《第一章函数与极限三峡大学高等数学教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一章函数与极限三峡大学高等数学教案.docx（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第一章 函数与极限教学目：1、 理解函数概念，驾驭函数表示方法，并会建立简洁应用问题中函数关系式。2、 理解函数奇偶性、单调性、周期性和有界性。3、 理解复合函数及分段函数概念，理解反函数及隐函数概念。4、 驾驭根本初等函数性质及其图形。5、 理解极限概念，理解函数左极限与右极限概念，以及极限存在与左、右极限之间关系。6、 驾驭极限性质及四那么运算法那么。7、 理解极限存在两个准那么，并会利用它们求极限，驾驭利用两个重要极限求极限方法。8、 理解无穷小、无穷也许念，驾驭无穷小比较方法，会用等价无穷小求极限。9、 理解函数连续性概念含左连续与右连续，会判别函数连续点类型。10、理解连续函数性质和
2、初等函数连续性，理解闭区间上连续函数性质有界性、最大值和最小值定理、介值定理，并会应用这些性质。教学重点：1、 复合函数及分段函数概念；2、 根本初等函数性质及其图形；3、 极限概念极限性质及四那么运算法那么；4、 两个重要极限；5、 无穷小及无穷小比较；6、 函数连续性及初等函数连续性；7、 区间上连续函数性质。教学难点：1、 分段函数建立与性质；2、 左极限与右极限概念及应用；3、 极限存在两个准那么应用；4、 连续点及其分类；5、 闭区间上连续函数性质应用。 1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质事物总体. 用A, B, C.等表示.
3、元素: 组成集合事物称为集合元素. a是集合M元素表示为aM. 集合表示: 列举法: 把集合全体元素一一列举出来. 例如A=a, b, c, d, e, f, g. 描绘法: 假设集合M是由元素具有某种性质P元素x全体所组成, 那么M可表示为 A=a1, a2, , an, M=x | x具有性质P . 例如M=(x, y)| x, y为实数, x2+y2=1. 几个数集: N表示全部自然数构成集合, 称为自然数集. N=0, 1, 2, , n, . N+=1, 2, , n, . R表示全部实数构成集合, 称为实数集. Z表示全部整数构成集合, 称为整数集. Z= , -n, , -2,
4、-1, 0, 1, 2, , n, . Q表示全部有理数构成集合, 称为有理数集. 子集: 假设xA, 那么必有xB, 那么称A是B子集, 记为AB(读作A包含于B)或BA . 假如集合A与集合B互为子集, AB且BA, 那么称集合A与集合B相等, 记作A=B. 假设AB且AB, 那么称A是B真子集, 记作AB . 例如, NZQR . 不含任何元素集合称为空集, 记作. 规定空集是任何集合子集. 2. 集合运算 设A、B是两个集合, 由全部属于A或者属于B元素组成集合称为A与B并集(简称并), 记作AB, 即 AB=x|xA或xB. 设A、B是两个集合, 由全部既属于A又属于B元素组成集合称
5、为A与B交集(简称交), 记作AB, 即 AB=x|xA且xB. 设A、B是两个集合, 由全部属于A而不属于B元素组成集合称为A与B差集(简称差), 记作AB, 即 AB=x|xA且xB. 假如我们探讨某个问题限定在一个大集合I中进展, 所探讨其他集合A都是I子集. 此时, 我们称集合I为全集或根本集. 称IA为A余集或补集, 记作AC. 集合运算法那么: 设A、B、C为随意三个集合, 那么 (1)交换律AB=BA, AB=BA; (2)结合律 (AB)C=A(BC), (AB)C=A(BC); (3)安排律 (AB)C=(AC)(BC), (AB)C=(AC)(BC); (4)对偶律 (AB
6、)C=AC BC, (AB)C=AC BC. (AB)C=AC BC证明: x(AB)CxABxA且xBxA C且xBC xAC BC, 所以(AB)C=AC BC. 直积(笛卡儿乘积): 设A、B是随意两个集合, 在集合A中随意取一个元素x, 在集合B中随意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样有序对作为新元素, 它们全体组成集合称为集合A与集合B直积, 记为AB, 即 AB=(x, y)|xA且yB. 例如, RR=(x, y)| xR且yR 即为xOy面上全体点集合, RR常记作R2. 3. 区间和邻域 有限区间: 设ab, 称数集x|axb为开区间, 记为(a, b),
7、即 (a, b)=x|axb. 类似地有 a, b = x | a xb 称为闭区间, a, b) = x | axb 、(a, b = x | axb 称为半开区间. 其中a和b称为区间(a, b)、a, b、a, b)、(a, b端点, b-a称为区间长度. 无限区间: a, +) = x | ax , (-, b = x | x b , (-, +)=x | | x | +. 区间在数轴上表示: 邻域: 以点a为中心任何开区间称为点a邻域, 记作U(a). 设d是一正数, 那么称开区间(a-d, a+d)为点ad邻域, 记作U(a, d), 即 U(a, d)=x | a-d x a+d
8、 =x | | x-a|d. 其中点a称为邻域中心, d 称为邻域半径. 去心邻域(a, d): (a, d)=x |0| x-a |1时, y=1+x. 例如 ; ; f(3)=1+3=4. 2. 函数几种特性 (1)函数有界性 设函数f(x)定义域为D, 数集XD. 假如存在数K1, 使对任一xX, 有f(x)K1, 那么称函数f(x)在X上有上界, 而称K1为函数f(x)在X上一个上界. 图形特点是y=f(x)图形在直线y=K1下方. 假如存在数K2, 使对任一xX, 有f(x) K2, 那么称函数f(x)在X上有下界, 而称K2为函数f(x)在X上一个下界. 图形特点是, 函数y=f(
9、x)图形在直线y=K2上方. 假如存在正数M, 使对任一xX, 有| f(x) |M, 那么称函数f(x)在X上有界; 假如这样M不存在, 那么称函数f(x)在X上无界. 图形特点是, 函数y=f(x)图形在直线y= - M和y = M之间. 函数f(x)无界, 就是说对任何M, 总存在x1X, 使| f(x) | M. 例如 (1)f(x)=sin x在(-, +)上是有界: |sin x|1. (2)函数在开区间(0, 1)内是无上界. 或者说它在(0, 1)内有下界, 无上界. 这是因为, 对于任一M1, 总有x1: , 使 , 所以函数无上界. 函数在(1, 2)内是有界. (2)函数
10、单调性 设函数y = f(x)定义域为D, 区间I D. 假如对于区间I上随意两点x1及x2, 当x1x2时, 恒有 f(x1) f(x2), 那么称函数f(x)在区间I上是单调增加. 假如对于区间I上随意两点x1及x2, 当x1 f(x2), 那么称函数f(x)在区间I上是单调削减. 单调增加和单调削减函数统称为单调函数. 函数单调性举例: 函数y = x2在区间(-, 0上是单调增加, 在区间0, +)上是单调削减, 在-, +上不是单调. (3)函数奇偶性 设函数f(x)定义域D关于原点对称(即假设xD, 那么-xD). 假如对于任一xD, 有f(-x) = f(x), 那么称f(x)为
11、偶函数. 假如对于任一xD, 有f(-x) = -f(x), 那么称f(x)为奇函数. 偶函数图形关于y轴对称, 奇函数图形关于原点对称, 奇偶函数举例: y=x2, y=cos x 都是偶函数. y=x3, y=sin x都是奇函数, y=sin x+cos x是非奇非偶函数. (4)函数周期性 设函数f(x)定义域为D. 假如存在一个正数l , 使得对于任一xD有(xl)D, 且 f(x+l) = f(x)那么称f(x)为周期函数, l 称为f(x)周期. 周期函数图形特点: 在函数定义域内, 每个长度为l 区间上, 函数图形有一样形态. 3反函数与复合函数反函数: 设函数f : Df(D
12、)是单射, 那么它存在逆映射f -1: f(D)D, 称此映射f -1为函数f反函数. 按此定义, 对每个yf(D), 有唯一xD, 使得f(x)=y, 于是有 f -1(y)=x. 这就是说, 反函数f -1对应法那么是完全由函数f对应法那么所确定. 一般地, y=f(x), xD反函数记成y=f -1(x), xf(D). 假设f是定义在D上单调函数, 那么f : Df(D)是单射, 于是f反函数f -1必定存在, 而且简洁证明f -1也是f(D)上单调函数. 相对于反函数y=f -1(x)来说, 原来函数y=f(x)称为干脆函数. 把函数y=f(x)和它反函数y=f -1(x)图形画在同
13、一坐标平面上, 这两个图形关于直线y=x是对称. 这是因为假如P(a, b)是y=f(x)图形上点, 那么有b=f(a). 按反函数定义, 有a=f -1(b), 故Q(b, a)是y=f -1(x)图形上点; 反之, 假设Q(b, a)是y=f -1(x)图形上点, 那么P(a, b)是y=f(x)图形上点. 而P(a, b)与Q(b, a)是关于直线y=x对称. 复合函数: 复合函数是复合映射一种特例, 依据通常函数记号, 复合函数概念可如下表述. 设函数y=f(u)定义域为D 1, 函数u=g(x)在D上有定义且g(D) D 1, 那么由下式确定函数 y=fg(x), xD称为由函数u=
14、g(x)和函数y=f(u)构成复合函数, 它定义域为D, 变量u称为中间变量. 函数g与函数f构成复合函数通常记为, 即 ()=fg(x). 与复合映射一样, g与f构成复合函数条件是: 是函数g在D上值域g(D)必需含在f定义域D f内, 即g(D)D f. 否那么, 不能构成复合函数. 例如, y=f(u)=arcsin u, 定义域为-1, 1, 在上有定义, 且g(D)-1, 1, 那么g与f可构成复合函数 , xD; 但函数y=arcsin u和函数u=2+x2不能构成复合函数, 这是因为对任xR, u=2+x2均不在y=arcsin u定义域-1, 1内. 多个函数复合: 4. 函
15、数运算 设函数f(x), g(x)定义域依次为D 1, D 2, D=D 1D 2, 那么我们可以定义这两个函数以下运算: 和(差)f g : (f g)(x)=f(x)g(x), xD; 积f g : (f g)(x)=f(x)g(x), xD; 商: , xDx|g(x)=0. 例 设函数f(x)定义域为(-l, l), 证明必存在(-l, l)上偶函数g(x)及奇函数h(x), 使得 f(x)=g(x)+h(x). 分析 假如f(x)=g(x)+h(x), 那么f(-x)=g(x)-h(x), 于是 , . 证 作, , 那么 f(x)=g(x)+h(x), 且 , . 5. 初等函数
16、根本初等函数: 幂函数: y=x m (mR是常数); 指数函数: y=a x(a0且a1); 对数函数: y=loga x (a0且a1, 特殊当a=e时, 记为y=ln x); 三角函数: y=sin x, y=cos x, y=tan x, y=cot x, y=sec x, y=csc x; 反三角函数: y=arcsin x, y=arccos x, y=arctan x, y=arccot x . 初等函数: 由常数和根本初等函数经过有限次四那么运算和有限次函数复合步骤所构成并可用一个式子表示函数, 称为初等函数. 例如 , y=sin2x, 等都是初等函数. 作业：P21：413
17、578；5124；122461. 2 数列极限 数列概念:假如依据某一法那么, 使得对任何一个正整数n 有一个确定数xn , 那么得到一列有次序数 x1, x2, x3, , xn , 这一列有次序数就叫做数列, 记为xn, 其中第n 项xn 叫做数列一般项. 数列例子: : , , , , ; 2n: 2, 4, 8, , 2n , ; : , , , , , ; (-1)n+1: 1, -1, 1, , (-1)n+1, ; : 2, , , , , . 它们一般项依次为 , 2n, , (-1)n+1, . 数列几何意义:数列xn可以看作数轴上一个动点, 它依次取数轴上点x1, x2,
18、x3, , xn , . 数列与函数:数列xn可以看作自变量为正整数n 函数: xn=f (n), 它定义域是全体正整数. 数列极限: 数列极限通俗定义：对于数列xn, 假如当n 无限增大时, 数列一般项xn无限地接近于某一确定数值a, 那么称常数a 是数列xn极限, 或称数列xn收敛a . 记为. 假如数列没有极限, 就说数列是发散. 例如 , ; 而2n, (-1)n+1, 是发散. 对无限接近刻划: xn无限接近于a 等价于|xn-a |无限接近于0, 极限精确定义: 定义 假如数列xn与常a 有以下关系:对于随意给定正数e (不管它多么小), 总存在正整数N , 使得对于n N 时一切
19、xn, 不等式 |xn-a |0, $NN+, 当nN时, 有|xn-a|0, 要使|xn-1|0, 要使|xn-0|e , 只要, 即. 例3. 设|q |0, 要使 |x n-0|=| qn-1-0|=|q| n-1log|q|e +1就可以了, 故可取N=log|q|e +1。 收敛数列性质: 定理1(极限唯一性) 数列xn不能收敛于两个不同极限. 数列有界性: 对于数列xn，假如存在着正数M，使得对一切xn都满意不等式 |xn|M,那么称数列xn是有界; 假如这样正数M不存在，就说数列xn是无界 定理2(收敛数列有界性) 假如数列xn收敛, 那么数列xn肯定有界. 定理3收敛数列保号性
20、) 假如数列xn收敛于a, 且a0(或aN时, 有xn0(或xnN时, 有|xn-a|e 0. 是否有xn a (n ). 2. 假如数列xn收敛, 那么数列xn肯定有界. 发散数列是否肯定无界 有界数列是否收敛 3. 数列子数列假如发散, 原数列是否发散 数列两个子数列收敛, 但其极限不同, 原数列收敛性如何发散数列子数列都发散吗？4如何推断数列 1, -1, 1, -1, , (-1)N+1, 是发散？作业：P30：1135781. 3 函数极限 一、函数极限定义 函数自变量有几种不同改变趋势: x无限接近x0 : xx0, x从x0左侧(即小于x0)无限接近x0 : xx0-, x从x0
21、右侧(即大于x0)无限接近x0 : xx0+, x肯定值|x|无限增大: x, x小于零且肯定值|x|无限增大: x-, x大于零且肯定值|x|无限增大: x+. 1自变量趋于有限值时函数极限 假如当x无限接近于x0 , 函数f(x)值无限接近于常数A, 那么称当x趋于x0 时, f(x)以A为极限. 记作f(x)=A或f(x)A(当x). 分析: 在xx0过程中, f(x)无限接近于A就是|f(x)-A|能随意小, 或者说, 在x与x0接近到肯定程度(比方|x-x0|d, d为某一正数)时, |f(x)-A|可以小于随意给定(小)正数e , 即|f(x)-A|e . 反之, 对于随意给定正数
22、e , 假如x与x0接近到肯定程度(比方|x-x0|d, d为某一正数)就有|f(x)-A|e , 那么能保证当x x0时, f(x)无限接近于A. 定义1 设函数f(x)在点x0某一去心邻域内有定义. 假如存在常数A, 对于随意给定正数e (不管它多么小), 总存在正数d, 使得当x满意不等式0|x-x0|d 时, 对应函数值f(x)都满意不等式 |f(x)-A|0, $d0, 当0|x-x0|d时, |f(x)-A|0, 要使|f(x)-A|e , 只要|x-x0|0, 要使|f(x)-A|0, 要使|f(x)-A|e , 只要|x-1|0, $d 0, x: x0-dxx0, 有|f(x
23、)-A|0, $d 0, x: x0xx0+d , 有|f(x)-A|X时, 对应函数数值f(x)都满意不等式|f(x)-A|0, $X0, 当|x|X时, 有|f(x)-A|0, 要使|f(x)-A|0和d, 使得当0|x-x0|0, 当0|x-x0|d时, 有|f(x)-A|e =1, 于是 |f(x)|=|f(x)-A+A|f(x)-A|+|A|1+|A|. 这就证明了在x0去心邻域x| 0|x-x0|0(或A0, 使当0|x-x0|0(或f(x)0情形证明. 因为, 所以对于, $d 0, 当0|x-x0|0. 定理3 假如f(x)A(xx0)(A0), 那么存在点x0某一去心邻域,
24、在该邻域内, 有. 推论 假如在x0某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0), 而且f(x)A(xx0), 那么A0(或A0). 证明: 设f(x)0. 假设上述论断不成立, 即设A0, 那么由定理1就有x0某一去心邻域, 在该邻域内 f(x)0, 这与f(x)0假定冲突. 所以A0. 定理4(函数极限与数列极限关系) 假如当xx0时f(x)极限存在, xn为f(x)定义域内任一收敛于x0数列, 且满意xn x0(nN+), 那么相应函数值数列f(x n)必收敛, 且 . 作业：P37：2；4；7 1. 4 无穷小与无穷大 一、无穷小 假如函数f(x)当xx0(或x)时极限为零, 那么称函数f(x)为当xx0(或x)时无穷小. 特殊地, 以零为极限数列xn称为n时无穷小. 例如, 因为, 所以函数为当x时无穷小. 因为, 所以函数为x-1当x1时无穷小. 因为, 所以数列为当n时无穷小. 探讨: 很小很小数是否是无穷小？0是否为无穷小？ 提示: 无穷小是这样函数, 在xx0(或x)过程中, 极限为零. 很小很小数只要它不是零, 作为常数函数在自变量任何改变过程中, 其极限就是这个常数本身, 不