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1、二次函数学问点一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 这里须要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数的构造特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项二、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：的性质：a 的肯定值越大，抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值2. 的性质：上加下减。的符号开口方向顶点坐标对称轴
2、性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值3. 的性质：左加右减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值4. 的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值三、 二次函数图象的平移四、 1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形态不变，将其顶点平移到处，详细平移方法
3、如下： 2. 平移规律 在原有函数的根底上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二：沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 四、二次函数及的比拟从解析式上看，及是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中五、二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、及轴的交点、以及关于对称轴对称的点、及轴的交点，（若及轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对
4、称轴，顶点，及轴的交点，及轴的交点.六、二次函数的性质 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：（，为常数，）；2. 顶点式：（，为常数，）；3. 两根式：（，是抛物线及轴两交点的横坐标）.留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线及轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次
5、函数的图象及各项系数之间的关系 1. 二次项系数二次函数中，作为二次项系数，明显 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大总结起来，确定了抛物线开口的大小和方向，的正负确定开口方向，的大小确定开口的大小2. 一次项系数 在二次项系数确定的前提下，确定了抛物线的对称轴 在的前提下，当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的右侧 在的前提下，结论刚好及上述相反，即当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的左侧总结起来
6、，在确定的前提下，确定了抛物线对称轴的位置的符号的断定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”总结： 3. 常数项 当时，抛物线及轴的交点在轴上方，即抛物线及轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线及轴的交点为坐标原点，即抛物线及轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线及轴的交点在轴下方，即抛物线及轴交点的纵坐标为负 总结起来，确定了抛物线及轴交点的位置 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式确实定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必需根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种状况：1. 已知抛物
7、线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线及轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种状况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 2. 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 3. 关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180） 关于顶点对称后，得
8、到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是 5. 关于点对称 关于点对称后，得到的解析式是 根据对称的性质，明显无论作何种对称变换，抛物线的形态肯定不会发生改变，因此恒久不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以根据题意或便利运算的原则，选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式十、二次函数及一元二次方程：1. 二次函数及一元二次方程的关系（二次函数及轴交点状况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特别状况.图象及轴的交点个数： 当时，图象及轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根这两
9、点间的间隔 . 当时，图象及轴只有一个交点； 当时，图象及轴没有交点. 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有 2. 抛物线的图象及轴肯定相交，交点坐标为，； 3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象及轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值须要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置推断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号推断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知及轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.抛物线
10、及轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线及轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线及轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根. 及二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，提醒二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联络：图像参考： 十一、函数的应用二次函数应用二次函数考察重点及常见题型1 考察二次函数的定义、性质，有关试题常出如今选择题中，如：已知以为自变量的二次函数的图像经过原点， 则的值是 2 综合考察正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同始终角坐标
11、系内考察两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，假如函数的图像在第一、二、三象限内，那么函数的图像大致是（ ） y y y y 1 1 0 x 1 x 0 x 0 -1 x A B C D3 考察用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。4 考察用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线（a0）及x轴的两个交点的横坐标是1、3，及y轴交点的纵坐标是（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和
12、顶点坐标. 5考察代数及几何的综合实力，常见的作为专项压轴题。【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例1 （1）二次函数的图像如图1，则点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 （2）已知二次函数2（a0）的图象如图2所示，则下列结论：a、b同号；当1和3时，函数值相等；40；当2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D4个 (1) (2)【点评】弄清抛物线的位置及系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键例2.已知二次函数2的图象及x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1x12，及y轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方下列结论：abO；4O，
13、其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D4个答案：D会用待定系数法求二次函数解析式例3.已知：关于x的一元二次方程23的一个根为2，且二次函数2的对称轴是直线2，则抛物线的顶点坐标为( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3，2)答案：C例4、（2006年烟台市）如图（单位：m），等腰三角形以2米/秒的速度沿直线L向正方形挪动，直到及重合设x秒时，三角形及正方形重叠局部的面积为2（1）写出y及x的关系式；（2）当2，3.5时，y分别是多少？（3）当重叠局部的面积是正方形面积的一半时，三角形挪动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例5、已知抛物线2（1
14、）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（2）若该抛物线及x轴的两个交点为A、B，求线段的长【点评】本题（1）是对二次函数的“根本方法”的考察，第（2）问主要考察二次函数及一元二次方程的关系例6.已知：二次函数2-(1)3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于，两点，交y轴负半轴于C点，且满意3(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由(1)解：如图抛物线交x轴于点A(x1，0)，B(x2，O)，则x1x2=30，又x1O，x1O，30，x23x1 x1x23x123x12=1. x10，x11x2=3 点A(-
15、1，O)，P(4，10)代入解析式得解得2 3 二次函数的解析式为2x2-46(2)存在点M使0(2)解：点A关于y轴的对称点A(1，O)，直线A，C解析式为66直线AC及抛物线交点为(0，-6)，(5，24)符合题意的x的范围为-1x0或Ox5当点M的横坐标满意-1xO或Ox例7、 “已知函数的图象经过点A（c，2）， 求证：这个二次函数图象的对称轴是3。”题目中的矩形框局部是一段被墨水污染了无法分辨的文字。（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当
16、的条件，把原题补充完好。点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以可以求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件可以使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个随意点的坐标，可以给出顶点的坐标或及坐标轴的一个交点的坐标等。解答 （1）根据的图象经过点A（c，2），图象的对称轴是3，得解得所以所求二次函数解析式为图象如图所示。（
17、2）在解析式中令0，得，解得所以可以填“抛物线及x轴的一个交点的坐标是（3+”或“抛物线及x轴的一个交点的坐标是令3代入解析式，得所以抛物线的顶点坐标为所以也可以填抛物线的顶点坐标为等等。函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）理解函数的详细特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“改变过程中变量之间关系”的数学模型；浸透函数的思想；关注函数及相关学问的联络。用二次函数解决最值问题例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形（如图），其中2，1试在上求一点P，使矩形有最大面积【评析】本题是一道代数几何综合题，把相像三角形及二次函数的学问有机的结合在一起，能很好考察学生的综合应用实力同
18、时，也给学生探究解题思路留下了思维空间例2 某产品每件本钱10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）及产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x（元）152030y（件）252010 若日销售量y是销售价x的一次函数 （1）求出日销售量y（件）及销售价x（元）的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 【解析】（1）设此一次函数表达式为则 解得1，40，即一次函数表达式为40 （2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元 （10）（40）2+50400（25）2+225 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为22
19、5元 【点评】解决最值问题应用题的思路及一般应用题类似，也有区分，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程例3.你知道吗平常我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形态可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手程度间隔 1m、25 m处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是15 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)( )A15 m B1625 mC166 m D167 m分析：本题考察二次函数的应用答案：B