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1、三角函数恒等变换学问归纳及整理一、 根本公式1、 必需驾驭的根本公式（1） 两角和及差的三角函数 同名乘积的和及差 异名乘积的和及差 （2） 二倍角的三角函数 差点等于1 （3） 半角的三角函数 2、 理解记忆的其他公式（1） 积化和差同名相乘用余弦；异名相乘用正弦。留首项，用加法；剩尾项，用减法。（2） 和差化积正弦加减得异名；余弦加减得同名。加法得2倍首项；减法得2倍尾项。 （3） 万能公式全部用正切来表示另外的三角函数称为万能公式 （4） 协助角公式 其中：常见的几种特殊协助角公式： 二、 理解证明1、 两个根本公式的证明的证明方法：在单位圆内利用两点间的间隔 公式证明。计算繁杂。在化简
2、中留意运用“的证明方法：在单位圆内利用向量的数量积证明。计算简便。运用向量数量积及两向量的夹角关系来证明。或者：在单位圆内利用三角函数线证明。构图较难。利用三角函数线的加减、平移来代换。2、 由两角和向差的演化方法：用代替，代入两角和的公式即可推导出两角的差公式。3、 由余弦向正弦的演化方法：用诱导公式把余弦转化为正弦：，绽开即可推导出正弦的两角的和公式。4、 由正弦和余弦推导正切方法：利用：可以推导出正切的两角和及差有的公式。5、 由两角和推导二倍角方法：把换成代入两角和的公式，即可得到二倍角的三角函数公式。6、 由余弦的二倍角推导半角方法：由余弦的二倍角公式：，把换成，即换成，通过移项，整
3、理，开方即得正弦、余弦的半角公式。然后正弦除以余弦就可以得到正切的半角公式。另外：关于正切的另一个半角公式：可以通过：来理解。特殊体会其演化过程中的转化思想：分子、分母同时乘一个式子，向二倍角靠拢！然后再利用二倍角化简。7、 由两角的和及差推导积化和差方法：整体思索法：两角的和及差的和差必定会互相抵清一些项。相加会抵消尾项，相减会抵消首项。这及完全平方的和及差的加减类似。会抵消中间项，剩下首尾项的2倍；而会抵消首尾项，剩下中间项的2倍。8、 由两角的和及差推导和差化积方法：对于两角和差的和及差来说，化成积并不难。利用绽开相抵原那么即可得到。关键是角度的转换问题。只有一个角无法绽开。因此引入了一
4、个合新的角度变换方法：把单角：和转换成两角的和及差：，。于时可以利用和差绽开相抵原那么得到和差化积的目的。9、 万能公式的理解方法：利用二倍角公式转换：，然后把分母“1奇妙利用。，这种思路在三角函数的转化中应用特别广泛。值得高度关注。，然后上下再同时除以即得。同样利用二倍角公式转化余弦：=再奇妙利用“1的转化：，上下同时除以即得。对于正切的万能公式，干脆利用二倍角公式即得。10、 协助角公式的理解方法：协助角公式事实上是两角和及差的逆运算。只是通过一些转换化成：的形式而已。对于来说：要通过换元法来转换，这种换元法叫三角换元法以前的换元法叫代数换元法。三角换元法是一种特别奇妙的换元方法，利用它能
5、把两个毫不相干的变量联络起来，从而得到简化式子的作用。 分析思索过程如下：假设干脆换元：令，那么怎样用三角函数式表示呢？无法完成换元过程，因此：化不成的形式。假设提公因式呢！假设公因式为，那么得：，此时令，也无法用三角函数表示出，因此化不成：的形式。所以公因式必定及、同时有联络。考虑到三角函数的产生环境，我们不妨将常数、放到直角三角形中来思索：假设、分别是直角三角形的两直角边，得斜边为：。这个常数明显及、都有关系。假设公因式是，那么化为：此时令此时在直角三角形中，为邻边，为斜边所以：此时在直角三角形中，为对边，为斜边于是化为：依据两角和的正弦公式得：=在直角三角形中：对边：邻边当然：假设令，那
6、么那么于是化为：=所以：此时：对边：邻边在此推导过程中，千万留意：两种演化中的是不同的本质上这两个角互余。不然就会产生以下错觉：。假如留意到两个角互余，那么就会得到：下面来分析这个结论：右边由诱导公式得：左边所以结论成立。三、 实际运用1、 给角求值：告知角度，求出它的一些倍角、半角等的值。1求、的值方法1：干脆用半角公式可求得：=方法2：由两角的差求得：=同理可得：=方法3：用60及45的差角求得=同理可得：=方法4：利用直角三角形作图计算15D30CBA如图：直角三角形中，30，90。延长到D，使。那么易知：15设1，那么2，；2+ =同理可求得15=方法5：利用诱导公式和倍角公式求解：利
7、用诱导公式我们知道：的值，然后利用倍角公式可求得的值，再利用诱导公式就可以求出的值。=，同理可得：=，2求+的值方法1：分别求出的值： 和 的值：二者相加得：方法2：干脆利用协助角公式计算：+方法3：奇妙利用公式：和倍角公式=方法4：运用向量计算：将+写成：+这样可以看成两个向量的数量积。如图：在单位圆内，设向量，向量。那么向量和之间的夹角为4515=30。由向量数量积公式得：+ABO3求的值分析：方法1：干脆求的值有些困难。当然用半角可求；可考虑能否奇妙转化。考虑到常数“1的转化。=1，原式可化为：方法2：代入得：原式方法3：干脆代入：得：方法4：代入并化简得：原式=4求的值分析：方法1：3
8、0是特殊角，关键是求1575的值。假设用积化和差来计算，那么有些困难。可考虑把75转化为15，然后利用倍角公式求得：=方法2：干脆用积化和差计算：原式=5求的值分析：方法1：利用余弦的倍角公式化简：，那么原式 再利用知差化积及积化和差的公式得：方法2：利用规律：来分析。6求的值分析：方法1：把常数换为特殊的三角函数，那么原式=2、 给值求值（1） 在中，求的值。 分析：在三角形中，180=（2） ，求的值分析：用完全平方公式和平方关系、及倍角公式求值： 即：由倍角公式得：（3） ，求的值分析：由倍角公式求值：（4） ，求的值分析：对于求值的代数式，要利用化弦的思想，把正切化成正弦及余弦的比值，
9、再利用和角公式绽开得：即： 所以即： 而，=3、 给值求角（1） 中，求角 分析： =4、 证明（1） 、是三角形的三个内角。求证： 分析：运用诱导公式证明：证明： 即：同理：即：（2） ，。求证：分析：先利用二元一次方程的思想分别求出和的式子，再利用倍角公式分析：证明：，由倍角公式得：2故：即：（3） ，求证：分析：同时绽开和然后比照思索：证明：=（4） 在直角三角形中，C为直角，、分别是A、B、C的对边。求证：分析：明显两边要平方，平方后再利用倍角公式转换 2。，而。只须要证明：即可。证明：在中，由倍角公式得：=即： （5） A、B、C是非直角三角形的三个内角。求证： 分析：用化切为弦的思
10、想分析： 证明：=而：而：=即：（6） A、B、C是三角形的三个内角。求证：分析：运用诱导公式、积化和差及和差化积公式证明：证明：=而：=而：（7） ，求证：分析：对欲证的式了转化为弦来分析：再绽开得：证明：对条件作如下变形： 即：移项得：即：两边同时除以：得： （8） ，且，求证：证明：由得： 绽开得：移项得：即：5、 化简（1） 化简：分析：奇妙利用常数“1及倍角公式凑成完全平方式来化简：=（2） 化简：分析：方法1：首先考虑“化弦：即把正切化成正弦及余弦的比值，再通分，最终利用倍角公式及和差公式化简。=此题解法奇妙：先化切为弦，然后通分。最终向倍角公式靠拢，利用和角公式转化。方法2：把常
11、数转化为三角函数，视察括号内的形式，利用正切的和角公式化简：=（3） 化简：分析：用正切的两角和公式化简：（4） 化简：分析：利用平方关系和倒数关系求解： 54=原式=（5） 化简：分析：方法1：将变形为：代入原式得：，同时约去得：方法2：同时除以()得：=（6） 化简：分析：利用倍角公式化简得：=（7） 化简：分析：通分后，利用倍角公式化简：6、 证明不等式（1） 假设，求证： 目前还无思路：7、 推导新公式1请推导出三倍角公式：和思路：=8、 及方程的综合（1） 设和是方程的两个根。 求的值 求证：分析：由韦达定理可得：，代入正切的两角和公式得： 即：9、 及函数的综合（1） 求函数的值域
12、分析：利用倍角公式得：的值域为 函数的值域为（2） 函数，。问： 函数的最小正周期是什么？ 函数在什么区间上是增函数？ 函数的图象可以由函数，的图象经过怎样的变换得到？分析：可化为：=它的最小正周期：函数的单调递增区间为：即：当，函数是增函数；函数可以看作是函数向左平移个单位，再向上平移2个单位得到的图象。10、 及几何图形的综合（1） 如图，三个一样的正方形相接拼成一个长方形。求证：。ABCD 分析：本质就是求证：证明：观图可得： 又 说明：假如用初中的学问来分析：那么可通过相像三角形来证明。即，三边对应成比例DBAC2如图：在三角形中，垂足为D，且：2：3：6。求的度数分析：此题也是利用角
13、度的和来分析，观图可知： 又 说明：假设用初中学问来解答，那么过C作，利用相像列出比例来解答。计算特别繁杂！3如图正方形的边长为1，点P、Q在边、上。当三角形的周长为2时，求的大小。ABCDPQ分析：可计算来分析。设，；那么1，1。2 由勾股定理得：整理得：由图可得：，=又，故说明：假设用初中几何学问来解答，由旋转，使和边重合。证明两个三角形全等。也很简洁。11、 生活中的实际运用（1） 要将半径为的半圆形木料截成矩形截面的木料，怎样截取才能使矩形截面面积最大。分析：明显矩形面积=可化简为：的最大值为1，当时，矩形面积最大，最大值为。（2） 如图，一个圆心为的扇形的半径为，在此扇形上截取一个平行四边形点P在圆弧上了，点D在线段上，点C、E在线段上。假设，请写出平行四边形的面积及的函数关系式，并求出当为何值时，有最大值，最大值为多少？PDCEOABNH分析：过P点作，过D作，明显， 平行四边形的面积即： (0)再分析：的最大值：此时当时，有最大值，最大值为：。