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1、概率论与数理统计综合复习资料一, 填空题1, 一个盒子中有10个球，其中有3个红球，2个黑球，5个白球，从中取球两次，每次取一个无放回，那么：第二次取到黑球的概率为 ；取到的两只球至少有一个黑球的概率为 。2, 的概率密度为 ()，那么 。3, 随机变量且与相互独立，设随机变量，那么 ；4, 随机变量的分布列为 -1 0 2 0.4 0.2 那么： = ；5, 设与独立同分布，且，那么(= 。 6, 设对于事务, 有 EMBED Equation.2 ，那么, 都不发生的概率为 。 7, 批产品中一, 二, 三等品各占60%, 30%, 10%，从中任取一件，结果不是三等品，那么取到的是二等品
2、的概率为 。 8, 相互独立，且概率分布分别为那么：= ； = 。 9, 工厂生产产品的次品率分别为2%与1%，现从由工厂分别占30%与70%的一批产品中随机抽取一件，发觉是次品，那么该产品是工厂的概率为 。 10, 设的概率分布分别为那么：= ；= 。二, 选择题1, 设与相互独立，且分别听从与，那么 。2, ，那么 。 1 0.7 3, 设某人进展射击，每次击中的概率为1/3，今独立重复射击10次，那么恰好击中3次的概率为 。4, 甲, 乙两人独立的对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6 与，现目标被命中，那么它是甲射中的概率是 。 () 0.6 () 5/11 () 0.75 ()
3、6/11 5, 设事务, , 满足，那么以下结论正确的选项是 。 6, 设，那么(= 。 () 40 () 34 () () 7, 设为来自总体的一个样本，为样本均值，未知，那么总体方差的无偏估计量为 。 8, 设每次试验成功的概率为2/3，那么在三次独立重复试验中至少失败一次的概率为 。 9, 设是随机变量，常数，对随意常数，那么必有 。三, 解答题1, 设的分布函数为，求：1的概率分布；2, , 。2, 设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4，又知第一, 二家工厂生产的产品有2%的次品，第三家工厂生产的产品有4%的次品，现从箱中任取一件，求：
4、1取到的是次品的概率；2假设取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。3, 设随机向量的概率密度为 求：1常数； 2关于的边缘概率密度，并推断与是否相互独立。4, EMBED Equation.2 , 分别听从正态分布与，且与的相关系数，设，求： 1数学期望，方差； 2与的相关系数。5, 设为的一个样本，其中为未知参数，求的极大似然法估计量。6, 工厂生产产品的次品率分别为1%与2%，现从由的产品分别占60%与40%的一批产品中随机抽取一件，求：1该产品是次品的概率；2假设取到的是次品，那么该产品是工厂的概率 。 7, 设的概率分布为求：与。 8, 一口袋中装有四只球，分别标有数字1，2，2，3
5、。现从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以, 分别表示第一次, 第二次取得球上标有的数字。求：1与的联合概率分布；2关于与关于边缘概率分布。9, 设总体的分布列为 1 0为的一个样本，求的极大似然估计。10, 设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们分别以0.03, 0.04, 0.06的概率被损坏而发生断路，求电路发生断路的概率。11, 设随机地在1，2，3中任取一值，随机地在1中任取一整数值,求：1的分布律；2关于与的边缘分布律。 12, 设为的一个样本，且的概率分布为其中为未知参数，为常数，求的极大似然估计。13, 在某公共汽车站甲, 乙, 丙三人分别独立地等1，2，3路汽
6、车，设每个人等车时间单位：分钟均听从0，5上的匀整分布，求三人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率。14, 一个盒子中有三只乒乓球，分别标有数字1，2，2。现从袋中随意取球二次，每次取一只有放回，以, 分别表示第一次, 第二次取得球上标有的数字。求：1与的联合概率分布；2关于与边缘分布； 3与是否相互独立？为什么？15, 设为来自总体X 的一个样本，且存在，验证统计量1, 2都是的无偏估计，并指出哪一个更好。1； 2。 16, 设随机变量，具有概率密度求1常数C ； 2关于与关于的边缘分布密度。 17, 设，其中是来自总体的简洁随机样本。试问当, 各为何值时，统计量听从分布，并指出其自由度
7、。概率论与数理统计答案 一, 填空题1 1/5 17/45 2 1/23 0 5 4 0.4 1.84 5 52 6 13/247 1/3 8 3 -119 7/13 10 二, 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 三, 解答题1, 设的分布函数为 求：1的概率分布；2, , ；解：1的概率分布列为 0 1 2 1/3 1/6 1/2 2 2, 设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4，又知第一, 二家工厂生产的产品有2%的次品，第三家工厂生产的产品有4%的次品，现从箱中任取一件，求：1取到的是次品的概率；2取到的是次品，它是第一家工厂生产
8、的概率。解：设事务表示：“取到的产品是次品；事务表示：“取到的产品是第家工厂生产的。那么，且，两两互不相容。 （1） 由全概率公式得 2由贝叶斯公式得 3, 设随机向量的概率密度为 求：1常数； 2关于的边缘概率密度，并推断与是否相互独立。解：1利用归一性知： 2，当时，有；其他状况时，综合知， 同理 由于 知与不相互独立。 4, EMBED Equation.2 , 分别听从正态分布与，且与的相关系数，设，求： 1数学期望，方差；2与的相关系数。解：1由数学期望, 方差的性质及相关系数的定义得 2从而有与的相关系数 5, 设为的一个样本，其中为未知参数，求的极大似然法估计量。 解：设为观测值
9、，那么构造似然函数令解的的极大似然估计量为 6, 工厂生产产品的次品率分别为1%与2%，现从由的产品分别占60%与40%的一批产品中随机抽取一件，求：1该产品是次品的概率；2假设取到的是次品，那么该产品是工厂的概率 。解：设表示“取到的产品是次品；“取到的产品是工厂的；“取到的产品是工厂的。那么 （1） 取到的产品是次品的概率为2假设取到的是次品，那么该产品是工厂的概率为7, 设的概率分布为求：与。 解：由于在有限区间1，5上听从匀整分布，所以；又由于听从参数为4的指数分布，所以=, ， 因此由数学期望性质2, 性质3及重要公式得 8, 一口袋中装有四只球，分别标有数字1，2，2，3。现从袋中
10、任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以, 分别表示第一次, 第二次取得球上标有的数字。求：1与的联合概率分布；2关于与关于边缘概率分布。解：1的全部可能取值为(1，2), (1，3), (2，1), (2，2), (2，3), (3，1), (3，2)。由概率乘法公式得同理得,。此外，都是不行能事务，所以,于是，的概率分布表为 1 2 3 1 0 1/6 1/12 2 1/6 1/6 1/6 3 1/12 1/6 0 2的边缘概率分布为 1 2 3 1/4 1/2 1/4 的联合概率分布为 1 2 3 1/4 1/2 1/4 9, 设总体的分布列为 1 0为的一个样本，求的极大似然估计。 解：
11、设为观测值，的分布律为于是似然函数令，解得，因此的极大似然估计为10, 设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们分别以0.03, 0.04, 0.06的概率被损坏而发生断路，求电路发生断路的概率。 解：设表示：“第个电子元件被损坏=1，2，3，那么有；。依题意所求概率为 11, 设随机地在1，2，3中任取一值，随机地在1中任取一整数值,求：1的分布律；2关于与的边缘分布律。解：1的概率分布表为 1 2 3 2关于的边缘分布律为 1 2 3 关于的边缘分布律为 1 2 3 12, 设为的一个样本，且的概率分布为其中为未知参数，为常数，求的极大似然估计。 解：设为观测值，构造似然函数令 解
12、得，因此的极大似然估计为13, 在某公共汽车站甲, 乙, 丙三人分别独立地等1，2，3路汽车，设每个人等车时间单位：分钟均听从0，5上的匀整分布，求三人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率。解：设表示每个人等车时间，且听从0，5上的匀整分布，其概率分布为又设表示等车时间不超2分钟的人数，那么，所求概率为14, 一个盒子中有三只乒乓球，分别标有数字1，2，2。现从袋中随意取球二次，每次取一只有放回，以, 分别表示第一次, 第二次取得球上标有的数字。求：1与的联合概率分布；2关于与边缘分布； 3与是否相互独立？为什么？解：1的全部可能取值为(1，1), (1，2), (2，1), (2，2)。
13、于是，的概率分布表为 1 2 1 1/9 2/9 2 2/9 4/9 2关于与的边缘概率分布分别为 1 2 1 2 1/3 2/3 1/3 2/3 3与相互独立。因为有 EMBED Equation.2 15, 设为来自总体X 的一个样本，且存在，验证统计量(1), (2)都是的无偏估计，并指出哪一个较好。 1； 2。 解：1由于所以是的无偏估计； 2 所以是的无偏估计。 而 明显，故较好。 16, 设随机变量，具有概率密度求1常数C；2边缘分布密度。 解：1由于，故 1=所以=1，即 2 ，即 ，即17, 设，其中是来自总体的简洁随机样本。试问当, 各为何值时，统计量听从分布，并指出其自由度。解：依题意，要使统计量听从分布，那么必需使及听从标准正态分布。 由相互独立的正态随机变量的性质知从而解得1/20。 从而解得1/100。 故1/20，1/100时，统计量听从分布。且自由度为2。第 11 页