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1、第四讲 因式分解【根底学问回忆】一、因式分解的定义：（ ）1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。（ ）2、因式分解与整式乘法是 运算，即：多项式 整式的积【名师提示：推断一个运算是否是因式分解或推断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为 的形式。】二、因式分解常用方法：1、提公因式法： 公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。 提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。【名师提示：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取系数的 ，一样字母的 。2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为 ，不能漏掉。3、提公因式过程
2、中仍旧要留意符号问题，特殊是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，留意括号内各项都要 。】2、运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进展因式分解，这种方法叫做公式法。平方差公式：a2-b2= , 完全平方公式：a22ab+b2= 。【名师提示：1、运用公式法进展因式分解要特殊驾驭两个公式的形式特点，找准里面的a与b。如：x2-x+符合完全平方公式形式，而x2- x+就不符合该公式的形式。】三、因式分解的一般步骤1、 一提：假如多项式的各项有公因式，那么要先 。 2、 二用：假如各项没有公因式，那么可以尝试运用 法来分解。3、 三查：分解因式必需进展到每一个因式都不能再分解为止
3、。 【名师提示：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时要特殊留意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】【重点考点例析】 考点一：因式分解的概念例1 （2013株洲）多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m= 6，n= 1思路分析：将（x+5）（x+n）绽开，得到，使得x2+（n+5）x+5n与x2+mx+5的系数对应相等即可解：（x+5）（x+n）=x2+（n+5）x+5n，x2+mx+5=x2+（n+5）x+5n，故答案为6，1点评：本题考察了因式分解的意义，使得系数对应相等即可对应训练1（2013河北）下列等式从左到右的变形
4、，属于因式分解的是（）Aa（x-y）=ax-ayBx2+2x+1=x（x+2）+1C（x+1）（x+3）=x2+4x+3Dx3-x=x（x+1）（x-1）1D考点二：因式分解例2 （2013无锡）分解因式：2x2-4x= 2x（x-2）思路分析：首先找出多项式的公因式2x，然后提取公因式法因式分解即可解：2x2-4x=2x（x-2）故答案为：2x（x-2）点评：此题主要考察了提公因式法分解因式，关键是驾驭找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的一样的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取一样的多项式，多项式的次数取最低的例3 （2013南昌）下列
5、因式分解正确的是（）Ax2-xy+x=x（x-y）Ba3-2a2b+ab2=a（a-b）2Cx2-2x+4=（x-1）2+3Dax2-9=a（x+3）（x-3）思路分析：利用提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式进展分解即可得到答案解：A、x2-xy+x=x（x-y+1），故此选项错误；B、a3-2a2b+ab2=a（a-b）2，故此选项正确；C、x2-2x+4=（x-1）2+3，不是因式分解，故此选项错误；D、ax2-9，无法因式分解，故此选项错误故选：B点评：此题主要考察了公式法和提公因式法分解因式，关键是留意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶例
6、4 （2013湖州）因式分解：mx2-my2思路分析：先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式接着分解解：mx2-my2，=m（x2-y2），=m（x+y）（x-y）点评：本题考察了用提公因式法和公式法进展因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进展因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止其他方法进展因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止对应训练2（2013温州）因式分解：m2-5m= m（m-5）2m（m-5）3（2013西宁）下列分解因式正确的是（）A3x2-6x=x（3x-6）B-a2+b2=（b+a）（b-a）C4x2-y2=（4x+y）（4x-
7、y）D4x2-2xy+y2=（2x-y）23B4（2013北京）分解因式：ab2-4ab+4a= a（b-2）24a（b-2）2考点三：因式分解的应用例5 （2013宝应县一模）已知a+b=2，则a2-b2+4b的值为 4思路分析：把所给式子整理为含（a+b）的式子的形式，再代入求值即可解：a+b=2，a2-b2+4b=（a+b）（a-b）+4b=2（a-b）+4b=2a+2b=2（a+b）=22=4故答案为：4点评：本题考察了利用平方差公式分解因式，利用平方差公式和提公因式法整理出a+b的形式是求解本题的关键，同时还隐含了整体代入的数学思想对应训练5（2013鹰潭模拟）已知ab=2，a-b=
8、3，则a3b-2a2b2+ab3= 18518【聚焦山东中考】1（2013临沂）分解因式4x-x2= x（4-x）1x（4-x）2（2013滨州）分解因式：5x2-20= 5（x+2）（x-2）25（x+2）（x-2）3（2013泰安）分解因式：m3-4m= m（m-2）（m+2）3m（m-2）（m+2）4（2013莱芜）分解因式：2m3-8m= 2m（m+2）（m-2）42m（m+2）（m-2）5（2013东营）分解因式：2a2-8b2= 2（a-2b）（a+2b）52（a-2b）（a+2b）6（2013烟台）分解因式：a2b-4b3= b（a+2b）（a-2b）6b（a+2b）（a-2b）
9、7（2013威海）分解因式：-3x2+2x-= （3x-1）278（2013菏泽）分解因式：3a2-12ab+12b2= 3（a-2b）283（a-2b）2【备考真题过关】一、选择题1（2013张家界）下列各式中能用完全平方公式进展因式分解的是（）Ax2+x+1Bx2+2x-1Cx2-1Dx2-6x+91D2（2013佛山）分解因式a3-a的结果是（）Aa（a2-1）Ba（a-1）2Ca（a+1）（a-1）D（a2+a）（a-1）2C3（2013恩施州）把x2y-2y2x+y3分解因式正确的是（）Ay（x2-2xy+y2）Bx2y-y2（2x-y）Cy（x-y）2Dy（x+y）23C二、填空题
10、4（2013自贡）多项式ax2-a与多项式x2-2x+1的公因式是 x-14x-15（2013太原）分解因式：a2-2a= a（a-2）5a（a-2）6（2013广州）分解因式：x2+xy= x（x+y）6x（x+y）7（2013盐城）因式分解：a2-9= （a+3）（a-3）7（a+3）（a-3）8（2013厦门）x2-4x+4=（ x-2）28x-29（2013绍兴）分解因式：x2-y2= （x+y）（x-y）9（x+y）（x-y）10（2013邵阳）因式分解：x2-9y2= （x+3y）（x-3y）11（x+3y）（x-3y）12（2013南充）分解因式：x2-4（x-1）= （x-2）
11、212（x-2）213（2013遵义）分解因式：x3-x= x（x+1）（x-1）13x（x+1）（x-1）14（2013舟山）因式分解：ab2-a= a（b+1）（b-1）14a（b+1）（b-1）15（2013宜宾）分解因式：am2-4an2= a（m+2n）（m-2n）15a（m+2n）（m-2n）16（2013绵阳）因式分解：x2y4-x4y2= x2y2（y-x）（y+x）16x2y2（y-x）（y+x）17（2013内江）若m2-n2=6，且m-n=2，则m+n= 317318（2013廊坊一模）已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为 24182419（2013凉山州）已知（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b= -3119-31