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1、北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期统一考试 高三年级数学试卷（理工类） 20171（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）与非选择题（共110分）两局部第一局部（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集，集合，则A B C D 2在复平面内，复数对应的点位于A第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限3下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是 A B C D 4若，且，则“函数在上是减函数”是“函数 在上是增函数 ”的A 充分而不必要条件 B必要而不充分条件C 充
2、分必要条件 D 既不充分也不必要条件5从中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是A B 12俯视图正视图侧视图1 C D6某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为A B C D7在中，点D是边上的动点，且，,()，则当获得最大值时,的值为AB CD8某校高三（1）班32名学生全部参与跳远与掷实心球两项体育测试跳远与掷实心球两项测试成果合格的人数分别为26人与23人，这两项成果都不合格的有3人，则这两项成果都合格的人数是A B C D第二局部（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在答题卡上 开场是否输出完毕9已知
3、双曲线的一条渐近线方程为，则等于 10已知等差数列的前n项与为若，则= ， 11执行如图所示的程序框图，则输出的结果为 12在中，已知，则 来源:Zxxk13设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点，则的最大值是_；的取值范围是 14若集合满意：，都有，则称集合是封闭的明显，整数集，有理数集都是封闭的对于封闭的集合（），：是从集合到集合的一个函数，假如都有，就称是保加法的；假如都有，就称是保乘法的；假如既是保加法的，又是保乘法的，就称在上是保运算的在上述定义下，集合 封闭的（填“是”或“否”）；若函数 在上保运算，并且是不恒为零的函数，请写出满意条件的一个函数 来源:学,科,
4、网三、解答题：本大题共6小题，共80分解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程15（本小题满分13分）已知函数（）求的最小正周期；（）求在区间上的最大值与最小值16（本小题满分13分） 甲、乙两位同学参与数学文化学问竞赛培训现分别从他们在培训期间参与的若干次测试成果中随机抽取8次，记录如下：甲：8281797895889384乙：9295807583809085（）用茎叶图表示这两组数据；（）现要从中选派一人参与正式竞赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参与较为适宜？并说明理由；（）若对甲同学在今后的3次测试成果进展预料，记这3次成果中高于80分的次数为（将甲8次成果中高于80分的频率
5、视为概率），求的分布列及数学期望17（本小题满分14分）FADCBE 在如图所示的几何体中， 四边形为正方形，四边形为直角梯形，且平面平面 （）求证：平面；（）若二面角为直二面角，（i）求直线与平面所成角的大小； （ii）棱上是否存在点，使得平面 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由18 （本小题满分13分） 已知椭圆上的动点与其顶点,不重合（）求证：直线与的斜率乘积为定值；（）设点，在椭圆上，为坐标原点，当,时，求的面积19（本小题满分14分）设函数，（）当时，求函数在点处的切线方程； （）若函数有两个零点，试求的取值范围；（）证明20（本小题满分13分）来源:Zxxk设是正整数，数列，其
6、中是集合中互不一样的元素若数列满意：只要存在使，总存在有，则称数列是“好数列”（）当时，（）若数列是一个“好数列”，试写出的值，并推断数列：是否是一个“好数列”？（）若数列是“好数列”，且，求共有多少种不同的取值？（）若数列是“好数列”，且是偶数，证明：具体答案局部1.【考点】集合的运算【解析】由得，由得，故选B.【答案】B 2.【考点】复数综合运算【解析】，对应的点为，所以在第四象限，故选D.【答案】D 3.【考点】函数的奇偶性函数的单调性与最值【解析】，所以为偶函数，在上为减函数，不满意题意；为开口向下的二次函数，关于轴对称为偶函数，在上单调减，不满意题意；，为偶函数，当时，在上为减函数，
7、不满意题意，为偶函数，当时，函数为增函数，故选D.【答案】D 4.【考点】充分条件与必要条件【解析】函数在上是减函数，则，函数在上是增函数，则，解得，所以时满意，“函数在上是减函数”是“函数 在上是增函数 ”的充分条件，时，不肯定有，故“函数在上是减函数”不是“函数 在上是增函数”的必要条件，故答案为A.【答案】A 5.【考点】排列与排列的运用【解析】当末位数字为0时，首位可以是1，2，3，4中的一个，有4个，当末位数字为2或4时，首位可以是除了0之外的其它3个数字中的1个，故有种，所以偶数的个数是10个，故选C.【答案】C 6.【考点】空间几何体的外表积与体积空间几何体的三视图与直观图【解析
8、】复原三视图后放到长方体里如图所示，为四棱锥的高体积为，故答案为B.【答案】B 7.【考点】线性运算【解析】点D是边上的动点，则三点共线，满意，所以，即，又，所以，当且仅当时，等号成立，此时为的中点，.故选C.【答案】C 8.【考点】集合的运算【解析】设跳远与掷实心球测试都合格的为人，则，解得，所以选B.【答案】B 9.【考点】双曲线【解析】双曲线的渐近线方程为，所以，又，所以。【答案】3 10.【考点】等差数列【解析】设等差数列的公差为，则，即，故答案为4，110.【答案】4，110 11.【考点】算法与程序框图【解析】执行程序，推断，是，进入循环；，推断，是，进入循环；，推断，是，进入循环
9、；，推断，否，输出故答案为：30【答案】30 12.【考点】解斜三角形【解析】由正弦定理，所以，解得，则，所以.故答案为105.【答案】105 13.【考点】线性规划【解析】画出可行域如图所示令，当直线过点是有最大值，联立，得，代入；第二空：解法一、由图可知，令，则，当时，有最小值，代入得，故的取值范围为.解法二、如图当点在与平行的直线：上运动时，为（负）定值，故对每一个，这道当落在与的交点时，与原点的间隔 最小，从而获得最小值；当改变时，与的交点在上运动，此时，故=，为常数，综上知道，的最小值在线段上取到，最小值为，而最大值在线段上取到，最大值为0，故取值范围为.解法三：留意到所求为一次齐次
10、式，可以考虑分子分母同除以，当时，得到；当时，得到，这里为原点与点的直线的斜率，简单得到，从而上述的取值范围为；当是，得到这里为原点与点的直线的斜率，简单得到，从而上述的取值范围为；综上所述，知道取值范围为.解法四：设，令，由在可行域内，故.【答案】； 14.【考点】函数综合【解析】设，则，则，所以集合是封闭的.设，则，满意，.【答案】是；, 15.【考点】三角函数综合【解析】（）因为所以的最小正周期为（）因为当时，获得最大值；当获得最小值【答案】见解析 16.【考点】概率综合【解析】（）作出茎叶图如下：（）派甲参赛比拟适宜理由如下：，因为 ，所以，甲的成果较稳定，派甲参赛比拟适宜注：本小题的
11、结论及理由均不唯一，假如考生能从统计学的角度分析，给出其他合理答复，同样给分如派乙参赛比拟适宜理由如下：从统计的角度看，甲获得85分以上（含85分）的频率为，乙获得85分以上（含85分）的频率为因为，所以派乙参赛比拟适宜（）记“甲同学在一次数学竞赛中成果高于80分”为事务A，随机变量的可能取值为0，1，2，3，且，所以变量的分布列为：0123P（或）【答案】见解析 17.【考点】立体几何综合【解析】证明：（）连结，设，因为四边形为正方形，所以为中点设为的中点，连结，则，且由已知，且，所以所以四边形为平行四边形所以，即因为平面，平面，所以/平面（）由已知，所以因为二面角为直二面角，所以平面平面所
12、以平面，所以四边形为正方形，所以所以两两垂直以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系（如图）因为，所以，所以（i）设平面的一个法向量为，由得即取，得设直线与平面所成角为，则，因为，所以即直线与平面所成角的大小为（ii）假设棱上存在点，使得平面设，则设，则，因为，所以所以，所以点坐标为因为，所以又，所以解得因为，所以上存在点，使得平面，且（另解）假设棱上存在点，使得平面设，则设，则，因为，所以所以，所以点坐标为因为，所以设平面的一个法向量为，则 由，得取，得由，即，可得 解得因为，所以上存在点，使得平面，且【答案】见解析 18.【考点】圆锥曲线综合【解析】（）设，则所以直线与的斜率乘积为（）依题直线
13、的斜率乘积为当直线的斜率不存在时，直线的斜率为，设直线的方程是，由得，取，则所以的面积为当直线的斜率存在时,设直线的方程是,由得因为，在椭圆上，所以，解得设,则，设点到直线的间隔 为，则所以的面积为因为,，直线,的斜率乘积为，所以所以由，得由，得综上所述，【答案】见解析 19.【考点】导数的综合运用【解析】（）函数的定义域是，当时，所以函数在点处的切线方程为即（）函数的定义域为，由已知得当时，函数只有一个零点；当，因为，当时，；当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增又，因为，所以，所以，所以取，明显且所以，由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点当时，由，得，或) 当，则当改变时，改
14、变状况如下表：+ 留意到，所以函数至多有一个零点，不符合题意) 当，则，在单调递增，函数至多有一个零点，不符合题意若，则当改变时，改变状况如下表：+ 留意到当时，所以函数至多有一个零点，不符合题意综上，的取值范围是（）证明：设，其定义域为，则证明即可因为，取，则，且又因为，所以函数在上单增所以有唯一的实根，且当时，；当时，所以函数的最小值为所以所以【答案】见解析 20.【考点】数列综合应用【解析】（）（），或；数列：也是一个“好数列”（）由（）可知，数列必含两项，若剩下两项从中任取，则都符合条件，有种；若剩下两项从中任取一个，则另一项必对应中的一个，有种；若取，则，“好数列”必超过项，不符合；若取，则，另一项可从中任取一个，有种；若取，则，“好数列”必超过项，不符合；若取，则，符合条件，若取，则易知“好数列”必超过项，不符合；综上，共有66种不同的取值（）证明：由（）易知，一个“好数列”各项随意排列后，还是一个“好数列”又“好数列”各项互不一样，所以，不妨设把数列配对：，只要证明每一对与数都不小于即可用反证法，假设存在，使，因为数列单调递增，所以，又因为“好数列”，故存在，使得，明显，故，所以只有个不同取值，而有 个不同取值，冲突所以，每一对与数都不小于，故，即【答案】见解析