心角所对的弧长L=

13、，扇形面积S扇=、圆锥侧面积面积及其它们的应用难点：公式的应用1n的圆心角所对的弧长L=2圆心角为n的扇形面积是S扇形=3.全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所以全面积=rL+r2例1操作与证明：如图所示，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖局部的总长度为定值a解题思路：如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD分别交于点M、N，连结OA、OD 四边形ABCD是正方形 OA=OD，AOD=90，MAO=NDO， 又MON=90，AOM=DON AMODNO AM=DN A

14、M+AN=DN+AN=AD=a特殊地，当点M与点A（点B）重合时，点N必与点D（点A）重合，此时AM+AN仍为定值a故总有正方形的边被纸板覆盖局部的总长度为定值a例2已知扇形的圆心角为120，面积为300cm2 （1）求扇形的弧长； （2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？ 解题思路：（1）由S扇形=求出R，再代入L=求得（2）若将此扇形卷成一个圆锥，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以底是直径，圆锥母线为腰的等腰三角形解：考察目的一、主要是指圆的根底学问，包括圆的对称性，圆心角与弧、弦之间的相等关系，圆周角与圆心角之间的关系，直径所对的圆周角是直

15、角，以及垂径定理等内容。这局部内容是圆的根底学问，学生要学会利用相关学问进展简洁的几何推理和几何计算例1、如图，AB是O的直径，BC是弦，ODBC于E，交于D (1)请写出五个不同类型的正确结论； (2)若BC=8，ED2，求O的半径解题思路：运用圆的垂径定理等内容解：例2.已知：如图等边内接于O，点是劣弧PC上的一点（端点除外），延长至，使，连结（1）若过圆心，如图，请你推断是什么三角形？并说明理由（2）若不过圆心，如图，又是什么三角形？为什么？AOCDPB图AOCDPB图解题思路：（1）为等边三角形 理由：例3.(1)如图OA、OB是O的两条半径，且OAOB，点C是OB延长线上随意一点：过

16、点C作CD切O于点D，连结AD交DC于点E求证：CD=CE (2)若将图中的半径OB所在直线向上平行挪动交OA于F，交O于B，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗为什么(3)若将图中的半径OB所在直线向上平行挪动到O外的CF，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗为什么 解题思路：本题主要考察圆的有关学问，考察图形运动改变中的探究实力及推理实力 解答：(1)证明：连结OD 则ODCD，CDE+ODA=90 (2)CE=CD仍旧成立 (3)CE=CD仍旧成立 考察目的二、主要是指引与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系的相关内容。学生

17、要学会用动态的观点理解和解决与圆有关的位置关系的问题。例1、是O的直径，切O于，交O于，连ABCPO若，求的度数解题思路：运用切线的性质 .切O于是O的直径， ，例2.如图，四边形内接于O，是O的直径，垂足为，平分（1）求证：是O的切线；DECBOA（2）若，求的长解题思路：运用切线的断定（1）证明：连接，平分， DECBOA，是O的切线 （2）是直径， 平分， 在中，在中，的长是1cm，的长是4cm考察目的三、主要是指圆中的计算问题，包括弧长、扇形面积，以及圆柱与圆锥的侧面积和全面积的计算，这局部内容也是历年中考的必考内容之一。学生要理解圆柱和其侧面绽开图矩形、圆锥和其侧面绽开图扇形之间的关

18、系。例1、如图，已知在O中，AB=，AC是O的直径，ACBD于F，A=30.(1)求图中阴影局部的面积；(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，恳求出这个圆锥的底面圆的半径.解题思路：（1）法一：过O作OEAB于E，则AE=AB=2。 FE在RtAEO中，BAC=30，cos30=OA=4 又OA=OB，ABO=30BOC=60ACBD，COD =BOC=60BOD=120FS阴影= 法二：连结AD ACBD，AC是直径，AC垂直平分BD。 AB=AD，BF=FD，。BAD=2BAC=60，BOD=120 BF=AB=2，sin60=， AF=ABsin60=4=6。OB2=BF2+OF2即

19、OB=4S阴影=S圆=。 法三：连结BC AC为O的直径， ABC=90。FAB=4， A=30， ACBD， BOC=60，BOD=120S阴影=OA2=42=。 以下同法一。（2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2r， O。 例2.如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形（1）求这个扇形的面积（结果保存）（2）在剩下的三块余料中，能否从第块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由 （3）当O的半径为随意值时，（2）中的结论是否仍旧成立？请说明理由解题思路：（1）连接，由勾股定理求得： （2）连接并延长，与弧和交于， 弧的长： 圆锥的底面直径为： ，不能在余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥 （3）由勾股定理求得： 弧的长： 圆锥的底面直径为： 且 即无论半径为何值， 不能在余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥