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1、 数形结合思想高考要求 数形结合思想在高考中占有特别重要的地位，其“数”与“形”结合，互相浸透，把代数式的准确刻划与几何图形的直观描绘相结合，使代数问题、几何问题互相转化，使抽象思维和形象思维有机结合 应用数形结合思想，就是充分考察数学问题的条件和结论之间的内在联络，既分析其代数意义又提醒其几何意义，将数量关系和空间形式奇妙结合，来找寻解题思路，使问题得到解决 运用这一数学思想，要娴熟驾驭一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征 重难点归纳 应用数形结合的思想，应留意以下数与形的转化 （1）集合的运算及韦恩图（2）函数及其图象（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象（4）方程（多指二元
2、方程）及方程的曲线以形助数常用的有 借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的构造特征；借助于解析几何方法 以数助形常用的有 借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合 典型题例示范讲解 例1设A=x2xa，B=yy=2x+3，且xA，C=zz=x2，且xA ，若CB，务实数a的取值范围 命题意图 本题借助数形结合，考察有关集合关系运算的题目 学问依托 解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C 进而将CB用不等式这一数学语言加以转化 错解分析 考生在确定z=x2，x2,a的值域是易出错，不能分类而论 奇妙视察图象将是上策 不能漏掉a2这一种特别情形
3、技巧与方法 解决集合问题首先看清元素原委是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决 解 y=2x+3在2, a上是增函数1y2a+3，即B=y1y2a+3作出z=x2的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置状况如下 当2a0时，a2z4即C=za2z4要使CB,必需且只须2a+34得a与2a0冲突 当0a2时，0z4即C=z0z4，要使CB，由图可知 必需且只需解得a2当a2时，0za2，即C=z0za2，要使CB必需且只需解得2a3当a2时，A=此时B=C=，则CB成立 综上所述，a的取值范围是(,2),3
4、 例2已知acos+bsin=c, acos+bsin=c(ab0,k, kZ)求证 命题意图 本题主要考察数学代数式几何意义的转换实力 学问依托 解决此题的关键在于由条件式的构造联想到直线方程 进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上 错解分析 考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一 如何奇妙利用其几何意义是为瓶颈之二 技巧与方法 擅长发觉条件的几何意义，还要依据图形的性质分析清晰结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题 证明:在平面直角坐标系中，点A（cos,sin）与点B（cos,sin）是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图 从而 AB2=(cosco
5、s)2+(sinsin)2=22cos()又单位圆的圆心到直线l的间隔 由平面几何学问知OA2(AB)2=d2即例3曲线y=1+ (2x2)与直线y=r(x2)+4有两个交点时，实数r的取值范围 解析 方程y=1+的曲线为半圆，y=r(x2)+4为过（2，4）的直线 答案 （例4设f(x)=x22ax+2,当x1,+)时，f(x)a恒成立，求a的取值范围 解法一 由f(x)a，在1,+)上恒成立x22ax+2a0在1,+)上恒成立 考察函数g(x)=x22ax+2a的图象在1,+时位于x轴上方 如图两种状况 不等式的成立条件是 (1)=4a24(2a)0a(2,1)(2)a(3,2，综上所述a
6、(3,1) 解法二 由f(x)ax2+2a(2x+1)令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象 如图满意条件的直线l位于l1与l2之间，而直线l1、l2对应的a值（即直线的斜率）分别为1，3，故直线l对应的a(3,1) 学生稳固练习 1 方程sin(x)=x的实数解的个数是( )A 2 B 3 C 4 D 以上均不对2 已知f(x)=(xa)(xb)2（其中ab，且、是方程f(x)=0的两根（，则实数a、b、的大小关系为( )A ab B abC ab D ab3(4cos+32t)2+(3sin1+2t)2，(、t为参数)的最大值是 4 已知集合A=x5x,B
7、=xx2axxa，当AB时，则a的取值范围是 5 设关于x的方程sinx+cosx+a=0在（0,）内有相异解、 （1）求a的取值范围；（2）求tan(+)的值 6 设A=(x,y)y=,a0，B=(x,y)(x1)2+(y)2=a2,a0,且AB，求a的最大值与最小值 7 已知A（1，1）为椭圆=1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点 求PF1+PA的最大值和最小值 8 把一个长、宽、高分别为25 cm、20 cm、5 cm的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为多少？参考答案 1 解析 在同一坐标系内作出y1=sin(x)与y2=x的图象如图 答案 B2 解析
8、a,b是方程g(x)=(xa)(xb)=0的两根，在同一坐标系中作出函数f(x)、g(x)的图象如图所示 答案 A3 解析 联想到间隔 公式，两点坐标为A(4cos,3sin),B(2t3,12t)点A的几何图形是椭圆，点B表示直线 考虑用点到直线的间隔 公式求解 答案 4 解析 解得A=xx9或x3，B=x(xa)(x1)0，画数轴可得 答案 a35 解 作出y=sin(x+)(x(0,)及y=的图象，知当1且时，曲线与直线有两个交点，故a(2,)(,2) 把sin+cos=a,sin+cos=a相减得tan，故tan(+)=3 6 解 集合A中的元素构成的图形是以原点O为圆心，a为半径的半
9、圆；集合B中的元素是以点O(1,)为圆心，a为半径的圆 如图所示 AB，半圆O和圆O有公共点 明显当半圆O和圆O外切时，a最小a+a=OO=2,amin=22当半圆O与圆O内切时，半圆O的半径最大，即a最大 此时aa=OO=2,amax=2+2 7 解 由可知a=3,b=,c=2，左焦点F1(2,0),右焦点F2(2,0) 由椭圆定义，PF1=2aPF2=6PF2,PF1+PA=6PF2+PA=6+PAPF2如图 由PAPF2AF2=知PAPF2 当P在AF2延长线上的P2处时，取右“=”号；当P在AF2的反向延长线的P1处时，取左“=”号 即PAPF2的最大、最小值分别为， 于是PF1+PA的最大值是6+,最小值是6 8 解 本题事实上是求正方形窗口边长最小值 由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小，所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小 如图 设AE=x,BE=y,则有AE=AH=CF=CG=x，BE=BF=DG=DH=y