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1、弹性力学重点复习题及其答案一、填空题1、弹性力学探讨弹性体由于受外力作用、边界约束或温度变更等缘由而发生的应力、形变与位移。2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变与材料强度干脆有关的，是应力在其作用截面的法线方向与切线方向的重量，也就是正应力与切应力。应力及其重量的量纲是L-1MT-2。5、弹性力学的根本假定为连续性、完全弹性、匀整性、各向同性。6、平面问题分为平面应力问题与平面应变问题。7、一点处
2、的应力重量MPa，MPa， MPa，那么主应力150MPa，0MPa，。8、一点处的应力重量， MPa，MPa， MPa，那么主应力512 MPa，-312 MPa，-3757。9、一点处的应力重量，MPa，MPa， MPa，那么主应力1052 MPa，-2052 MPa，-8232。10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学与物理学三方面条件，分别建立三套方程。11、表示应力重量与体力重量之间关系的方程为平衡微分方程。12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件与混合边界条件。13、按应力求解平面问题时常承受逆解法与半逆解法。14、有限单
3、元法首先将连续体变换成为离散化构造，然后再用构造力学位移法进展求解。其详细步骤分为单元分析与整体分析两部分。15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不一样的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点一样的，即所谓常量应变。17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移形式必需能反映单元的刚体位移与常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。18、为了使得单元内部的位移保持连续，必需把位移形式取为坐标的单值连续函数，为了
4、使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有一样的位移时，也能在整个公共边界上具有一样的位移。19、在有限单元法中，单元的形函数Ni在i结点Ni=1；在其他结点Ni=0及Ni=1。20、为了进步有限单元法分析的精度，一般可以承受两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移与应力变更状况；二是承受包含更高次项的位移形式，使位移与应力的精度进步。二、推断题请在正确命题后的括号内打“，在错误命题后的括号内打“1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。2、匀整性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。3、连续性假定是指
5、整个物体是由同一材料组成的。4、平面应力问题与平面应变问题的物理方程是完全一样的。5、假设某一问题中，只存在平面应力重量，且它们不沿z方向变更，仅为x，y的函数，此问题是平面应力问题。6、假设某一问题中，只存在平面应变重量，且它们不沿z方向变更，仅为x，y的函数，此问题是平面应变问题。7、表示应力重量与面力重量之间关系的方程为平衡微分方程。8、表示位移重量与应力重量之间关系的方程为物理方程。9、当物体的形变重量完全确定时，位移重量却不能完全确定。10、当物体的位移重量完全确定时，形变重量即完全确定。11、按应力求解平面问题时常承受位移法与应力法。12、按应力求解平面问题，最终可以归纳为求解一个
6、应力函数。13、在有限单元法中，结点力是指单元对结点的作用力。14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变与应力均有突变。 三、简答题1、简述材料力学与弹性力学在探讨对象、探讨方法方面的异同点。在探讨对象方面，材料力学根本上只探讨杆状构件，也就是长度远大于高度与宽度的构件；而弹性力学除了对杆状构件作进一步的、较精确的分析外，还对非杆状构造，例如板与壳，以及挡土墙、堤坝、地基等实体构造加以探讨。在探讨方法方面，材料力学探讨杆状构件，除了从静力学、几何学、物理学三方面进展分析以外，大都引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，这就大简化了数学
7、推演，但是，得出的解答往往是近似的。弹性力学探讨杆状构件，一般都不必引用那些假定，因此得出的结果就比较精确，并且可以用来校核材料力学里得出的近似解答。2、简述弹性力学的探讨方法。答：在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学与物理学三方面条件，分别建立三套方程。即依据微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；依据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程；依据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程。此外，在弹性体的边界上还要建立边界条件。在给定面力的边界上，依据边界上微分体的平衡条件，建立应力边界条件；在给定约束的边界上，依据边界上的约束条件建立位移边界条件。求解弹性力学问题，即在边界条件下依据平衡
8、微分方程、几何方程、物理方程求解应力重量、形变重量与位移重量。3、弹性力学中应力如何表示？正负如何规定？答：弹性力学中正应力用表示，并加上一个下标字母，说明这个正应力的作用面与作用方向；切应力用表示，并加上两个下标字母，前一个字母说明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个字母说明作用方向沿着哪一个坐标轴。并规定作用在正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。相反，作用在负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。4、简述平面应力问题与平面应变问题的区分。答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变更的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变更。
9、对应的应力重量只有，。而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变更的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变更，对应的位移重量只有u与v5、简述圣维南原理。 假设把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力主矢量一样，对于同一点的主矩也一样，那么，近处的应力分布将有显著的变更，但是远处所受的影响可以不计。6、简述按应力求解平面问题时的逆解法。答：所谓逆解法，就是先设定各种形式的、满意相容方程的应力函数；并由应力重量与应力函数之间的关系求得应力重量；然后再依据应力边界条件与弹性体的边界形态，看这些应力重量对应于边界上什么样的面力，从而可以得知所选取的
10、应力函数可以解决的问题。7、以三节点三角形单元为例，简述有限单元法求解离散化构造的详细步骤。1取三角形单元的结点位移为根本未知量。2应用插值公式，由单元的结点位移求出单元的位移函数。3应用几何方程，由单元的位移函数求出单元的应变。4应用物理方程，由单元的应变求出单元的应力。5应用虚功方程，由单元的应力出单元的结点力。6应用虚功方程，将单元中的各种外力荷载向结点移置，求出单元的结点荷载。7列出各结点的平衡方程，组成整个构造的平衡方程组。8、为了保证有限单元法解答的收敛性，位移形式应满意哪些条件？答：为了保证有限单元法解答的收敛性，位移形式应满意以下条件：1位移形式必需能反映单元的刚体位移；2位移
11、形式必需能反映单元的常量应变；3位移形式应尽可能反映位移的连续性。9、在有限单元法中，为什么要求位移形式必需能反映单元的刚体位移？每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是本单元的形变无关的，即刚体位移，它是由于其他单元发生了形变而连带引起的。甚至在弹性体的某些部位，例如在靠近悬臂梁的自由端处，单元的形变很小，单元的位移主要是由于其他单元发生形变而引起的刚体位移。因此，为了正确反映单元的位移形态，位移形式必需能反映该单元的刚体位移。10、在有限单元法中，为什么要求位移形式必需能反映单元的常量应变？答：每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的
12、位置坐标有关的，是各点不一样的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点一样的，即所谓常量应变。而且，当单元的尺寸较小时，单元中各点的应变趋于相等，也就是单元的应变趋于匀整，因此常量应变就成为应变的主要部分。因此，为了正确反映单元的形变状态，位移形式必需能反映该单元的常量应变。11、在平面三结点三角形单元中，能否选取如下的位移形式并说明理由：1，2，答：1不能承受。因为位移形式没有反映全部的刚体位移与常量应变项；对坐标x，y不对等；在单元边界上的连续性条件也未能完全满意。2不能承受。因为，位移形式没有反映刚体位移与常量应变项；在单元边界上的连续性条件也不满意。四、分析计算题1、试写出
13、无体力状况下平面问题的应力重量存在的必要条件，并考虑以下平面问题的应力重量是否可能在弹性体中存在。1，；2，；其中，A，B，C，D，E，F为常数。解：应力重量存在的必要条件是必需满意以下条件：1在区域内的平衡微分方程；2在区域内的相容方程；3在边界上的应力边界条件；4对于多连体的位移单值条件。1此组应力重量满意相容方程。为了满意平衡微分方程，必需A=-F，D=-E。此外还应满意应力边界条件。2为了满意相容方程，其系数必需满意A+B=0；为了满意平衡微分方程，其系数必需满意A=B=-C/2。上两式是冲突的，因此，此组应力重量不行能存在。2、应力重量，体力不计，Q为常数。试利用平衡微分方程求系数C
14、1，C2，C3。解：将所给应力重量代入平衡微分方程得即由x，y的随意性，得由此解得，3、应力重量，推断该应力重量是否满意平衡微分方程与相容方程。解：将应力重量，代入平衡微分方程可知，应力重量，一般不满意平衡微分方程，只有体力无视不计时才满意。按应力求解平面应力问题的相容方程：将应力重量，代入上式，可知满意相容方程。按应力求解平面应变问题的相容方程：将应力重量，代入上式，可知满意相容方程。4、试写出平面问题的应变重量存在的必要条件，并考虑以下平面问题的应变重量是否可能存在。1，；2，；3，；其中，A，B，C，D为常数。解：应变重量存在的必要条件是满意形变协调条件，即将以上应变重量代入上面的形变协
15、调方程，可知：1相容。21分；这组应力重量假设存在，那么须满意：B=0，2A=C。30=C；这组应力重量假设存在，那么须满意：C=0，那么，1分。5、证明应力函数能满意相容方程，并考察在如下图的矩形板与坐标系中能解决什么问题体力不计，。l/2l/2h/2h/2yxO解：将应力函数代入相容方程可知，所给应力函数能满意相容方程。由于不计体力，对应的应力重量为对于图示的矩形板与坐标系，当板内发生上述应力时，依据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边，；下边，；左边，；右边，。可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左与向右的均布面力2b。因此，应力函数能解决矩形板在x方向受均布拉力b0与均
16、布压力b0的问题。6、证明应力函数能满意相容方程，并考察在如下图的矩形板与坐标系中能解决什么问题体力不计，。l/2l/2h/2h/2yxO解：将应力函数代入相容方程可知，所给应力函数能满意相容方程。由于不计体力，对应的应力重量为对于图示的矩形板与坐标系，当板内发生上述应力时，依据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边，；下边，；左边，；右边，。可见，在左右两边分别受有向下与向上的均布面力a，而在上下两边分别受有向右与向左的均布面力a。因此，应力函数能解决矩形板受均布剪力的问题。7、如下图的矩形截面的长坚柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力，试求应力重量。Oxybqrg 解：依据构造的特点与
17、受力状况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设。由此可知 将上式对y积分两次，可得如下应力函数表达式 将上式代入应力函数所应满意的相容方程那么可得这是y的线性方程，但相容方程要求它有多数多的解全柱内的y值都应当满意它，可见它的系数与自由项都应当等于零，即这两个方程要求代入应力函数表达式，并略去对应力重量无影响的一次项与常数项后，便得对应应力重量为以上常数可以依据边界条件确定。左边，沿y方向无面力，所以有右边，沿y方向的面力为q，所以有上边，没有程度面力，这就要求在这部分边界上合成的主矢量与主矩均为零，即将的表达式代入，并考虑到C=0，那么有而自然满意。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求在这部
18、分边界上合成的主矢量与主矩均为零，即将的表达式代入，那么有由此可得应力重量为虽然上述结果并不严格满意上端面处y=0的边界条件，但依据圣维南原理，在稍远离y=0处这一结果应是适用的。8、证明：假设体力重量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力重量可以表示为，其中V是势函数，那么应力重量亦可用应力函数表示为，试导出相应的相容方程。证明：在体力为有权利的状况下，按应力求解应力边界问题时，应力重量，应当满意平衡微分方程1分还应满意相容方程对于平面应力问题对于平面应变问题并在边界上满意应力边界条件1分。对于多连体，有时还必需考虑位移单值条件。首先考察平衡微分方程。将其改写为这是一个齐次微分方程组。为了求得
19、通解，将其中第一个方程改写为依据微分方程理论，确定存在某一函数Ax，y，使得同样，将第二个方程改写为1分可见也确定存在某一函数Bx，y，使得由此得因此又确定存在某一函数，使得代入以上各式，得应力重量为了使上述应力重量能同量满意相容方程，应力函数必需满意确定的方程，将上述应力重量代入平面应力问题的相容方程，得简写为将上述应力重量代入平面应变问题的相容方程，得简写为9、如下图三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为，试用纯三次的应力函数求解。Oxyarg解：纯三次的应力函数为相应的应力重量表达式为这些应力重量是满意平衡微分方程与相容方程的。如今来考察，假设适中选择各个系数，是否能满意应力边界条件。上
20、边，没有程度面力，所以有对上端面的随意x值都应成立，可见同时，该边界上没有竖直面力，所以有对上端面的随意x值都应成立，可见因此，应力重量可以简化为斜面，没有面力，所以有由第一个方程，得对斜面的随意x值都应成立，这就要求由第二个方程，得对斜面的随意x值都应成立，这就要求1分由此解得1分，从而应力重量为设三角形悬臂梁的长为l，高为h，那么。依据力的平衡，固定端对梁的约束反力沿x方向的重量为0，沿y方向的重量为。因此，所求在这部分边界上合成的主矢应为零，应当合成为反力。可见，所求应力重量满意梁固定端的边界条件。10、设有楔形体如下图，左面铅直，右面与铅直面成角，下端作为无限长，承受重力及液体压力，楔
21、形体的密度为，液体的密度为，试求应力重量。r2gr1gayxO解：承受半逆解法。首先应用量纲分析方法来假设应力重量的函数形式。取坐标轴如下图。在楔形体的随意一点，每一个应力重量都将由两部分组成：一部分由重力引起，应当与成正比g是重力加速度；另一部分由液体压力引起，应当与成正比。此外，每一部分还与，x，y有关。由于应力的量纲是L-1MT-2，与的量纲是L-2MT-2，是量纲一的量，而x与y的量纲是L，因此，假设应力重量具有多项式的解答，那么它们的表达式只可能是，四项的组合，而其中的A，B，C，D是量纲一的量，只与有关。这就是说，各应力重量的表达式只可能是x与y的纯一次式。其次，由应力函数与应力重量的关系式可知，应力函数比应力重量的长度量纲高二次，应当是x与y纯三次式，因此，假设相应的应力重量表达式为这些应力重量是满意平衡微分方程与相容方程的。如今来考察，假设适中选择各个系数，是否能满意应力边界条件。左面，作用有程度面力，所以有对左面的随意y值都应成立，可见同时，该边界上没有竖直面力，所以有对左面的随意y值都应成立，可见因此，应力重量可以简化为斜面，没有面力，所以有由第一个方程，得对斜面的随意y值都应成立，这就要求由第二个方程，得对斜面的随意x值都应成立，这就要求由此解得从而应力重量为第 16 页