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1、 高考立体几何学问点总结一 、空间几何体一 空间几何体的类型 1 多面体：由假设干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱及棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。二 几种空间几何体的构造特征 1 、棱柱的构造特征 1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。图1-1 棱柱 1.2 棱柱的分类棱柱底面是四边形四棱柱底面是平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直
2、平行六面体底面是矩形长方体底面是正方形正四棱柱棱长都相等正方体性质：、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； 、两底面是全等多边形且互相平行；、平行于底面的截面和底面全等； 棱柱的面积和体积公式是底周长，是高S直棱柱外表 = c 2S底V棱柱 = S底 h2 、棱锥的构造特征 2.1 棱锥的定义 1 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。2正棱锥：假如有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2 正棱锥的构造特征 、 平行于底面的截面是及底面相像的正多边形，相像比等于顶点到截面的间隔 及顶
3、点究竟面的间隔 之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高及原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积及原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高及原棱锥的高的立方比；、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； ABCDPOH正棱锥侧面积：为底周长，为斜高体积：为底面积，为高正四面体：对于棱长为正四面体的问题可将它补成一个边长为的正方体问题。对棱间的间隔 为正方体的边长正四面体的高正四面体的体积为正四面体的中心究竟面及顶点的间隔 之比为3 、棱台的构造特征3.1 棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。3.2 正棱台的构造特征 1各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形
4、；2正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形； 3正棱台的对角面也是等腰梯形； 4各侧棱的延长线交于一点。4 、圆柱的构造特征4.1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。4.2 圆柱的性质1上、下底及平行于底面的截面都是等圆； 2过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。4.3 圆柱的侧面绽开图：圆柱的侧面绽开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。4.4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面 = 2rh (r为底面半径，h为圆柱的高) S圆柱全 = 2 r h + 2 r2 V圆柱 = S底h = r2h5、圆锥的构造特征5.1 圆锥的定义：以直角
5、三角形的始终角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。5.2 圆锥的构造特征 1 平行于底面的截面都是圆，截面直径及底面直径之比等于顶点到截面的间隔 及顶点究竟面的间隔 之比；图1-5 圆锥 2轴截面是等腰三角形； 3母线的平方等于底面半径及高的平方和： l2 = r2 + h2 5.3 圆锥的侧面绽开图：圆锥的侧面绽开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。6、圆台的构造特征 6.1 圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台。 6.2 圆台的构造特征 圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆； 圆台的截面是等腰梯形； 圆台常常
6、补成圆锥，然后利用相像三角形进展探讨。 6.3 圆台的面积和体积公式 S圆台侧 = (R + r)l (r、R为上下底面半径) S圆台全 = r2 + R2 + (R + r)l V圆台 = 1/3 ( r2 + R2 + r R) h (h为圆台的高) 7 球的构造特征 7.1 球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。空间中，及定点间隔 等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体。 7-2 球的构造特征 球心及截面圆心的连线垂直于截面； 截面半径等于球半径及截面和球心的间隔 的平方差：r2 = R2 d2 7-3 球及其他多面体的组合体的问题
7、球体及其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，解决此类问题的根本思路是： 依据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形； 找出多面体及球体连接的地方，找出对球的相宜的切割面，然后做出剖面图； 将立体问题转化为平面几何中圆及多边形的问题； 留意圆及正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线； 球外切正方体，球直径等于正方体的边长。 7-4 球的面积和体积公式 S球面 = 4 R2 (R为球半径) V球 = 4/3 R3三空间几何体的外表积及体积空间几何体的外表积棱柱、棱锥的外表积：各个面面积之和圆柱的外表积 ： 圆锥的外表积：圆台的外表积： 球的外表积：扇形的面积公式其中表示弧长，表示
8、半径，表示弧度空间几何体的体积柱体的体积 ： 锥体的体积 ： 台体的体积 ： 球体的体积： 四空间几何体的三视图和直观图 正视图：光线从几何体的前面对后面正投影，得到的投影图。 侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。 俯视图：光线从几何体的上面对右边正投影，得到的投影图。画三视图的原那么：正俯长相等、正侧高一样、俯侧宽一样注：球的三视图都是圆；长方体的三视图都是矩形直观图：斜二测画法斜二测画法的步骤：1平行于坐标轴的线依旧平行于坐标轴；2平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；3画法要写好用斜二测画法画出长方体的步骤：1画轴2画底面3画侧棱4成图二 、点、直线、平面
9、之间的关系一、立体几何网络图：公理4线线平行线面平行面面平行线线垂直线面垂直面面垂直三垂线逆定理三垂线定理1、线线平行的推断： 1、平行于同始终线的两直线平行。3、假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。6、假如两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 12、垂直于同一平面的两直线平行。2、线线垂直的推断： 7、在平面内的一条直线，假如和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。8、在平面内的一条直线，假如和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。10、假设始终线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内全部直线。补充
10、：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。3、线面平行的推断： 2、假如平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。5、两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。断定定理：性质定理：推断或证明线面平行的方法 利用定义(反证法)：，那么 (用于推断)； 利用断定定理：线线平行线面平行 (用于证明)； 利用平面的平行：面面平行线面平行 (用于证明)； 利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于推断)。2 线面斜交和线面角： = A2.1 直线及平面所成的角(简称线面角)：假设直线及平面斜交，那么平面的斜线及该斜线在平面内射影的夹角。 2.2
11、 线面角的范围：0，90图2-3 线面角 留意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，=0； 当直线垂直于平面时，=904、线面垂直的推断： 假如始终线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。假如两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。始终线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。假如两个平面垂直，那么在个平面内垂直于交线的直线必垂直于另个平面。断定定理：性质定理：1假设直线垂直于平面，那么它垂直于平面内随意一条直线。即： 2垂直于同一平面的两直线平行。 即：推断或证明线面垂直的方法 利用定义，用反证法证明。 利用断定定理证明。 一条直线垂直于平面
12、而平行于另一条直线，那么另一条直线也垂直及平面。 一条直线垂直于两平行平面中的一个，那么也垂直于另一个。 假如两平面垂直，在一平面内有始终线垂直于两平面交线，那么该直线垂直于另一平面。 1.5 三垂线定理及其逆定理图2-7 斜线定理 斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的全部线段中， 斜线相等那么射影相等，斜线越长那么射影越长，垂线段最短。 如图： 三垂线定理及其逆定理 ，斜线在平面内的射影为，a是平面内的一条直线。 三垂线定理：假设a，那么a。即垂直射影那么垂直斜线。 三垂线定理逆定理：假设a，那么a。即垂直斜线那么垂直射影。图2-8 三垂线定理 三垂线定理及其逆定理的主要应用 证明异面直线
13、垂直； 作出和证明二面角的平面角； 作点到线的垂线段。5、面面平行的推断： 一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。垂直于同一条直线的两个平面平行。6、面面垂直的推断： 一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。断定定理：性质定理： 假设两面垂直，那么这两个平面的二面角的平面角为90；23图2-10 面面垂直性质2 4 图2-11 面面垂直性质3二、其他定理：1确定平面的条件：不公线的三点；直线和直线外一点；相交直线； 2直线及直线的位置关系： 相交 ； 平行 ； 异面 ；直线及平面的位置关系： 在平面内 ； 平行 ； 相交垂直是它的特别状况 ；平面及平面的位置关
14、系： 相交 ； 平行 ；3等角定理：假如两个角的两边分别平行且方向一样，那么这两个角相等；假如两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；4射影定理斜线长、射影长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相等的射影相等；斜线段较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短。5最小角定理：斜线及平面内全部直线所成的角中最小的是及它在平面内射影所成的角。6异面直线的断定：反证法；过平面外一点及平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线。7过点及一条直线垂直的直线都在过这点及这条直线垂直
15、平面内。8假如直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面的交线。三、唯一性定理：1过点，有且只能作始终线和平面垂直。2过平面外一点，有且只能作一平面和平面平行。3过两条异面直线中的一条能且只能作一平面及另一条平行。四、空间角的求法：全部角的问题最终都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形1异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。异面直线所成角的范围：；2线面所成的角：线面平行或直线在平面内：线面所成的角为； 线面垂直：线面所成的角为；斜线及平面所成的角：范围；即也就是斜线及它在平面内的射影所成的角。线面所成的角范围3二面角：关键是找出二面角的
16、平面角。方法有：定义法；三垂线定理法；垂面法；二面角的平面角的范围：；五、间隔 的求法：1点点、点线、点面间隔 ：点及点之间的间隔 就是两点之间线段的长、点及线、面间的间隔 是点到线、面垂足间线段的长。求它们首先要找到表示间隔 的线段，然后再计算。留意：求点到面的间隔 的方法：干脆法：干脆确定点到平面的垂线段长垂线段一般在二面角所在的平面上；转移法：转化为另一点到该平面的间隔 利用线面平行的性质；体积法：利用三棱锥体积公式。2线线间隔 ：关于异面直线的间隔 ，常用方法有：定义法，关键是确定出的公垂线段；转化为线面间隔 ，即转化为及过而平行于的平面之间的间隔 ，关键是找出或构造出这个平面；转化为
17、面面间隔 ；3线面、面面间隔 ：线面间间隔 面面间间隔 及线线间、点线间间隔 常常互相转化； 六、常用的结论： 1假设直线在平面内的射影是直线，直线是平面内经过的斜足的一条直线，及 所成的角为，及所成的角为, 及所成的角为，那么这三个角之间的关系是；2如何确定点在平面的射影位置：、假如一个角所在平面外一点到角两边间隔 相等，那么这点在平面上的射影在这个角的平分线上；、经过一个角的顶角引这个角所在平面的斜线，假如斜线和这个角的两边夹角相等，那么斜线上的点在平面上的射影在这个角的平分线所在的直线上；、假如平面外一点到平面上两点的间隔 相等，那么这一点在平面上的射影在以这两点为端点的线段的垂直平分线
18、上。垂线法：假如过平面外一点的斜线及平面内的一条直线垂直，那么这一点在这平面上的射影在过斜足且垂直于平面内直线的直线上(三垂线定理和逆定理)；垂面法：假如两平面互相垂直，那么一个平面内任一点在另一平面上的射影在这两面的交线上(面面垂直的性质定理)；整体法：确定点在平面的射影，可先确定过一点的斜线这一整体在平面内的射影。3在四面体中：假设，那么；且在平面上的射影是的垂心。假设，那么在平面上的射影是的外心。假设到边的间隔 相等，那么在平面上的射影是的内心。AAFEE4异面直线上两点间的间隔 公式：假设异面直线所成的角为，它们公垂线段的长为，在上分别取一点，设，；那么假如为锐角，公式中取负号，假如为钝，公式中取正号安康中学高三四班