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1、第2节双曲线及其性质题型116 双曲线的定义与标准方程1.（2019江西理14）抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于两点，若为等边三角形，则2.(2019陕西理11） 双曲线的离心率为，则等于.3（2019广东理7）已知中心在原点的双曲线的右焦点为，离心率等于，在双曲线的方程是（ ）.A B C D4.（2019 天津理 5）已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（）.A. B.C.D.5.（2019 广东理 4）若实数满意则曲线与曲线的（）.A.焦距相等 B.实半轴长相等 C. 虚半轴长相等D.离心率相等6.（2019 北京理 11）设双曲线经过点，且
2、与具有一样渐近线，则的方程为_；渐近线方程为_.7.（2019福建理3）若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（）.A11B9 C5D37解析由双曲线定义得，即，得故选B8.（2019广东理7）已知双曲线的离心率，且其右焦点为，则双曲线的方程为（）.ABCD8解析因为所求双曲线的右焦点为，且离心率为，所以，所以，所以所求双曲线方程为.故选C9.（2019天津理6）已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）.ABCD9解析双曲线的渐近线方程为，由点在渐近线上，所以，双曲线的一个焦点在抛物线准线方程上，所以，由此可解得，所以双曲线方程为.故选D.
3、10.（2019江苏3）在平面直角坐标系中，双曲线的焦距是10.解析，故焦距为11.（2019全国乙理5）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的间隔 为，则的取值范围是（）.A. B. C. D.11. A 解析由表示双曲线，则，得，所以焦距，得，因此.故选A.12.（2019天津理6）已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于，四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为（）.A. B. C. D.12. D 解析依据对称性，不妨设在第一象限，联立，得.所以，得.故双曲线的方程为.故选D.13.（2019北京理13）双曲线的渐近线为正方形的边，所在的直线，点为
4、该双曲线的焦点.若正方形的边长为，则_.13.解析可得双曲线C的渐近线方程为，所以.再由正方形的边长为，得其对角线的长，所以，解得.14.（2019北京理9）若双曲线的离心率为，则实数_.14. 解析由题知，则.15.（2019天津理5）已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过点和点两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）.A.B.C.D.15.解析由题意得，所以.又因为，所以，则双曲线方程为.故选B.16.（2019全国3卷理科5）已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为（）.ABCD16解析因为双曲线的一条渐近线方程为，则又因为椭圆与双曲线有公共焦点，易知
5、，则由,，解得，则双曲线的方程为.故选B.题型117 双曲线的渐近线1.（2019江苏3）双曲线的两条渐近线的方程为.2（2019四川理6）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的间隔 是（ ）A. B. C. D.3. (2019福建理3）双曲线的顶点到渐近线的间隔 等于（ ）.A. B. C. D.4.（2019 新课标1理4）已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的间隔 为（）.A. B. C. D. 5.（2019 山东理 10）已知,椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（ ）.A. B. C. D.6.（2019 北京理 11）设双曲线经过点，且与具有一样渐近
6、线，则的方程为_；渐近线方程为_.7.（2019安徽理4）下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（）.ABCD7. 解析由题可得选项A，C的渐近线方程都为，但选项A的焦点在轴上故选C8.（2019北京理10）已知双曲线的一条渐近线为，则8.解析依题意，双曲线的渐近线方程为，则，得.9.（2019江苏12）在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点若点到直线的间隔 大于恒成立，则实数的最大值为9. 解析找到到直线的最小间隔 （或取不到），该值即为实数的最大值由双曲线的渐近线为，易知与平行，因此该两平行线间的间隔 即为最小间隔 （且无法到达），故实数的最大值为10.（2019四川理5）过双曲
7、线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于两点，则（）.A. B. C. 6D. 10. 解析由题意可得，故.所以渐近线的方程为.将代入渐近线方程，得.则.故选D.11.（2019浙江理9）双曲线的焦距是，渐近线方程是11.解析因为，所以焦距是，渐近线方程为.12.（2019重庆理10）设双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于，两点，过，分别作，的垂线，两垂线交于点.若到直线的间隔 小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是A. B. C. D. 12. 解析依据题意知点肯定在轴上，所以点到直线的间隔 为，由图知，又因为，所以，解出，所以，依据实际状况，所以故选A13.（
8、2019上海理21（1）双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于，两点.若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；13.解析（1）由已知，不妨取，则，由题意，又，所以，即，解得，因此渐近线方程为14.（2019江苏08）在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点，其焦点是，则四边形的面积是14.解析双曲线的渐近线方程为，而右准线为，所以，从而故填15.（2019山东理14）.在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为.15. 解析设，由题意得.又，所以，从而双曲线的渐近线方程为.题型118 双曲线离心率的值及取值范围1
9、(2019湖南理14）设是双曲线的两个焦点，是上一点，若 且的最小内角为，则的离心率为_.2.（2019浙江理9）如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是，在第二.四象限的公共点.若四边形为矩形，则的离心率是A. B. C. D.3（2019湖北理5）已知，则双曲线与的（ ）. A 实轴长相等 B虚轴长相等 C焦距相等 D离心率相等4.（2019 重庆理 8）设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，则该双曲线的离心率为（）.A. B. C. D. 5.（2019 湖北理 9）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）.A. B.
10、 C.3 D.26.（2019 浙江理 14）设直线与双曲线两条渐近线分别交于点，若点满意，则该双曲线的离心率是_.7.（2019湖北理8）将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（） A对随意的，B当时，；当时， C对随意的，D当时，；当时，7解析由题意，当时，；当时，.故选D.命题意图 考察双曲线的有关概念、性质及比拟实数大小的根本方法8.（2019湖南理13）设是双曲线的一个焦点，若上存在点，使线段的中点恰为其虚轴的一个端点，则的离心率为.8. 解析依据对称性，不妨设，短轴端点为，从而可知点在双曲线上，所以.9.（2019全国II理11）已知为双
11、曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为（）A. B. C. D. 9. 解析设双曲线方程为，如图所示，由，则过点作轴，垂足为，在中，故点的坐标为，代入双曲线方程可得，即有，所以.故选D命题意图在圆锥曲线的考察中，双曲线常常以选择或填空题的形式出现.一般抓住其定义和性质可以求解.本题中要充分利用顶角为的等腰三角形的性质来求解.10.(2019山东理15)平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点. 若的垂心为的焦点，则的离心率为.10.解析由题意，可设所在直线方程为，则所在直线方程为，联立，解得，而抛物线的焦点为的垂心，所以，所以，所以，所以，所以11.（2019山东
12、理13）已知双曲线，若矩形的四个顶点在上，的中点为的两个焦点，且，则的离心率是_.11.解析由题意，又因为，则，于是点在双曲线上，代入方程，得，再由得的离心率为.12.（2019全国甲理11）已知，是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，与轴垂直，则E的离心率为（）.A. B. C. D.212. A 解析离心率，因为，所以.故选A13.（2019四川理19）已知数列的首项为，为数列的前项和，其中， .（1）若，成等差数列，求的通项公式；(2)设双曲线的离心率为，且，证明：.13.解析（1）由已知得，两式相减得到，.又由得到，故对全部都成立.所以，数列是首项为，公比为的等比数列.从而.由，成等差
13、数列，可得，即，则.又，所以.所以.（2）由（1）可知，.所以双曲线的离心率.由，解得.因为，所以.于是，故.14.（2107全国2卷理科9）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）.A2 B C D14解析取渐近线，化成一般式，圆心到直线的间隔 为，得，故选A.15.（2019全国1卷理科15）已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点.若，则的离心率为_.15. 解析如图所示，.因为，所以，从而.又因为，所以，解得，则.题型119 双曲线的焦点三角形1.（2019 大纲理 9）已知双曲线的离心率为，焦点为，点在上，若，则（）.A B C D