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1、常微分方程第一、二、三次作业参考答案1、给定一阶微分方程：（1） 求出它的通解；解：由原式变形得：.两边同时积分得.（2） 求通过点2，3的特解；解：将点2,3代入题1所求的得通解可得：即通过点2,3的特解为：.（3） 求出及直线相切的解；解：依题意联立方程组：故有：。由相切的条件可知：，即解得故为所求。（4） 求出满意条件的解。解：将代入，可得故为所求。2、求以下方程的解。 2解：依题意联立方程组：解得：，。那么令，。故原式可变成：.令，那么，即有.两边同时积分，可得 .将，代入上式可得：.即上式为所求。3、求解以下方程:.解：由原式变形得：.两边同时积分得：.即上式为原方程的解。.解：先求
2、其对应的齐次方程的通解：.进一步变形得：.两边同时积分得：.利用常数变异法，令是原方程的通解。有.整理得：.两边同时积分得.故原方程的通解为：.；解：令，代入方程整理得解得:即.解：由原式化简整理得：两边同时积分得：4、表达一阶微分方程的解的存在唯一性定理。一阶微分方程 1其中是在矩形域上的连续函数。 定义1 假设存在常数，使得不等式 对于全部 都成立，那么函数称为在上关于满意Lipschitz条件。 定理1 假设在上连续且关于满意Lipschitz条件， 那么方程(1)存在唯一的解，定义于区间上，连续且满意初始条件， 这里，。 5、求方程通过点的第二次近似解。 解： 令 那么 6、探讨方程通
3、过点的解和通过点的解的存在区间。解：此时区域D是整个平面.方程右端函数满意延展定理的条件.简洁算出，方程的通解是：故通过(1,1)的积分曲线为：，它向左可无限延展，而当时，y +, 所以，其存在区间为(-,2)。7、考虑方程假设及在xOy平面上连续，试证明：对于随意及，方程满意的解都在上存在。证明：依据题设，可以证明方程右端函数在整个xOy平面上满意延展定理及存在及唯一性定理的条件.易于看到，为方程在(-,+)上的解.由延展定理可知足，随意，的解上的点应当无限远离原点，但是，由解的唯一性，又不能穿过直线 ，故只能向两侧延展，而无限远离原点，从而这解应在(-,+)上存在。8、设（1） 验证函数是
4、方程的通解；解：由，易得.故得以验证（2） 求满意初始条件的特解；解：由，可得.由可得.由可知.所以所求特解为.（3） 求满意初始条件的特解。解：由，代入.解得，.故所求特解为：.9、求解以下微分方程1、 2、 3、解：1、这里特征根方程为：，有两个特征根 ，因此它的通解为：.解：2、这里特征根方程为：，它的特征根为 ，因此它对应的齐次方程的通解为：.考虑，它的一个特解为： .取它的虚部作为原方程的一个特解，那么 .依据解的构造根本定理，原方程的通解为： .解：3、这里特征根方程为：，有两个特征根 ，因此它对应的齐次方程的通解为：.考虑原方程，它的一个特解为： .依据解的构造根本定理，原方程的
5、通解为：.10、将下面的初值问题化为及之等价的一阶方程组的初值问题:1 2解：1令 xx, x= x, 得 即 又 xx(1)=7 x(1)= x(1)=-2于是把原初值问题化成了及之等价的一阶方程的初值问题：x x(1)其中 x. 解：2) 令x 那么得： 且 (0)=x(0)=1, =(0)=-1, (0)= (0)=2, (0)= (0)=0于是把原初值问题化成了及之等价的一阶方程的初值问题：= x(0)=, 其中 x=.11、考虑方程组，其中1验证 是 的基解矩阵.2试求的满意初始条件 的解 .证明：a)首先验证它是基解矩阵以表示的第一列 那么.故是方程的解假设以表示的第二列 .我们有
6、.故也是方程的解，从而是方程的解矩阵又.故是的基解矩阵；b)由常数变易公式可知，方程满意初始条件的解.而.12、设，求解方程组满意初始条件的解。解：detEA=(+1)2(3)0. 1二重，3.对应的特征向量为u1，u2. . 解得. .常微分方程课程作业4解答1. 解答：证：首先，方程的随意两个线性无关解的郎斯基行列式在区间I上恒不为零。可表如下 ，为区间I上任一点。由于， 在区间I上连续、恒不为零。故在区间I上恒不为零，即同号。此即 及同号在区间I上不变号。亦即在区间I上严格单调。2. 解答：证：设二阶线性齐次方程的随意两个线性无关解组的郎斯基行列式分别为： a , b分别为这两个行列式在
7、某一点的值。由于线性无关解组的行列式恒不为零。故a , b都不为零。两个行列式之比或为非零常数。3. 解答：方程可变为 通解为：以 代入得 = = = =4. 解答： 或 明显 当为常数时，比方 =0就能如此其根本解组的郎斯基行列式为常数。5. 解答： （1） 方程的特征方程为 特征根为 所以方程的通解为 ，其中为随意常数。（2） 方程的特征方程为 特征根为 所以方程的通解为 ，其中，为随意常数。（3） 方程的特征方程为 特征根为 所以方程的通解为 ，其中，为随意常数。6. 解答：（1） 方程的特征方程为 特征根为 所以方程的通解为 ，其中为随意常数。以代入下两式， 得 所以 方程满意初始条件
8、的解为 （2） 方程的特征方程为 特征根为 所以方程的通解为 ，其中为随意常数。以代入下两式 得 所以 方程满意初始条件的解为 7. 解答：1齐次方程的特征方程为特征根为 通解为 ，其中为随意常数。令 代入比较同次项系数得 所以方程的通解为2齐次方程的特征方程为特征根为 通解为 ，其中为随意常数。令 代入比较同次项系数得 所以方程 的通解为3齐次方程的特征方程为特征根为 通解为 ，其中为随意常数。令 代入比较同次项系数得 所以方程的通解为8. 解答：由 f=k x 以 f=9.8 , x=1 得 k=又 得 即特征方程为 特征根为 通解为 ，其中为随意常数。令 ， 那么有 所求周期为 9. 解答： 由 得 即 的特征方程为 特征根为 通解为 ，其中为随意常数。令 代入 得 故 的通解为以 t=0 , x=0 , x/=0 代入下两式 ， 所以质点的运动规律为：