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1、数列专题复习一, 等差数列的有关概念：1, 等差数列的推断方法：定义法或。如设是等差数列，求证：以bn= 为通项公式的数列为等差数列。2, 等差数列的通项：或。如(1)等差数列中，那么通项； 2首项为-24的等差数列，从第10项起开场为正数，那么公差的取值范围是_3, 等差数列的前和：，。如1数列 中，前n项和，那么 ，.2数列 的前n项和，求数列的前项和4, 等差中项：假设成等差数列，那么A叫做及的等差中项，且。提示：1等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：, , , 及，其中, 称作为根本元素。只要这5个元素中的随意3个，便可求出其余2个，即知3求2。2为削减运算量，要留意设元的
2、技巧，如奇数个数成等差，可设为，公差为；偶数个数成等差，可设为，,公差为25, 等差数列的性质：1当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.2假设公差，那么为递增等差数列，假设公差，那么为递减等差数列，假设公差，那么为常数列。3当时,那么有，特殊地，当时，那么有.如1等差数列中，那么_； (4) 假设, 是等差数列，那么, (, 是非零常数), , ，也成等差数列，而成等比数列；假设是等比数列，且，那么是等差数列. 如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，那么它的前3n和为 。5在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，这里即；。
3、如1在等差数列中，S1122，那么_； 2项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项及项数.（6） 假设等差数列, 的前和分别为, ，且，那么. 如设及是两个等差数列，它们的前项和分别为和，假设，那么_(7)“首正的递减等差数列中，前项和的最大值是全部非负项之和；“首负的递增等差数列中，前项和的最小值是全部非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负或非正；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要留意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？函数思想，由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如1等差数列中，问此数列前多少项和最
4、大？并求此最大值。；2假设是等差数列，首项 EMBED Equation.DSMT4 ，那么使前n项和成立的最大正整数n是 3在等差数列中，且，是其前项和，那么 A, 都小于0，都大于0B, 都小于0，都大于0C, 都小于0，都大于0D, 都小于0，都大于0(8)假如两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 留意：公共项仅是公共的项，其项数不肯定一样，即探讨.二, 等比数列的有关概念：1, 等比数列的推断方法：定义法，其中或。如1一个等比数列共有项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，那么为_； 2数列中，=4+
5、1 ()且=1，假设 ，求证：数列是等比数列。2, 等比数列的通项：或。如等比数列中，前项和126，求和.答：，或23, 等比数列的前和：当时，；当时，。如1等比数列中，2，S99=77，求2的值为_；特殊提示：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要推断公比是否为1，再由的状况选择求和公式的形式，当不能推断公比是否为1时，要对分和两种情形探讨求解。4, 等比中项：假设成等比数列，那么A叫做及的等比中项。提示：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。如两个正数的等差中项为A，等比中项为B，那么A及B的大小关系为_提示：1等比数列的通项公式及前和公式
6、中，涉及到5个元素：, , , 及，其中, 称作为根本元素。只要这5个元素中的随意3个，便可求出其余2个，即知3求2；2为削减运算量，要留意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，公比为；但偶数个数成等比时，不能设为，因公比不肯定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数及第四个数的和是16，第二个数及第三个数的和为12，求此四个数。5.等比数列的性质：1当时，那么有，特殊地，当时，那么有. 如 1在等比数列中，公比q是整数，那么=_ 2各项均为正数的等比数列中，假设，那么 。(2) 假设是等比数列，那么, , 成等比数列；假设成
7、等比数列，那么, 成等比数列； 假设是等比数列，且公比，那么数列 ，也是等比数列。当，且为偶数时，数列 ，是常数数列0，它不是等比数列. 如1且，设数列满意 EMBED Equation.DSMT4 ，且，那么. ； 2在等比数列中，为其前n项和，假设，那么的值为_(3) 假设，那么为递增数列；假设, 那么为递减数列；假设 ，那么为递减数列；假设, 那么为递增数列；假设，那么为摇摆数列；假设，那么为常数列.(4) 当时，这里，但，是等比数列前项和公式的一个特征，据此很简单依据，推断数列是否为等比数列。如假设是等比数列，且，那么 (5) .如设等比数列的公比为，前项和为，假设成等差数列，那么的值
8、为_ (6) 在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，.(7)假如数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列，故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设数列的前项和为， 关于数列有以下三个命题：假设，那么既是等差数列又是等比数列；假设，那么是等差数列；假设，那么是等比数列。这些命题中，真命题的序号是 三, 数列通项公式的求法一, 公式法；等差, 等比数列公式.例 数列满意，求数列的通项公式。评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再干脆利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。二, 累加法例 数列满意，求数列的通项公式。评
9、注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例 数列满意，求数列的通项公式。评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。三, 累乘法例 数列满意，求数列的通项公式。评注：此题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。四, 取倒数法例 数列中，其中，且当n2时，求通项公式。解 将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.五, 待定系数法例 数列满意，求数列的通项公式。评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最终再求出数列的通项公式。例 数列满意，求数列
10、的通项公式。评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最终再求数列的通项公式。六, 对数变换法例 数列满意，求数列的通项公式。评注：此题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最终再求出数列的通项公式。七, 迭代法例 数列满意，求数列的通项公式。评注：此题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而。八, 数学归纳法例 数列满意，求数列的通项公式。解：由及，得。由此可猜想，往下用数学归纳法证明这个结论。1当时，所以等式成立。2假设当时等式
11、成立，即，那么当时，。由此可知，当时等式也成立。依据1，2可知，等式对任何都成立。九, 换元法例 数列满意，求数列的通项公式。解：令，那么故，代入得。即因为，故那么，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，那么，即，得。十, 构造等差, 等比数列法 ；.例 数列中，求数列的通项公式.【解析】 【反思归纳】递推关系形如“ 适用于待定系数法或特征根法：令； 在中令，；由得，.例 数列中，求数列的通项公式.【解析】，令 【反思归纳】递推关系形如“通过适当变形可转化为：“或“求解.十一, 不动点法例 数列满意，求数列的通项公式。解：令，得，那么是函数的不动点。因为，所以。评注：此题解题的
12、关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最终再求出数列的通项公式。四, 数列求和的根本方法和技巧一, 利用常用求和公式求和1、 等差数列求和公式： 2, 等比数列求和公式：前个正整数的和 前个正整数的平方和 前个正整数的立方和 公式法求和考前须知 1弄准求和项数的值； 2等比数列公比未知时，运用前项和公式要分类。例 ，求的前n项和.例 设Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值. 当 ，即n8时，二, 错位相减法求和这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中 an , bn 分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在和式的两边都乘以组成
13、这个数列的等比数列的公比；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。例：在数列中，I设，求数列的通项公式 II求数列的前项和分析：I由有利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()II由I知,=而,又是一个典型的错位相减法模型，易得 =三、 倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列反序，再把它及原数列相加，就可以得到n个.例 求证：证明： 设 四, 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将这类数列适当拆开，可分为几个等差, 等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 求数列的前n项和：，解：设 当a1时，
14、当时，例：是各项均为正数的等比数列，且，求的通项公式；设，求数列的前项和。五, 裂项法求和这是分解及组合思想在数列求和中的详细应用. 裂项法的实质是将数列中的每项通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终到达求和的目的. 通项分解裂项如：1 23 45(6) 例 求数列的前n项和. 那么 例 在数列an中，又，求数列bn的前n项的和.解： 六, 合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn. 例 数列an：，求S2002.解：设S2002 S2002 5例 在各项均为正数的等比数列中，假设的值.解：设由等比数列的性质 10七, 利用数列的通项求和先依据数列的构造及特征进展分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项提示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.例 求之和.解：由于