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1、6.4.设，用，表示解线性方程组的雅可比迭代与高斯塞德尔迭代收敛的充分必要条件。解 雅可比迭代法的迭代矩阵雅可比迭代法收敛的充分必要条件是。高斯塞德尔迭代法的迭代矩阵高斯塞德尔迭代法收敛的充分必要条件是。6.5.对线性方程组，若用迭代法求解，问在什么范围内取值可使迭代收敛，取什么值可使迭代收敛更快？解 迭代公式可以写成迭代矩阵为。由故矩阵的特征值为1与4，所以矩阵的特征值为，因而这样所以当时迭代收敛。当时，达到最小值，故时收敛最快。6.6.用雅可比迭代与高斯塞德尔迭代解线性方程组，证明若取，则两种方法均收敛，试比较哪种方法收敛快？解 雅可比迭代法的迭代矩阵故雅可比迭代法收敛。高斯塞德尔迭代法的
2、迭代矩阵故高斯塞德尔迭代法收敛。因，故高斯塞德尔迭代法收敛快。6.9.设有线性方程组，其中为对称正定矩阵，迭代公式试证明当时上述迭代法收敛(其中)。证明 将迭代公式写成迭代矩阵为，其特征值。由，即，得故当时，有，即，这时，故迭代收敛。7.1.用二分法求方程的正根，要求误差小于0.05.解 设，因为，所以为的有根区间。又，故当时，单调递减，当时，单调递增。而，由单调性知的唯一正根。依据二分法的误差估计式，要求误差小于，只需，解得，故至少应二分6次。详细计算结果见下表。的符号0121.5-11.521.75+21.51.751.625+31.51.6251.5625-41.56251.6251.59375-51.593751.6251.609375-因此。第 2 页