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1、2021年度成人高考专升本高数复习资料笔记书目第一章极限和连续第一节极限复习考试要求1.理解极限的概念对极限定义等形式的描绘不作要求。会求函数在一点处的左极限及右极限，理解函数在一点处极限存在的充分必要条件。2.理解极限的有关性质，驾驭极限的四那么运算法那么。3.理解无穷小量、无穷大量的概念，驾驭无穷小量的性质、无穷小量及无穷大量的关系。会进展无穷小量阶的比较高阶、低阶、同阶和等价。会运用等价无穷小量代换求极限。4.娴熟驾驭用两个重要极限求极限的方法。第二节函数的连续性复习考试要求1.理解函数在一点处连续及连续的概念，理解函数在一点处连续及极限存在之间的关系，驾驭推断函数含分段函数在一点处连续
2、性的方法。2.会求函数的连续点。3.驾驭在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简洁命题。4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。第二章一元函数微分学第一节导数及微分复习考试要求1.理解导数的概念及其几何意义，理解可导性及连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。2.会求曲线上一点处的切线方程及法线方程。3.娴熟驾驭导数的根本公式、四那么运算法那么以及复合函数的求导方法。4.驾驭隐函数的求导法及对数求导法。会求分段函数的导数。5.理解高阶导数的概念。会求简洁函数的高阶导数。6.理解微分的概念，驾驭微分法那么，理解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。第二节导数的应用复
3、习考试要求1.娴熟驾驭用洛必达法那么求“0、“-型未定式的极限的方法。2.驾驭利用导数断定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简洁的不等式。3.理解函数极值的概念，驾驭求函数的驻点、极值点、极值、最大值及最小值的方法，会解简洁的应用题。4.会推断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。5.会求曲线的程度渐近线及铅直渐近线第三章一元函数积分学第一节不定积分复习考试要求1.理解原函数及不定积分的概念及其关系，驾驭不定积分的性质。2.娴熟驾驭不定积分的根本公式。3.娴熟驾驭不定积分第一换元法，驾驭第二换元法仅限三角代换及简洁的根式代换。4.娴熟驾驭不定积分的分部积分法。5.驾驭简
4、洁有理函数不定积分的计算。第二节定积分及其应用复习考试要求1.理解定积分的概念及其几何意义，理解函数可积的条件2.驾驭定积分的根本性质3.理解变上限积分是变上限的函数，驾驭对变上限积分求导数的方法。4.娴熟驾驭牛顿莱布尼茨公式。5.驾驭定积分的换元积分法及分部积分法。6.理解无穷区间的广义积分的概念，驾驭其计算方法。7.驾驭直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。第四章多元函数微分学复习考试要求1.理解多元函数的概念，会求二元函数的定义域。理解二元函数的几何意义。2.理解二元函数的极限及连续的概念。3.理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，驾驭二元函
5、数的一阶偏导数的求法。驾驭二元函数的二阶偏导数的求法，驾驭二元函数的全微分的求法。4.驾驭复合函数及隐函数的一阶偏导数的求法。5.会求二元函数的无条件极值和条件极值。6.会用二元函数的无条件极值及条件极值解简洁的实际问题。第五章概率论初步复习考试要求1.理解随机现象、随机试验的根本特点；理解根本事务、样本空间、随机事务的概念。2.驾驭事务之间的关系：包含关系、相等关系、互不相容关系及对立关系。3.理解事务之间并和、交积、差运算的意义，驾驭其运算规律。4.理解概率的古典型意义，驾驭事务概率的根本性质及事务概率的计算。5.会求事务的条件概率；驾驭概率的乘法公式及事务的独立性。6.理解随机变量的概念
6、及其分布函数。7.理解离散性随机变量的意义及其概率分布驾驭概率分布的计算方法。8.会求离散性随机变量的数学期望、方差和标准差。第一章极限和连续第一节极限复习考试要求1.理解极限的概念对极限定义等形式的描绘不作要求。会求函数在一点处的左极限及右极限，理解函数在一点处极限存在的充分必要条件。2.理解极限的有关性质，驾驭极限的四那么运算法那么。3.理解无穷小量、无穷大量的概念，驾驭无穷小量的性质、无穷小量及无穷大量的关系。会进展无穷小量阶的比较高阶、低阶、同阶和等价。会运用等价无穷小量代换求极限。4.娴熟驾驭用两个重要极限求极限的方法。主要学问内容一数列的极限1.数列定义按肯定依次排列的无穷多个数称
7、为无穷数列，简称数列，记作xn，数列中每一个数称为数列的项，第n项xn为数列的一般项或通项，例如11，3，5，2n-1，等差数列2等比数列3递增数列41，0，1，0，震荡数列都是数列。它们的一般项分别为2n-1,。对于每一个正整数n，都有一个xn及之对应，所以说数列xn可看作自变量n的函数xn=fn，它的定义域是全体正整数，当自变量n依次取1,2,3一切正整数时，对应的函数值就排列成数列。在几何上，数列xn可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x1,x2,x3,.xn,。2.数列的极限定义对于数列xn，假如当n时，xn无限地趋于一个确定的常数A，那么称当n趋于无穷大时，数列xn以常数A为极
8、限，或称数列收敛于A，记作 比方：无限的趋向0，无限的趋向1否那么，对于数列xn，假如当n时，xn不是无限地趋于一个确定的常数，称数列xn没有极限，假如数列没有极限，就称数列是发散的。比方：1，3，5，2n-1，1，0，1，0，数列极限的几何意义：将常数A及数列的项依次用数轴上的点表示，假设数列xn以A为极限，就表示当n趋于无穷大时，点xn可以无限靠近点A，即点xn及点A之间的间隔 |xn-A|趋于0。比方：无限的趋向0无限的趋向1二数列极限的性质及运算法那么1.数列极限的性质定理1.1惟一性假设数列xn收敛，那么其极限值必定惟一。定理1.2有界性假设数列xn收敛，那么它必定有界。留意：这个定
9、理反过来不成立，也就是说，有界数列不肯定收敛。比方：1，0，1，0，有界：0，12.数列极限的存在准那么定理1.3两面夹准那么假设数列xn,yn,zn满意以下条件：1，2， 那么定理1.4假设数列xn单调有界，那么它必有极限。3.数列极限的四那么运算定理。定理1.5123当时，三函数极限的概念1.当xx0时函数fx的极限1当xx0时fx的极限定义对于函数y=fx，假如当x无限地趋于x0时，函数fx无限地趋于一个常数A，那么称当xx0时，函数fx的极限是A，记作或fxA当xx0时例y=fx=2x+1x1,fxx1x12左极限当xx0时fx的左极限定义对于函数y=fx，假如当x从x0的左边无限地趋
10、于x0时，函数fx无限地趋于一个常数A，那么称当xx0时，函数fx的左极限是A，记作或fx0-0=A3右极限当xx0时，fx的右极限定义对于函数y=fx，假如当x从x0的右边无限地趋于x0时，函数fx无限地趋于一个常数A，那么称当xx0时，函数fx的右极限是A，记作或fx0+0=A例子：分段函数，求，解：当x从0的左边无限地趋于0时fx无限地趋于一个常数1。我们称当x0时，fx的左极限是1，即有当x从0的右边无限地趋于0时，fx无限地趋于一个常数-1。我们称当x0时，fx的右极限是-1，即有明显，函数的左极限右极限及函数的极限之间有以下关系：定理1.6当xx0时，函数fx的极限等于A的必要充分
11、条件是反之，假如左、右极限都等于A，那么必有。x1时f(x)x1x1f(x)2对于函数，当x1时，fx的左极限是2，右极限也是2。2.当x时，函数fx的极限1当x时，函数fx的极限y=f(x)xf(x)y=f(x)=1+xf(x)=1+1定义对于函数y=fx，假如当x时，fx无限地趋于一个常数A，那么称当x时，函数fx的极限是A，记作或fxA当x时2当x+时，函数fx的极限定义对于函数y=fx，假如当x+时，fx无限地趋于一个常数A，那么称当x+时，函数fx的极限是A，记作这个定义及数列极限的定义根本上一样，数列极限的定义中n+的n是正整数；而在这个定义中，那么要明确写出x+，且其中的x不肯定
12、是正整数，而为随意实数。y=f(x)x+f(x)x？x+，f(x)=2+2例：函数fx=2+e-x，当x+时，fx？解：fx=2+e-x=2+，x+，fx=2+2所以3当x-时，函数fx的极限定义对于函数y=fx，假如当x-时，fx无限地趋于一个常数A，那么称当x-时，fx的极限是A，记作x-f(x)？那么f(x)=2+(x0)x-,-x+f(x)=2+2例：函数，当x-时，fx？解：当x-时，-x+2，即有由上述x，x+，x-时，函数fx极限的定义，不难看出：x时fx的极限是A充分必要条件是当x+以及x-时，函数fx有一样的极限A。例如函数，当x-时，fx无限地趋于常数1，当x+时，fx也无
13、限地趋于同一个常数1，因此称当x时的极限是1，记作其几何意义如图3所示。f(x)=1+y=arctanx不存在。但是对函数y=arctanx来讲，因为有即虽然当x-时，fx的极限存在，当x+时，fx的极限也存在，但这两个极限不一样，我们只能说，当x时，y=arctanx的极限不存在。x)=1+y=arctanx不存在。但是对函数y=arctanx来讲，因为有 即虽然当x-时，fx的极限存在，当x+时，fx的极限也存在，但这两个极限不一样，我们只能说，当x时，y=arctanx的极限不存在。四函数极限的定理定理1.7惟一性定理假如存在，那么极限值必定惟一。定理1.8两面夹定理设函数在点的某个邻域
14、内可除外满意条件：1，2那么有。留意：上述定理1.7及定理1.8对也成立。下面我们给出函数极限的四那么运算定理定理1.9假如那么123当时，时，上述运算法那么可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形，有以下推论：123用极限的运算法那么求极限时，必需留意：这些法那么要求每个参及运算的函数的极限存在，且求商的极限时，还要求分母的极限不能为零。另外，上述极限的运算法那么对于的情形也都成立。五无穷小量和无穷大量1.无穷小量简称无穷小定义对于函数，假如自变量x在某个变更过程中，函数的极限为零，那么称在该变更过程中，为无穷小量，一般记作常用希腊字母，来表示无穷小量。定理1.10函数以A为极限的必要充分条
15、件是：可表示为A及一个无穷小量之和。留意：1无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变更趋势无限趋于为零。2要把无穷小量及很小的数严格区分开，一个很小的数，无论它多么小也不是无穷小量。3一个变量是否为无穷小量是及自变量的变更趋势严密相关的。在不同的变更过程中，同一个变量可以有不同的变更趋势，因此结论也不尽一样。例如：振荡型发散 4越变越小的变量也不肯定是无穷小量，例如当x越变越大时，就越变越小，但它不是无穷小量。5无穷小量不是一个常数，但数“0是无穷小量中惟一的一个数，这是因为。2.无穷大量简称无穷大定义；假如当自变量或时，的肯定值可以变得充分大也即无限地增大，那么称在该变更过程中，
16、为无穷大量。记作。留意：无穷大不是一个数值，“是一个记号，绝不能写成或。3.无穷小量及无穷大量的关系无穷小量及无穷大量之间有一种简洁的关系，见以下的定理。定理1.11在同一变更过程中，假如为无穷大量，那么为无穷小量；反之，假如为无穷小量，且，那么为无穷大量。当无穷大无穷小当为无穷小无穷大4.无穷小量的根本性质性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；性质2有界函数变量及无穷小量的乘积是无穷小量；特殊地，常量及无穷小量的乘积是无穷小量。性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。5.无穷小量的比较定义设是同一变更过程中的无穷小量，即。1假如那么称是
17、比较高阶的无穷小量，记作；2假如那么称及为同阶的无穷小量；3假如那么称及为等价无穷小量，记为；4假如那么称是比较低价的无穷小量。当等价无穷小量代换定理：假如当时，均为无穷小量，又有且存在，那么。均为无穷小又有这特性质经常运用在极限运算中，它能起到简化运算的作用。但是必需留意：等价无穷小量代换可以在极限的乘除运算中运用。常用的等价无穷小量代换有：当时，sinxx;tanx;arctanxx;arcsinxx;六两个重要极限1.重要极限重要极限是指下面的求极限公式令这个公式很重要，应用它可以计算三角函数的型的极限问题。其构造式为：2.重要极限重要极限是指下面的公式：其中e是个常数银行家常数，叫自然
18、对数的底，它的值为e=2.718281828495045其构造式为：重要极限是属于型的未定型式，重要极限是属于“型的未定式时，这两个重要极限在极限计算中起很重要的作用，娴熟驾驭它们是特别必要的。七求极限的方法：1.利用极限的四那么运算法那么求极限；2.利用两个重要极限求极限；3.利用无穷小量的性质求极限；4.利用函数的连续性求极限；5.利用洛必达法那么求未定式的极限；6.利用等价无穷小代换定理求极限。根本极限公式 234例1.无穷小量的有关概念19601以下变量在给定变更过程中为无穷小量的是A.B.C.D. 答CA.发散D.20202当时，及x比较是A.高阶的无穷小量B.等价的无穷小量C.非等
19、价的同阶无穷小量D.低阶的无穷小量答B解:当,及x是极限的运算：0611解：答案-1例2.型因式分解约分求极限10208 答解:20621计算答解:例3.型有理化约分求极限10316计算 答解:29516 答解:例4.当时求型的极限 答10308一般地，有例5.用重要极限求极限19603以下极限中，成立的是A.B.C.D. 答B20006 答解:例6.用重要极限求极限10416计算 答解析解一：令解二：0306060120118计算 答解:例7.用函数的连续性求极限0407 答0解:，例8.用等价无穷小代换定理求极限0317 答0解:当例9.求分段函数在分段点处的极限10307设那么在的左极限
20、答1解析20406设,那么 答1解析例10.求极限的反问题1那么常数解析解法一：，即，得.解法二：令，得，解得.解法三：洛必达法那么即，得.2假设求a,b的值.解析型未定式.当时，.令于是，得.即，所以.04020017，那么k=_.答:ln2解析前面我们讲的内容：极限的概念；极限的性质；极限的运算法那么；两个重要极限；无穷小量、无穷大量的概念；无穷小量的性质以及无穷小量阶的比较。第二节函数的连续性复习考试要求1.理解函数在一点处连续及连续的概念，理解函数在一点处连续及极限存在之间的关系，驾驭推断函数含分段函数在一点处连续性的方法。2.会求函数的连续点。3.驾驭在闭区间上连续函数的性质会用它们
21、证明一些简洁命题。4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。主要学问内容一函数连续的概念1.函数在点x0处连续定义1设函数y=fx在点x0的某个邻域内有定义，假如当自变量的变更量x初值为x0趋近于0时，相应的函数的变更量y也趋近于0，即那么称函数y=fx在点x0处连续。函数y=fx在点x0连续也可作如下定义：定义2设函数y=fx在点x0的某个邻域内有定义，假如当xx0时，函数y=fx的极限值存在，且等于x0处的函数值fx0，即定义3设函数y=fx，假如，那么称函数fx在点x0处左连续；假如，那么称函数fx在点x0处右连续。由上述定义2可知假如函数y=fx在点x0处连续，那
22、么fx在点x0处左连续也右连续。2.函数在区间a，b上连续定义假如函数fx在闭区间a，b上的每一点x处都连续，那么称fx在闭区间a，b上连续，并称fx为a，b上的连续函数。这里，fx在左端点a连续，是指满意关系：，在右端点b连续，是指满意关系：，即fx在左端点a处是右连续，在右端点b处是左连续。可以证明：初等函数在其定义的区间内都连续。3.函数的连续点定义假如函数fx在点x0处不连续那么称点x0为fx一个连续点。由函数在某点连续的定义可知，假设fx在点x0处有以下三种状况之一：1在点x0处，fx没有定义；2在点x0处，fx的极限不存在；3虽然在点x0处fx有定义，且存在，但，那么点x0是fx一
23、个连续点。，那么fx在A.x=0,x=1处都连续B.x=0,x=1处都连续C.x=0处连续，x=1处连续D.x=0处连续，x=1处连续解：x=0处，f0=0f0-0f0+0x=0为fx的连续点x=1处，f1=1f1-0=f1+0=f1fx在x=1处连续 答案C9703设，在x=0处连续，那么k等于A.0 B. C. D.2分析：f0=k答案B例30209设在x=0处连续，那么a=解：f0=e0=1f0=f0-0=f0+0a=1 答案1二函数在一点处连续的性质由于函数的连续性是通过极限来定义的，因此由极限的运算法那么，可以得到以下连续函数的性质。定理1.12四那么运算设函数fx，gx在x0处均连
24、续，那么1fxgx在x0处连续2fxgx在x0处连续3假设gx00，那么在x0处连续。定理1.13复合函数的连续性设函数u=gx在x=x0处连续，y=fu在u0=gx0处连续，那么复合函数y=fgx在x=x0处连续。在求复合函数的极限时，假如u=gx，在x0处极限存在，又y=fu在对应的处连续，那么极限符号可以及函数符号交换。即定理1.14反函数的连续性设函数y=fx在某区间上连续，且严格单调增加或严格单调削减，那么它的反函数x=f-1y也在对应区间上连续，且严格单调增加或严格单调削减。三闭区间上连续函数的性质在闭区间a，b上连续的函数fx，有以下几个根本性质，这些性质以后都要用到。定理1.1
25、5有界性定理假如函数fx在闭区间a，b上连续，那么fx必在a，b上有界。定理1.16最大值和最小值定理假如函数fx在闭区间a，b上连续，那么在这个区间上肯定存在最大值和最小值。定理1.17介值定理假如函数fx在闭区间a，b上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，那么对于介于m和M之间的任何实数C，在a，b上至少存在一个，使得推论零点定理假如函数fx在闭区间a，b上连续，且fa及fb异号，那么在a，b内至少存在一个点，使得f=0四初等函数的连续性由函数在一点处连续的定理知，连续函数经过有限次四那么运算或复合运算而得的函数在其定义的区间内是连续函数。又由于根本初等函数在其定义区间内是连续的，可以得
26、到以下重要结论。定理1.18初等函数在其定义的区间内连续。利用初等函数连续性的结论可知：假如fx是初等函数，且x0是定义区间内的点，那么fx在x0处连续也就是说，求初等函数在定义区间内某点处的极限值，只要算出函数在该点的函数值即可。04070611例1.证明三次代数方程x3-5x+1=0在区间0,1内至少有一个实根.证：设fx=x3-5x+1fx在0，1上连续f0=1 f1=-3由零点定理可知，至少存在一点0，1使得f=0，3-5+1=0即方程在0，1内至少有一个实根。本章小结函数、极限及连续是微积分中最根本、最重要的概念之一，而极限运算又是微积分的三大运算中最根本的运算之一，必需娴熟驾驭，这
27、会为以后的学习打下良好的根底。这一章的内容在考试中约占15%，约为22分左右。现将本章的主要内容总结归纳如下：一、概念部分重点：极限概念，无穷小量及等价无穷小量的概念，连续的概念。极限概念应当明确极限是描绘在给定变更过程中函数变更的性态，极限值是一个确定的常数。函数在一点连续性的三个根本要素：1fx在点x0有定义。2存在。3。常用的是fx0-0=fx0+0=fx0。二、运算部分重点：求极限，函数的点连续性的断定。1.求函数极限的常用方法主要有：1利用极限的四那么运算法那么求极限；对于“型不定式，可考虑用因式分解或有理化消去零因子法。2利用两个重要极限求极限；3利用无穷小量的性质求极限；4利用函数的连续性求极限；假设fx在x0处连续，那么。5利用等价无穷小代换定理求极限；6会求分段函数在分段点处的极限；7利用洛必达法那么求未定式的极限。2.断定函数的连续性，利用闭区间上连续函数的零点定理证明方程的根的存在性。