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1、中国教化学会中学数学教学专业委员会“数学周报杯2021年全国初中数学竞赛试题题 号一二三总 分156101112 1314得 分评卷人复查人答题时留意：1用圆珠笔或钢笔作答.2解答书写时不要超过装订线.3草稿纸不上交.一、选择题共5小题，每题6分，总分值30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分1实数满意 ，那么的值为 A7 B C D52把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地匀称的正方体骰子先后投掷2次，假设两个正面朝上的编号分别为m，n，那么二次函数的图象及x轴有两
2、个不同交点的概率是 A B C D3有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，那么这6个点可确定的不同直线最少有( ) A6条 B 8条 C10条 D12条4是半径为1的圆的一条弦，且以为一边在圆内作正，点为圆上不同于点A的一点，且，的延长线交圆于点，那么的长为 A B1 C Da5将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最终一个数是奇数，且使得其中随意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满意要求的排法有 A2种 B3种 C4种 D5种二、填空题共5小题，每题6分，总分值30分6对于实数u，v，定义一种运算“*为：假设关于x的方程有两个不同的实数根，那么满意条
3、件的实数a的取值范围是 7小王沿街匀速行走，发觉每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车假设每辆18路公交车行驶速度一样，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟第8题8如图，在中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点， AD是BAC 的平分线，MFAD，那么FC的长为 9ABC中，AB7，BC8，CA9，过ABC的内切圆圆心I作DEBC，分别及AB，AC相交于点D，E，那么DE的长为 10关于x，y的方程的全部正整数解为 三、解答题共4题，每题15分，总分值60分11.在直角坐标系xOy中，一次函数的图象及轴、轴的正半轴分别交于
4、A，B两点，且使得OAB的面积值等于（1） 用b表示k；（2） 求ABC面积的最小值 12.是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程有有理数根？ 13.如图，的三边长，都是整数，且的最大公约数为点和点分别为的重心和内心，且求的周长第13题14.从1，2，9中任取n个数，其中肯定可以找到假设干个数至少一个，也可以是全部，它们的和能被10整除，求n的最小值中国教化学会中学数学教学专业委员会“数学周报杯2021年全国初中数学竞赛试题参考答案题 号一二三总 分156101112 1314得 分评卷人复查人答题时留意：1用圆珠笔或钢笔作答.2解答书写时不要超过装订线.3草稿纸不上交.一、选择题共5小
5、题，每题6分，总分值30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分1实数满意 ，那么的值为 A7 B C D5【答】A解：因为，0，由条件得， ，所以 72把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地匀称的正方体骰子先后投掷2次，假设两个正面朝上的编号分别为m，n，那么二次函数的图象及x轴有两个不同交点的概率是 A B C D【答】C解：根本事件总数有6636，即可以得到36个二次函数. 由题意知0，即4.通过枚举知，满意条件的有17对. 故.3有两个同心圆，大圆周上有4个不同的
6、点，小圆周上有2个不同的点，那么这6个点可以确定的不同直线最少有( ) A6条 B 8条 C10条 D12条第3题【答】B解：如图，大圆周上有4个不同的点A，B，C，D，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E，F中，至少有一个不是四边形ABCD的对角线AC及BD的交点，那么它及A，B，C，D的连线中，至少有两条不同于A，B，C，D的两两连线从而这6个点可以确定的直线不少于8条当这6个点如下图放置时，恰好可以确定8条直线所以，满意条件的6个点可以确定的直线最少有8条4是半径为1的圆的一条弦，且以为一边在圆内作正，点为圆上不同于点A的一点，且，的延长线交圆于点，那么的长为 A B1 C
7、 Da【答】B解：如图，连接OE，OA，OB 设，那么 又因为，第4题所以，于是5将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最终一个数是奇数，且使得其中随意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满意要求的排法有 A2种 B3种 C4种 D5种【答】D解：设是1，2，3，4，5的一个满意要求的排列首先，对于，不能有连续的两个都是偶数，否那么，这两个之后都是偶数，及条件冲突又假如1i3是偶数，是奇数，那么是奇数，这说明一个偶数后面肯定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最终一个数所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满意条件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1；
8、2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1二、填空题共5小题，每题6分，总分值30分6对于实数u，v，定义一种运算“*为：假设关于x的方程有两个不同的实数根，那么满意条件的实数a的取值范围是 【答】，或解：由，得，依题意有 解得，或7小王沿街匀速行走，发觉每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车假设每辆18路公交车行驶速度一样，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟【答】4解：设18路公交车的速度是米/分，小王行走的速度是米/分，同向行驶的相邻两车的间距为米每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，那么 每隔3分钟
9、从迎面驶来一辆18路公交车，那么 由，可得 ，所以 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟第8题5数，段成比例，所以8如图，在中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点， AD是BAC 的平分线，MFAD，那么FC的长为 【答】9解：如图，设点N是AC的中点，连接MN，那么MNAB又，所以 ，第8题答案5数，段成比例，所以所以 因此 99ABC中，AB7，BC8，CA9，过ABC的内切圆圆心I作DEBC，分别及AB，AC相交于点D，E，那么DE的长为 【答】解：如图，设ABC的三边长为a，b，c，内切圆I的半径为r，BC边上的高为，那么，所以 第8题答案图5数，段成比例，所以第8题答案图5数
10、，段成比例，所以因为ADEABC，所以它们对应线段成比例，因此第9题答案5数，段成比例，所以，所以 ，故 10关于x，y的方程的全部正整数解为 【答】解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x，y都是偶数设，那么，同上可知，a，b都是偶数设，那么，所以，c，d都是偶数设，那么，于是 ，其中s，t都是偶数所以所以可能为1，3，5，7，9，进而为337，329，313，289，257，故只能是289，从而7于是 因此 三、解答题共4题，每题15分，总分值60分11在直角坐标系xOy中，一次函数的图象及轴、轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得
11、OAB的面积值等于（3） 用b表示k；（4） 求OAB面积的最小值 解：1令，得；令，得所以A，B两点的坐标分别为，于是，OAB的面积为由题意，有，解得 ， 5分2由1知，当且仅当时，有，即当，时，不等式中的等号成立 所以，OAB面积的最小值为 15分12是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程有有理数根？ 解：设方程有有理数根，那么判别式为平方数令，其中n是一个非负整数那么 5分由于1q+n，且及同奇偶，故同为偶数因此，有如下几种可能情形： 消去n，解得 10分对于第1，3种情形，从而q5；对于第2，5种情形，从而q4不合题意，舍去；对于第4种情形，q是合数不合题意，舍去又当，q5时，方
12、程为，它的根为，它们都是有理数综上所述，存在满意题设的质数 15分第13题13如图，的三边长，都是整数，且的最大公约数为点和点分别为的重心和内心，且求的周长第13题答案5数，段成比例，所以解：如图，延长，及边分别交于点设重心在边上的投影分别为，的内切圆的半径为，边上的高的长分别为，易知CPCQ，由，可得 ，即 ，从而可得 10分因为的重心G和内心不重合，所以，不是正三角形，且，否那么，可得，冲突不妨假设，由于，设，于是有为整数，所以有，即于是只有时，可得，满意条件因此有所以，的周长为35 15分14从1，2，9中任取n个数，其中肯定可以找到假设干个数至少一个，也可以是全部，它们的和能被10整除，求n的最小值解：当n4时，数1，3，5，8中没有假设干个数的和能被10整除 5分当n5时，设是1，2，9中的5个不同的数假设其中随意假设干个数，它们的和都不能被10整除，那么中不行能同时出现1和9；2和8；3和7；4和6于是中必定有一个数是5假设中含1，那么不含9于是不含441510，故含6；于是不含336110，故含7；于是不含221710，故含8但是57820是10的倍数，冲突假设中含9，那么不含1于是不含669520，故含4；于是不含774920，故含3；于是不含889310，故含2但是53210是10的倍数，冲突综上所述，n的最小值为5 15分