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1、分数乘法的意义 1、 分数乘整数与整数乘法的意义一样。都是求几个一样加数的和的简便运算。 （例如：655表示求5个65的和是多少 1/35表示求5个1/3的和是多少）2、一个数乘分数的意义是求一个数的几分之几是多少。（例如：1/34/7表示求1/3的4/7是多少。） 分数乘法的计算法则 1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。(整数和分母约分) 2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。留意：分数乘法当带分数进展乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进展计算。 3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算；也可以干脆约分。（穿插约分）分数化简约分的方法：分子分母
2、同时除以它们的最大公因数。乘法中比拟大小的规律 4、小数乘分数，可以先把小数化为分数再计算；也可以把分数化成小数再计算（建议把小数化分数再计算）； 也可以将小数与分母干脆约分再计算。 1、一个数(0除外)乘大于1的数，积大于这个数。 2、一个数(0除外)乘小于1的数(0除外)，积小于这个数。 3、一个数(0除外)乘1，积等于这个数。 分数混合运算小结：分数混合运算的运算依次和整数的运算依次一样。整数混合运算依次： 先算乘除，后算加减；同级运算从左往右按依次计算；带括号的先算小括号里面的，再算中括号里面的，然后算括号外面的。整数乘法的交换律、结合律和安排律，对于分数乘法也同样适用。乘法交换律：
3、a b = b a 分数乘法乘法结合律： ( a b )c = a ( b c )乘法安排律： ( a + b )c = a c + b c 画线段图 (1)两个量的关系：画两条线段图，先画单位一的量，留意两条线段的左边要对齐。 (2)局部和整体的关系：画一条线段图。找单位丨分数乘法的解决问题 1、单位“1” 在分率句中“分数”的前面； 2、或在“占”、“是”、“比”“相当于”的后面。 1、求一个数的几分之几是多少：用单位“1”的量分数=详细量 解决问题 2、求比一个数多（少）几分之几的数是多少：（1）单位“1”的量(1+分数)=另一个部重量 （2）已知占单位“1”的几分之几的部重量+单位“1
4、”的量-=要求的部重量位置与方向（一） 1、 八个方向：东、南、西、北、东北、东南、西北、西南。 其中，东对西、南对北、东北对西南、西北对东南。2、地图一般依据“上北下南，左西右东”进展绘制的。位置与方向（二）3、观测点不同，物体位置的描绘方向也会有所不同。描绘物体的位置1、“东偏南30方向”就是以东为起始边，向南旋转30的方向。（“东偏南30方向”也可以说成“南偏东60方向”，但一般我们会选择角度更小的描绘方法）2、物体的方向和间隔 是我们在描绘物体详细位置时不行或缺的两个因素。3、物体位置关系的相对性：方向相反，角度一样，间隔 一样。位置与方向（二）确定物体的位置 角的画法：角的顶点对齐量
5、角器圆心，起始边对齐量角器底边，依据量角器上的度数确定角度并打上点做好标记，连接点与顶点，擦除多余线条。 确定物体位置的方法： 1、先找观测点；2、再定方向（看方向夹角的度数）；3、最终确定间隔 （看比例尺）。（注：记得标注起点、终点、角度、间隔 ）描绘并绘制路途图 路途图的描绘：每次描绘都要说明起点、方向、间隔 和终点；语句可以用先、然后、接着、最终等词语进展连接。（留意：观测点会随着挪动的改变而改变） 路途图的绘制： 1、确定起点、长度标准、北面的方向； 2. 建立方向标，并依据描绘画出路途图；（方向标运用虚线绘制） 3、检查并标注起点、终点、角度、间隔 。分数除法 1、倒数的意义：乘积是
6、一的两个数互为倒数。强调：倒数是两个数的关系，它们相互依存，不能单独存在。单独一个数不能称为倒数。(要说清谁是谁的倒数)倒数的相识2. 求倒数的方法： (1)、求分数的倒数：交换分子分母的位置。 (2)、求整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。 (3)、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。(4)、求小数的倒数： 把小数化为分数，再求倒数。3、1的倒数是1，0没有倒数。4、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1。1、分数除法的意义：分数除法与整数除法的意义一样，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。（乘法： 因数 因数
7、= 积 除法： 积 一个因数 = 另一个因数） 2、分数除法的计算法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。分数除法（留意：除法转化成乘法时，被除数不变，“”变成“”，除数变成它的倒数。） 3、分数除法算式中出现小数、带分数时要先化成分数、假分数再计算。 4、分数除法比拟大小时的规律： (1)当除数大于1，商小于被除数;分数乘除混合运算 (2)当除数小于1(不等于0)，商大于被除数; (3)当除数等于1，商等于被除数。 1、先把连除运算或乘除混合运算转换成连乘运算，再按乘法混合运算的法则进展计算。 2、连续除以两个数等于除这两个数的乘积。（即：a（b c）=abc） 3、混合运算用梯等式
8、计算，等号写在第一个数字的左下角。 （1）理解题意，找出单位“1”的量；分数除法1、已知一个数的几分之几是多少，求这个数： 方程法 （2）画图分析，列出数量关系式；（注3：肯定要解设） （3）依据数量关系式设未知量为X，用方程解答。 算式法：分数对应量对应分数 = 单位“1”的量（依据关系式） 2、已知比一个数多（少）几分之几的 （比少）：详细量 ( 1 - 分率)= 单位“1”的量解决问题数是多少，求这个数： 例如:桃树有50棵，比苹果树少1/6，苹果树有多少棵。50（1-1/6） （比多）：详细量 (1+分率)= 单位“1”的量 例如:一种商品如今是80元，比原价增加了1/7，原价多少？
9、3、分数和倍问题： （1）理解题意，找出两个数量之间的数量关系； （2）列出数量关系式，并解设一个未知量为X； （3）依据数量关系式列出方程并解答。4、工程问题： （1）工作总量未知的状况下，我们可以假设一个工作总量或者假设工作总量为单位“1”； （假设为详细的数量时要写明假设的详细数字，并且计算结果要带单位） （2）合做多长时间完成一项工程用1效率和，即1（1/时间+1/时间）工作效率工作时间=工作总量 工作总量工作效率=工作时间 工作总量工作时间=工作效率 工作总量工作效率之和=工作时间之和 总路程速度和=相遇时间比1、比的意义：两个数的比表示两个数相除。2、在两个数的比中，比号前面的数叫
10、做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。（比值后面不带单位）例如 15 ：10 = 1510=3/2(比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示)15 10 3/2前项 比号 后项 比值 3、比可以表示两个一样量的关系，即倍数关系。例：长是宽的几倍。比的意义也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例： 路程速度=时间。4、依据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。 5、区分比和比值 比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。 比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。 6、比和除法、分数的联络：比前项比号“：”后项比值
11、除法被除数除号“”除数商分数分子分数线“”分母分数值 7、比和除法、分数的区分：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。8、依据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。1、比的根本性质依据比、除法、分数的关系：比 （1）商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以一样的数(0除外)，商不变。 （2）分数的根本性质：分数的分子和分母同时乘或除以一样的数时(0除外)，分数值不变。（3）比的根本性质：比的前项和后项同时乘或除以一样的数(0除外)，比值不变。 2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。 3、依据比的根本性质，可以把比化成最简洁的整数比。
12、4.化简比： （1）整数比：比的前项和后项同时除以最大公因数； （2）分数比：先比的前项和后项同时乘分母的最大公倍数，化成整数比，再前项和后项同时除以最大公因数，化成最简整数比。 （3）小数比：先比的前项和后项同时乘10、100或1000，化成整数比， 再前项和后项同时除以最大公因数，化成最简整数比。 （4）小数、分数混合比：先把小数化成分数或者把分数化成小数，再同上。 （留意：比中有单位时，化简和求比值要先化成一样的单位，再化简和求比值，结果没有单位。）比的应用 按比例安排：把一个数量依据肯定的比来进展安排。这种方法通常叫做按比例安排。 解法： 归一法：先求出总份数，再求出每一份是多少，最终
13、分别乘它们的份数求详细数量是多少。 分数法：按比例安排通常把总量看作单位一，即转化成分数。先求出总份数，再求出“几份”占总份数的几分之几，最终再用总量分别乘相应份数。（例如：有糖水25克，糖和水的比为1:4，糖和水分别有几克？） 1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。 2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。一般用字母O表示。它到圆上随意一点的间隔 都相等。 3、半径：连接圆心到圆上随意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的间隔 就是圆的半径。圆的相识 4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。直径是一
14、个圆内最长的线段。 5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 6、在同一个圆内或等圆内，有多数条半径，有多数条直径。全部的半径都相等，全部的直径都相等。 7、在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的1/2。用字母表示为：d=2r或r=d/2。圆 8、轴对称图形：假如一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形可以完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。 10、只有1条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。只有2条对称轴的图形是： 长方形；只有3条对称轴的图形是： 等边三角
15、形；只有4条对称轴的图形是： 正方形;有多数条对称轴的图形是： 圆、圆环。圆的周长 1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。 2、圆周率试验： 滚动法：在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，得到圆的周长。 （化曲为直） 绳测法：用线围绕圆形纸片一周量出线的长度就是圆的周长。 发觉，圆周长与它直径的比值（圆周长除以直径）是一个固定数即倍多一点。圆 3、圆周率： 随意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。圆的周长（1）圆周率是一个固定不变的无限不循环小数，用字母(pai) 表示。在
16、计算时，一般取 3.14。（2）在推断时，圆周长与它直径的比值是倍，而不是3.14倍。 4、圆的周长公式： C= d或C=2r（依据所给条件选择相应的公式） 已知圆的周长求半径用圆的周长除以圆周率的倍，用字母表示 r = C 2 5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 6、区分周长的一半和半圆的周长： (1)圆周长的一半：等于圆的周长2。计算方法：2 r 2 即C半= r (2)半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。计算方法：C半圆=r+d1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母S表示。2、圆面积公式的推导
17、：(1)把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。圆的面积长方形的长相当于圆的周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径。 3、圆的面积公式：S圆 =r 4、环形的面积：一个环形，外圆的半径用字母R表示，内圆的半径用字母r表示。(R=r+环的宽度) 环形的面积公式： S圆环= R-r或S圆环 = ( R- r)（建议用这个公式）。 5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小一样的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。6、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。圆的面积7、随意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4。8
18、、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积一样时，长方形的周长最长，正方形居中，圆的周长最短。 9、外方内圆（内切圆）：公式S=0.86r推导过程：S=S正-S圆=d-r 10、外圆内方（外切圆）：公式S=1.14r推导过程：S=S圆-S正（把正方形看成两个面积相等的三角形，三角形的底就是直径，高是半径）扇形1、弧：图上A、B两点之间的局部叫做弧，读作“弧AB”。圆2、扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。3、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。4、扇形的面积与圆心角大小和半径长短有关：同一个圆中，圆心角越大，扇形越大，圆心角越小
19、，扇形越小；5、扇形面积的求法：S扇=S圆n/360；S扇环=S环n/3606、扇形也是轴对称图形，有一条对称轴。常用各值结果： = 3.14；2 = 6.28 ；3 = 9.42； 4 =12.56；5=15.7；6=18.84；7=21.98；8=25.12 9=28.26；10=31.4百分数的意义和读写1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。（例如：今日全校学生的出勤率为95%表示）百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比。 2、百分数的读法：先读百分号，再读数。 3、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“%”来表示，读作百分之几。 4、百分数有时比1
20、小，有时比1大，有时和1相等。（百分数中的数也可以是小数） 5、百分数和分数的主要联络与区分： 联络：都可以表示一个数是另一个数的几分之几。百分数（即：都可以表示两个量的倍数关系。） 区分：百分数只表示两个数的倍数关系，不能带单位；百分数和分数、小数的互化而分数既可以表示两个数的倍数关系，又可以表示一个详细的数，表示详细数时可以带单位。 百分数与小数的互化 小数化成百分数：把小数点向右挪动两位（数位不够用0补位），同时在后面添上百分号。 百分数化成小数：把小数点向左挪动两位（数位不够用0补足），同时去掉百分号。 百分数的和分数的互化 百分数化成分数：先把百分数改写成分母是100的分数，能约分要
21、约成最简分数。 分数化成百分数： 用分数的根本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数，再写成百分数形式。先把分数化成小数(除不尽时，通常保存三位小数)，再把小数化成百分数。（建议用这种方法）百分数 1、常见的百分率的计算方法： 用百分数解决问题 一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能到达100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。2、求一个数是另一个数的百分之几：用一个数除以另一个数，结果写为百分数形式。3、求一个数的百分之几和求一个数的几分之几意义一样：用单位“1”的量百分数=详细量4、求一个数比另一个数多（少）百分之几：用两个数的相差量单位
22、“1”的量 =百分之几例如：教师安排改40本作业，实际改了50本，实际比安排多改了百分之几？列式是：（5040）40=0.25=25%（说明：多百分之几不等于少百分之几，因为单位一不同。）5、求比一个数多（少）百分之几的数是多少： （1）单位“1”的量(1+分数)=另一个部重量 （和求比一个数多（少）几分之几的数是多少方法一样） （2）多（少）局部+单位“1”的量-=要求的部重量6、用单位“1”解决实际问题： （1）原价未知的状况下，我们可以假设一个原价或者假设原价为单位“1”； （假设为详细的数量时要写明假设的详细数字，并且计算结果要带单位）（2）计算结果和假设的价钱没有干脆关系；（3）涨跌
23、幅度一样时先涨再跌和先跌再涨结果一样。扇形统计图 扇形统计图的相识 1、扇形统计图的相识：用整个圆的面积表示总数量，每个扇形分别表示总体中的不同局部，扇形的大小反映各局部数量占总数的百分之几。这样的统计图叫做扇形统计图。常用统计图的优点 2、扇形统计图的特点：扇形统计图可以清晰的反映出各局部数量与总数之间的关系。1、 条形统计图：可以清晰的看出各种数量的多少。2、 折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减改变状况。3、 扇形统计图：可以清晰的反映出各局部数量与总数之间的关系。（要在统计图上写出百分率）依据已知条件和所要反映的数据选择适宜的统计图。1、从1开场的连续奇数的和等于这串数个数的平方。例如：1+3+5+7+9+11=52数与形2、从2起连续偶数的和等于偶数个数的平方加偶数个数（即（n2+n），或等于偶数个数乘比偶数个数大1的数即n（n+1）。3、（极限思想）数形结合：在数学领域中，有时会遇到一些比拟麻烦的问题，假如借助图形的扶植，这些麻烦的数学问题就很快会得到解决。数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休