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1、 中考数学 二次函数存在性问题 及参考答案一、二次函数中相像三角形的存在性问题1.如图，把抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线.所得抛物线及轴交于A，B两点点A在点B的左边，及轴交于点C，顶点为D.1写出的值；2推断的形态，并说明理由；3在线段上是否存在点M，使？假设存在，求出点M的坐标；假设不存在，说明理由.2.如图，抛物线经过A2，0，B3，3及原点O，顶点为C1求抛物线的解析式；2假设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；3P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶
2、点的三角形相像？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由二、二次函数中面积的存在性问题3.如图，抛物线及双曲线相交于点A，B点B的坐标为2，2，点A在第一象限内，且4过点A作直线轴，交抛物线于另一点C1求双曲线和抛物线的解析式；2计算的面积；3在抛物线上是否存在点D，使的面积等于的面积假设存在，请你写出点D的坐标；假设不存在，请你说明理由xyCB_D_AO4.如图，抛物线y2ca0经过梯形的四个顶点，梯形的底在x轴上，其中A2,0，B1, 31求抛物线的解析式；3分2点M为y轴上随意一点，当点M到A、B两点的间隔 之和为最小时，求此时点M的坐标；2分3在第2问的结论下，抛物线上的点P使
3、S4S成立，求点P的坐标4分(4)在抛物线的段上是否存在点Q使三角形的面积最大，假设有，求出点Q的坐标，假设没有，请说明理由。三、二次函数中直角三角形的存在性问题5.如图,是直角三角形,901，4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D1求的值；2点E是直角三角形斜边上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标；3在2的条件下：求以点、为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形 假设存在，求出全部点P的坐标；假设不存在，说明理由.四、二次函数中等腰三角形的存在性问题6.如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点
4、的抛物线交轴于另一点C3,0. 求抛物线的解析式;OCBA 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使是等腰三角形？假设存在，求出符合条件的Q点坐标；假设不存在，请说明理由.五、二次函数中等腰梯形、直角梯形的存在性问题 7如图，二次函数 -x2+b的图像及x轴交于A(-，0)、B(2，0)两点，且及y轴交于点C；(1) 求该拋物线的解析式，并推断的形态；(2) 在x轴上方的拋物线上有一点D，且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请干脆写出D点的坐标； (3) 在此拋物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？假设存在，求出P点的坐标；假设不存在，说明理由。yABCO
5、x六、二次函数中菱形的存在性问题8如图，抛物线经过原点O和x轴上一点A4，0，抛物线顶点为E，它的对称轴及x轴交于点D直线2x1经过抛物线上一点B2，m且及y轴交于点C，及抛物线的对称轴交于点F1求m的值及该抛物线对应的解析式；2Px，y是抛物线上的一点，假设S，求出全部符合条件的点P的坐标；3点Q是平面内随意一点，点M从点F动身，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？假设能，请干脆写出点M的运动时间t的值；假设不能，请说明理由1、【答案】解：1由平移的性质知，的顶点坐标为， 2由1得. 当时， 解之，得。 又当
6、时，C点坐标为0，3。又抛物线顶点坐标D1，4，作抛物线的对称轴交轴于点E， 轴于点F。易知在中，2=22+42=20，在中，2=32+32=18， 在中，2=12+12=2， 2 22。是直角三角形。3存在作交于M，点即为所求点。由2知，为等腰直角三角形，450，。由 ，得。即。过M点作于点G，那么，3。又点M在第三象限，所以M，。2、【答案】解：1设抛物线的解析式为，抛物线过A2，0，B3，3，O0，0可得，解得。抛物线的解析式为。2当为边时，A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，2，那么D在轴下方不行能，D在轴上方且2，那么D11，3，D23，3。当为对角线时，那么及相互平分。点E在
7、对称轴上，且线段的中点横坐标为1，由对称性知，符合条件的点D只有一个，及点C重合，即C1，1。故符合条件的点D有三个，分别是D11，3，D23，3，C1，1。3存在，如图：B3，3，C1，1，依据勾股定理得：2=18，2=2，2=20，222是直角三角形。假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形及相像，设P，由题意知0，0，且，假设，那么。即 +2=32+2得：1=，2=2舍去当=时，=，即P，。假设，那么，。即：2+2=3+2得：1=3，2=2舍去当=3时，=15，即P3，15故符合条件的点P有两个，分别是P，或3，15。3、【答案】解：1把点B2，2的坐标代入得，4。双曲线的解析式为：
8、。设A点的坐标为m，nA点在双曲线上，4。又4，4，即m4n。n21，n1。A点在第一象限，n1，m4。A点的坐标为1，4。把A、B点的坐标代入得，解得，1，3。抛物线的解析式为：。2轴，点C的纵坐标y4，代入得方程，解得14，21舍去。C点的坐标为4，4，且5。又的高为6，的面积5615。3存在D点使的面积等于的面积。理由如下：过点C作交抛物线于另一点D，此时的面积等于的面积同底：，等高：和的间隔 。直线相应的一次函数是：，且，可设直线解析式为，把C点的坐标4，4代入可得，。直线相应的一次函数是：。解方程组，解得，。点D的坐标为3，18。4.1、因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标合适
9、抛物线方程 解之得：；故为所求2如图2，连接，交y轴于点M，那么点M就是所求作的点设的解析式为，那么有，故的解析式为；令那么，故(3)、如图3，连接，交y轴于点N，由2知，2，图3易知1，易求；设，依题意有：，即：解之得：，故符合条件的P点有三个：5.解答：解：1由得：A1，0，B4，5，二次函数2的图象经过点A1，0，B4，5，解得：2，3；2如图：直线经过点A1，0，B4，5，直线的解析式为：1，二次函数22x3，设点Et，1，那么Ft，t22t3，1t22t3=t2+，当时，的最大值为，点E的坐标为，；3如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形可求出点F的坐标，点D的坐标为1，4S四边形4
10、+1=；如图：过点E作a交抛物线于点P，设点Pm，m22m3那么有：m22m2=，解得：m1=，m2=，P1，P2，过点F作b交抛物线于P3，设P3n，n22n3那么有：n22n2=，解得：n1=，n2=及点F重合，舍去，P3，综上所述：全部点P的坐标：P1，P2，P3，能使组成以为直角边的直角三角形6.解：1当=0时，=3当=0时，=11，0，0，33，01分设抛物线的解析式为+133131此抛物线的解析式为= + 13 +2+32分2存在抛物线的对称轴为：=14分如图对称轴及轴的交点即为Q1，06分当=时，设的坐标为1，m21+3m11，18分当=时，设1，n21+3n01，符合条件的点坐
11、标为1，0，1，1，1，10分7、答案：解 (1) 依据题意，将A(-，0)，B(2，0)代入 -x2+b中，得，解这个 方程，得，1，该拋物线的解析式为 -x2+x+1，当 0时，1， 点C的坐标为(0，1)。在中，。 在中，。 +2=， 2+ 2=+5 2，是直角三角形。 (2) 点D的坐标为(，1)。 (3) 存在。由(1)知，。yABCOxP j 假设以为底边，那么，如图1所示，可求得直线 的解析式为 -x+1，直线可以看作是由直线 平移得到的，所以设直线的解析式为 -x+b， 把点A(-，0)代入直线的解析式，求得 -， 直线的解析式为 -x-。点P既在拋物线上，又在直线上，yABC
12、OPx 点P的纵坐标相等，即-x2+x+1= -x-，解得x1=， x2= -(舍去)。当时， -，点P(，-)。 k 假设以为底边，那么，如图2所示。 可求得直线的解析式为2x+1。 直线可以看作是由直线平移得到的， 所以设直线的解析式为2x+b，把点B(2，0)代 入直线的解析式，求得 -4， 直线的解析式为2x-4。点P既在拋物线 上，又在直线上，点P的纵坐标相等， 即-x2+x+1=2x-4，解得x1= -，x2=2(舍去)。 当 -时， -9，点P的坐标为(-，-9)。 综上所述，满意题目条件的点P为(，-)或(-，-9)。8解：1点B2，m在直线2x1上3 即B2，3又抛物线经过原
13、点O设抛物线的解析式为2点B2，3，A4，0在抛物线上解得：设抛物线的解析式为2Px，y是抛物线上的一点，假设S，又点C是直线2x1及y轴交点，C0，1，1，即或，解得：点P的坐标为 3结论：存在抛物线的解析式为，顶点E2，1，对称轴为2；点F是直线2x1及对称轴2的交点，F2，5，5又A4，0，如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：菱形1Q1此时1，M11=4，t1=4；菱形2此时21，M22=6，t2=6；菱形3Q3此时3，331，M331+5=4+，t3=4+；菱形44此时为菱形的对角线，设对角线及M4Q4交于点H，那么M4Q4，易知M4，即，得M4，44E1=，M445=，t4=综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：t1=4，t2=6，t3=4+，t4=