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1、2012年绵阳中学自主招生数学试题一、选择题：（每小题4分，共60分）1.将一副三角板按图中的方式叠放，则=( )A.30 B.45 C.60 D.752.已知x、y为实数，且+(y+2)2=0，则yx=( )A.4 B.4 C.8 D.83.如图，已知AD为ABC的角平分线，DEAB交AC于E，若 = ，则 = （ ）A. B. C. D. 4已知a= ，则 的值为( )A. B. + C. D. +5.若一个直角三角形的斜边长为c，内切圆半径为r，则内切圆的面积与三角形的面积之比为（ ）A. B. C. D. 6.将甲、乙、丙3人等可能地安排到3个房间中去，则每个房间恰有1人的概率为（ ）
2、A. B. C. D.7.如图，抛物线y=ax2与反比例函数y= 的图像交于点P，若P的横坐标为1，则关于x的不等式ax2+0的解为( )A.x1 B.0x1 C.x1 D.1xx2,则 +3x22的值为（ ）A.(40385) B. (40385) C.95 D. 10.已知a、b、c分别是ABC的三边且对于f(x)=x3-3b2x+2c3有f(a)=f(b)=0,那么ABC是（ ）A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形11.某公司第二季度的消费产值比第一季度增长了p%，第三季度的消费产值又比第二季度增长了p%,则第三季度的消费产值比第一季度增长了（ ）A.2p%
3、B.1+2p% C.(1+p%)p% D.(2+ p%)p%12.假如对于随意的实数a、b都有f(a+b)=f(a)+f(b)且f(1)=2，则 + + + + 的值是（ ） A.1005 B.1006 C.2012 D.201013若a、b是非零实数，且+ b=3, b+ a3=0同时成立，那么a+b=( )A.4 B. C. D.314.已知四个半圆彼此相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上，并且与直线y = x相切，设半圆c1、c2、c3、c4的半径分别是r1、r2、r3、r4,则当r1=1时r4=（ ）A.3 B.32 C. 33 D. 34 15.在一列数x1、x2、x3中，已知x1=
4、1且当k2(k为正整数)时，xk= xk1 + 14()(取整符号a表示不超过实数a的最大整数，如1.2=2, 0.5= 0, 1.4=1),则x2012的值为( )A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题(每小题4分，共20分)16已知圆锥的底面直径是4cm，侧面上的母线长为3cm,则它的侧面面积为 cm2.17.已知圆O1与O2两圆内含，O1O2 =3，圆O1的半径为5，那么O2的半径r的取值范围是 .18.若y = + 的最大值为a，最小值为b，则a2+b2的值为 19.把边长分别为2、3、5的正方形如图所示地排列，则图中阴影局部的面积是 20.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a0
5、)的图像过点（1，2），且与x轴交点的横坐标为x1、x2，其中2 x1-1,0 x20 ,4a2b+c4ac,当x0时，函数值随x的增长而削减，当x1xx2时，则y 0.其中正确的是 三、解答题（6小题，共70分）21（本小题满分10分）（1）已知实数a0,计算（cos60)1()2012+(cot30)0(2)已知实数x满意x2x1=0，求( )的值.22.（本小题满分10分）已知ABC中，AB=AC，D是ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点A重合）延长BD到E。（1）求证：AD的延长线平分CDE；（2）若BAC=30，ABC中BC边上的高为2+.求ABC的外接圆的面积。23（本小题满分12分
6、）某大公司“五一”节慰问公司全体职工，确定到一果园一次性选购一种水果，其选购价y(元/吨)与选购量x(吨)之间的关系如图中折线ABC（不包括端点A，但包括端点C）。（1）求y与x之间的函数关系。（2）若果园种植该水果的本钱是2800元/吨，那么公司本次选购量为多少时，果园在这次买卖所获利润最大？最大利润是多少？24. （本小题满分12分）甲乙两位同学在学习概率时，做掷骰子的试验。他们共做了60次试验，试验结果如下表：朝上的点数123456朝下的点数79682010(1)试计算“2点朝上”的频率和计算“5点朝上”的频率；(2)某同学说：“依据试验结果，一次试验中出现5点朝上的概率最大”。这位同学
7、的说法正确吗？为什么？(3) 甲乙两位同学各投掷一枚骰子，用列举法或画树状图的方法，求出两枚骰子朝上的总数之和为3的倍数的概率。25（本小题满分12分），如图，已知ABC中，C=90，AC=BC，AB=6，O是BC边上的中点，N是AB边上的点（不与端点重合），M是OB边上的点，且MNAO，延长CA与直线MN相交于点D，G点是AB延长线上的点，且BG=AN，连接MG，设AN=x，BM=y（1）求y关于x的函数关系式及其定义域；（2）连接CN，当以DN为半径的D和以MG为半径的M外切时，求ACN的正切值；（3）当ADN与MBG相像时，求AN的长26（本小题满分14分）已知二次函数y= x2 x 1
8、0的图象（抛物线）与x轴的交点为A，与y轴的交点为B。过点B作x轴的平行线BC，交抛物线与点C，连结AC。现有两动点P、Q，分别从O、C两点同时动身，点P以每秒4个单位的速度沿着OA向终点A挪动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B挪动。当点P停顿时，点Q同时停顿。线段OC与PQ相交于点D，过作DEOA交CA于点E，射线QE交x轴于点F。设动点P，Q挪动的时间为t(单位：秒)(1)求A、B、C三点坐标和抛物线顶点的坐标。(2)当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？（写出计算过程）(3)当0t 时，PQF的面积是否为定值？若不是，请说明理由。当t为何值时，PQF为等腰三角形？请写出解答过程。
9、一、选择题题号123456789101112131415答案DCBCCBDCADDCACA二、填空题16 6； 17 0r2或r8； 18； 19； 20三、解答题21（1）2 （2）122. 解：（）如图，设F为AD延长线上一点A，B，C，D四点共圆，CDF=ABC又AB=ACABC=ACB，且ADB=ACB，ADB=CDF，对顶角EDF=ADB，故EDF=CDF，即AD的延长线平分CDE（）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，则AHBC连接OC，由题意OAC=OCA=15，ACB=75，OCH=60设圆半径为r，则r+r=2+，a得r=2，外接圆的面积为4故答案为423. 解：（1）当0
10、x20时，y=8000，当20x40时，设y=kx+b，将点（20，8000）、（40，4000）代入可得：，解得：，故此时y=200x+12000，综上可得y=；（2）当0x20时，w利润=（80002800）x=5200x，当x=20时，w获得最大，w最大=104000元；当20x40时，w利润=（200x+120002800）x=200x2+9200x=200（x23）2+105800，当x=23时，w利润获得最大，w最大=105800元；综上可得公司本次选购量为23吨时，果园在这次买卖中所获利润最大，最大利润是105800元24. 解：（1）“2点朝上”的频率为： ； “5点朝上”的频
11、率为：；（2）说法不正确，因为“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事务发生的概率最大，只有当试验的次数足够大时，该事务发生的频率稳定在事务发生的概率旁边。（3）列表得：123456123456723456783456789456789105678910116789101112一共有36种状况，两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的有12种状况；两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率是=25. 解：（1），（2分），是边上的中点，（1分），.（2分）（2）以为半径的和以为半径的外切，又，（1分）， 又，又， ，（1分）， （1分），是边上的中点，（1分） ，（1分）（3），当与相像时，若
12、时，过点作，垂足为点.，（1分）又，.（1分）若时，过点作，垂足为点.，（1分）又，.（1分）综上所述，当与相像时，的长为2或.26. 解：（1）y=（x28x180），令y=0，得x28x180=0，即（x18）（x+10）=0，x=18或x=10A（18，0）在y=x2x10中，令x=0得y=10，即B（0，10）由于BCOA，故点C的纵坐标为10，由10=x2x10得，x=8或x=0，即C（8，10）且易求出顶点坐标为（4，），于是，A（18，0），B（0，10），C（8，10），顶点坐标为（4，）；（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QCPA故只要QC=PA即可，而PA=184t，
13、CQ=t，故184t=t得t=；（3）设点P运动t秒，则OP=4t，CQ=t，0t4.5，说明P在线段OA上，且不与点OA、重合，由于QCOP知QDCPDO，故AF=4t=OPPF=PA+AF=PA+OP=18又点Q到直线PF的间隔 d=10，SPQF=PFd=1810=90，于是PQF的面积总为90；（4）设点P运动了t秒，则P（4t，0），F（18+4t，0），Q（8t，10）t（0，4.5）PQ2=（4t8+t）2+102=（5t8）2+100FQ2=（18+4t8+t）2+102=（5t+10）2+100若FP=FQ，则182=（5t+10）2+100即25（t+2）2=224，（t+2）2=0t4.5，2t+26.5，t+2=t=2，若QP=QF，则（5t8）2+100=（5t+10）2+100即（5t8）2=（5t+10）2，无0t4.5的t满意若PQ=PF，则（5t8）2+100=182即（5t8）2=224，由于15，又05t22.5，85t814.5，而14.52=（）2=224故无0t4.5的t满意此方程注：也可解出t=0或t= 4.5均不合题意，故无0t4.5的t满意此方程综上所述，当t=2时，PQF为等腰三角形