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1、第二章 插值法1当时，,求的二次插值多项式。解：则二次拉格朗日插值多项式为2给出的数值表X0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用线性插值与二次插值计算的近似值。解：由表格知，若采纳线性插值法计算即，则若采纳二次插值法计算时，3给全的函数表，步长若函数表具有5位有效数字，探讨用线性插值求近似值时的总误差界。解：求解近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生肯定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数的近似值时，采纳的线性插值法插值余项不为0，也会有肯定的误差。
2、因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。当时，令取令则当时，线性插值多项式为插值余项为又在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且，故计算中有误差传播过程。总误差界为4设为互异节点，求证：（1） （2） 证明（1） 令若插值节点为，则函数的次插值多项式为。插值余项为又 由上题结论可知得证。5设且求证：解：令，以此为插值节点，则线性插值多项式为插值余项为6在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使截断误差不超过，问运用函数表的步长h应取多少？解：若插值节点为与，则分段二次插值多项式的插值余项为设步长为h，即若截断误差不超过，则7若，解：依据向前差分算子与中心差分算子的定义进行求
3、解。8假如是m次多项式，记，证明的k阶差分是次多项式，并且（为正整数）。解：函数的展式为其中又是次数为的多项式为阶多项式为阶多项式依此过程递推，得是次多项式是常数当为正整数时，9证明证明得证10证明证明：由上题结论可知得证。11证明证明得证。12若有个不同实根，证明：证明： EMBED Equation.DSMT4 有个不同实根且令则而令则又得证。13证明阶均差有下列性质：（1）若，则（2）若，则证明：（1）得证。得证。14求与。解： EMBED Equation.DSMT4 若则15证明两点三次埃尔米特插值余项是解：若，且插值多项式满意条件插值余项为由插值条件可知且可写成其中是关于的待定函数
4、，现把看成上的一个固定点，作函数依据余项性质，有由罗尔定理可知，存在与，使即在上有四个互异零点。依据罗尔定理，在的两个零点间至少有一个零点，故在内至少有三个互异零点，依此类推，在内至少有一个零点。记为使又其中依靠于分段三次埃尔米特插值时，若节点为，设步长为，即在小区间上16求一个次数不高于4次的多项式P（x），使它满意解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式设其中，A为待定常数从而17设，在上取，按等距节点求分段线性插值函数，计算各节点间中点处的与值，并估计误差。解：若则步长在小区间上，分段线性插值函数为各节点间中点处的与的值为当时，当时，当时，当时，当时，误差又令得的驻点为与18求在上
5、分段线性插值函数，并估计误差。解：在区间上，函数在小区间上分段线性插值函数为误差为19求在上分段埃尔米特插值，并估计误差。解：在区间上，令函数在区间上的分段埃尔米特插值函数为误差为又20给定数据表如下：Xj0.250.300.390.450.53Yj0.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条插值，并满意条件：解：由此得矩阵形式的方程组为 2 1 M0 2 M1 2 M2 2 M3 1 2 M4 求解此方程组得三次样条表达式为将代入得由此得矩阵开工的方程组为求解此方程组，得又三次样条表达式为将代入得21若是三次样条函数，证明：若，式中为插值节点，且，则证明：从而有第 7 页