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1、姓名 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线_ _ 诚信应考,考试作弊将带来严峻后果！ 华南理工高校2011年期末考试试卷（A）卷弹性力学留意事项：1. 考前请将密封线内各项信息填写清晰； 2. 全部答案请干脆答在答题纸上； 3考试形式：闭卷； 4. 本试卷共三大题，满分100分，考试时间120分钟。题 号一二三总分得 分评卷人一、简答题（共20分）1、五个根本假定在建立弹性力学根本方程时有什么用处？(10分)答：1、连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变与位移等物理量就可以看成是连续的，因此，建立弹性力学的根本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变更
2、规律。 (2分)2、完全弹性假定：引用这一完全弹性的假定还包含形变与形变引起的正应力成正比的含义，亦即二者成线性的关系，符合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。 （4分）3、匀整性假定：在该假定下，所探讨的物体内部各点的物理性质明显都是一样的。因此，反映这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E与泊松比等）就不随位置坐标而变更。 （6分）4、各向同性假定：所谓“各向同性”是指物体的物理性质在各个方向上都是一样的。进一步地说，就是物体的弹性常数也不随方向而变更。 （8分）5、小变形假定：我们探讨物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的变更而照旧依据原来的尺寸与形态进展计算。同时，在探讨物体的变形
3、与位移时，可以将他们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性微分方程。 在上述假定下，弹性力学问题都化为线性问题，从而可以应用叠加原理。 （10分）2、试分析简支梁受均布荷载时，平面截面假设是否成立？（5分）解：弹性力学解答与材料力学解答的差异，是由于各自解法不同。简言之，弹性力学的解法，是严格考虑区域内的平衡微分方程，几何方程与物理方程，以及边界上的边界条件而求解的，因此得出的解答是比拟准确的。而在材料力学中没有严格考虑上述条件，因此得出的是近似解答。例如，材料力学中引用了平面假设而简化了几何关系，但这个假设对一般的梁是近似的。所以，严格来说，不成立。3、为什么在主要边界
4、（占边界绝大部分）上必需满意准确的应力边界条件，教材中式（2-15），而在次要边界（占边界很小部分）上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代替？假设在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替教材中式（2-15），将会发生什么问题？（5分）解：弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要边界条件完全得到满意，往往遇到很大的困难。这时，圣维南原理可为简化部分边界上的应力边界条件供应很大的便利。将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均一样），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以无视不计。假设在占边界绝大部分的主要边界上用三个应力边
5、界条件来代替准确的边界条件。教材中式（2-15），就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答具有的近似性。三、计算题（80分）2.1 已知薄板有下列形变关系：式中A,B,C,D皆为常数，试检查在形变过程中是否符合连续条件，若满意并列出应力重量表达式。（10分）1、 相容条件：将形变重量带入形变协调方程（相容方程）其中 所以满意相容方程，符合连续性条件。 （4分）2、 在平面应力问题中，用形变重量表示的应力重量为 （10分）2.2如图所示水坝，试写出其边界条件。（10分）左侧面： （2分）由应力边界条件公式，有 （4分） （6分）右侧面： （8分） （10分）2.3 图示悬臂梁，梁的横截面为矩
6、形，其长度为L,宽度取为1，高度为2h,右端固定、左端自由，荷载分布在其右端上，其合力为P（不计体力），求梁的应力重量。（20分）解：这是一个平面应力问题，承受半逆解法求解。（1）选取应力函数。由材料力学可知，悬臂梁任一截面上的弯矩方程M（x）与截面位置坐标x成正比，而该截面上某点处的正应力又与该点的坐标y成正比，因此可设x=1xy (a) (3分)式中1的为待定常数。将式（a）对y积分两次，得=16xy3+yf1x+f2(x) (b)式中的f1x，f2(x)为x的待定函数，可由相容方程确定。将式（b）代入相容方程4=0， 得 d4f1(x)dx4y+d4f2(x)dx4=0 （5分）上式是y
7、的一次方程，梁内全部的y值都应是满意它，可见它的系数与自由项都必需为零，即d4f1(x)dx4=0，d4f2(x)dx4=0积分上二式，得f1x=2x3+3x2+4x+5f2x=6x3+7x2+8x+9式中2-9为待定的积分常数。将f1x，f2x代入式（b），得应力函数为=16xy3+2x3+3x2+4x+5y+6x3+7x2+8x+9.(c) （8分）(2)应力重量的表达式 x=1xy,y=62y+6x+23y+7 xy=-121y2-32x2-23x-4 （10分）(3)考察应力边界条件：以确定各系数，自由端无程度力；上、下部无荷载；自由端的剪力之与为P，得边界条件xx=0=0 ,自然满意
8、；xyy=h=0 ,得-1h22-32x2-23x-4=0; （12分）上式对x的任何值均应满意，因此得2=3=0，-1h22-4=0，即4=-1h22 （14分）yy=h=0，得66x+27=0X取任何值均应满意，因此得6=7=0. （16分）-hhxyx=0dy=-hh-121y2-1dy=-p将式（e）代入上式积分，得-hh121y2-121h2dy=p计算得 1=-3P2h3=-PIz, 1=-121h2=12PIzh2 （18分）其中Iz=12h312=2h3/3,横截面对Z轴的惯性矩。最终得应力重量为 x=-PIxxy,y=0 xy=-P2Ixh2-y2 （20分）2.4 如题下图
9、所示的悬臂梁，长度为l，高度为h, lh,在上边界受均布荷载q，试检验应力函数=Ay5+Bx2y3+Cy3+Dx2+Ex2y能否成为此问题的解？如可以，试求出应力重量。 （10分）解 （1）相容条件将=Ay5+Bx2y3+Cy3+Dx2+Ex2y代入相容方程，得120Ay+24By=0，若满意相容方程，有A=-15B （a) （2分） (2)应力重量表达式x=2y2=20Ay3-30Ax2y+6Cyy=2x2=-10Ay3+2D+2Eyxy=-2xy=30Axy2-2Ex （4分）(3)考察边界条件;主要边界y=h/2上，应准确满意应力边界条件yy=h2=0, 得-108Ah3+2D+Eh=0
10、 byy=-h2=0, 得108Ah3+2D-Eh=-q c yxy=h2=0,得E-154Ah2=0 d（6分）在次要边界上x=0上，主矢与主矩为零，应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件代替 -h/2h/2xx=0dy=0，满足条件 -h/2h/2yx=0ydy=0,得Ah52+Ch3=0 (e) -h/2h/2xyx=0dy=0,满足联立求解式（a）,(b),(c),(d)与（e），得A=q5h3,B=-qh3,C=-q10h,D=-q4,E=3q4h （8分）将各系数代入应力重量表达式，得x=qyh4y2h2-35-6x2h2y=-q21-3yh+4y3h3xy=-3q2xh1-4y
11、2h2 （10分）2.5楔形体在两侧面上受有均布剪力q,如下图所示，试求其应力重量。（10分）【解】（1）应用应力函数，进展求解。由应力函数得应力重量 （2分）（2）考察边界条件：依据对称性，得 （a） (b) (c) (d) （4分）同式（a）得 (e)同式（b）得 (f)同式（c）得 (g)同式（d）得 (h) （6分）式(e) 、(f) 、(g)、 (h)联立求解，得 （8分）将以上各系数代入应力重量，得 （10分）2.6 设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上力偶矩为M，如下图所示，试求应力重量。 （20分）【解】应用半逆解法求解。（1） 按量纲分析方法，单位宽度上的力偶矩与力的
12、量纲一样。应力应与有关，由于应力的量纲是单位面积上的力，即L-1MT-2，应力只能以形势组合。 （2分）（2） 应比应力的长度量纲高二次幂，可假设。（3） 将代入相容方程，得 （4分）删去因子，得一个关于的常微分方程。令其解为，代入上式，可得到一个关于的特征方程， （a）（6分）其解为，于是得到的四个解；前两项又可以组合为正弦、余弦函数。由此得 (b)(8分)本题中构造对称于的x轴，而M是反对称荷载，因此，应力应反对称于x轴，为的奇函数，从而得A=D=0。 （c）（10分）（4）由应力函数得应力重量的表达式 （12分）（5）考察边界条件。由于原点O有集中力偶作用，应分别考察大边界上的条件与原点旁边的条件。在的边界上，有前一式自然满意，而第二式成为 2B=C (d) （14分）为了考虑原点O旁边有集中力偶的作用，取出以O为中心，为半径的一小部分脱离体，并列出其平衡条件 （16分）上式中前两式自然满意，而第三式成为 (e)将式(e)代入式(d)，得 （18分）将各系数代入应力重量的表达式，得 （20分）第 6 页