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1、2010年全国高中数学联赛一 试一、填空题（每小题8分，共64分，）1. 函数的值域是 .2. 已知函数的最小值为，则实数的取值范围是 .3. 双曲线的右半支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 .4. 已知是公差不为的等差数列，是等比数列，其中，且存在常数使得对每一个正整数都有，则 .5. 函数 在区间上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 .6. 两人轮番投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .7. 正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角,则 .8. 方程满意的正整数解（x,y,z）
2、的个数是 . 二、解答题（本题满分56分）9. （16分）已知函数，当时，试求的最大值. 10.（20分）已知抛物线上的两个动点，其中且.线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值. 11.（20分）证明：方程恰有一个实数根，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得 .解 答1. 提示：易知的定义域是，且在上是增函数，从而可知的值域为.2. 提示：令，则原函数化为，即 EMBED Equation.3 .由， 及 知 即 . （1）当时（1）总成立；对；对.从而可知 .3. 9800 提示：由对称性知，只要先考虑轴上方的状况，设与双曲线右半支于,交直线于，则线段内部的整点的个数为，从而在轴上方区域
3、内部整点的个数为.又轴上有98个整点，所以所求整点的个数为.4. 提示 ：设的公差为的公比为，则 （1）， （2）（1）代入（2）得，求得.从而有 对一切正整数都成立，即 对一切正整数都成立.从而 ，求得 ，.5. 提示：令则原函数化为,在上是递增的.当时，,，所以 ；当 EMBED Equation.3 时，所以 .综上在上的最小值为.6. 提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为，从而先投掷人的获胜概率为 EMBED Equation.3 .7. 提示：解法一：如图，以所在直线为轴，线段中点为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则，从而，.设分别与平面、平面垂直
4、的向量是、，则由此可设 ，所以，即.所以 .解法二：如图， .设与交于点 则 .从而平面 .过在平面上作,垂足为.连结,则为二面角的平面角.设,则易求得.在直角中，,即 .又 .8. 336675 提示：首先易知的正整数解的个数为 .把满意的正整数解分为三类：（1）均相等的正整数解的个数明显为1；（2）中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设两两均不相等的正整数解为.易知 ，所以 ，即.从而满意的正整数解的个数为.9. 解法一： 由 得. 所以 ，所以. 又易知当（为常数）满意题设条件，所以最大值为. 解法二：. 设，则当时，. 设 ，则.简单知道当时，. 从而当时， ，
5、 即 ，从而 ,，由 知. 又易知当（为常数）满意题设条件，所以最大值为. 10. 解法一：设线段的中点为，则 ， .线段的垂直平分线的方程是. （1）易知是（1）的一个解，所以线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为. 由（1）知直线的方程为，即 . （2）（2）代入得，即. （3）依题意，是方程（3）的两个实根，且，所以,. . 定点到线段的间隔 . . 当且仅当，即,或时等号成立. 所以，面积的最大值为. 解法二：同解法一，线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为. 设，则的肯定值, ,所以, 当且仅当且，即 ,或时等号成立. 所以，面积的最大值是. 11.令，则，所以是严格递增
6、的.又，故有唯一实数根. 所以 ， EMBED Equation.3 .故数列是满意题设要求的数列. 若存在两个不同的正整数数列和满意，去掉上面等式两边一样的项，有，这里，全部的与都是不同的. 不妨设，则，冲突.故满意题设的数列是唯一的. 加 试1. （40分）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M求证：若OKMN，则A，B，D，C四点共圆2. （40分）设k是给定的正整数，记， EMBED Equation.DSMT4 证明：存在正整数m，使得为一个整数这里，表示不小于实数x的最小整数，
7、例如：，3. （50分）给定整数，设正实数满意，记求证： 4. （50分）一种密码锁的密码设置是在正n边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得随意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个一样问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？解 答1. 用反证法若A，B，D，C不四点共圆，设三角形ABC的外接圆与AD交于点E，连接BE并延长交直线AN于点Q，连接CE并延长交直线AM于点P，连接PQ因为P的幂（关于O）K的幂（关于O） ，同理 ，所以 ，故 由题设，OKMN，所以PQMN，于是 由梅内劳斯（Menelaus）定理，得， 由，可得， 所以，故DMN
8、DCB，于是，所以BCMN，故OKBC，即K为BC的中点，冲突！从而四点共圆. 注1：“P的幂（关于O）K的幂（关于O）”的证明：延长PK至点F，使得， 则P，E，F，A四点共圆，故，从而E，C，F，K四点共圆，于是， -，得 EMBED Equation.DSMT4 P的幂（关于O）K的幂（关于O） 注2：若点E在线段AD的延长线上，完全类似2. 记表示正整数n所含的2的幂次则当时，为整数下面我们对 EMBED Equation.DSMT4 用数学归纳法当时，k为奇数，为偶数，此时为整数 假设命题对成立对于，设k的二进制表示具有形式，这里，或者1， 于是 ， 这里. 明显中所含的2的幂次为故
9、由归纳假设知，经过f的v次迭代得到整数，由知，是一个整数，这就完成了归纳证明 3. 由知，对，有 留意到当时，有，于是对，有 ， 故 EMBED Equation.DSMT4 4. 对于该种密码锁的一种密码设置，假如相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a，假如颜色不同，则标上b，假如数字和颜色都一样，则标上c于是对于给定的点上的设置（共有4种），根据边上的字母可以依次确定点上的设置为了使得最终回到时的设置与初始时一样，标有a和b的边都是偶数条所以这种密码锁的全部不同的密码设置方法数等于在边上标记a，b，c，使得标有a和b的边都是偶数条的方法数的4倍 设标有a的边有条，标有b的边有条，选取条边标记a的有种方法，在余下的边中取出条边标记b的有种方法，其余的边标记c由乘法原理，此时共有 EMBED Equation.DSMT4 种标记方法对i，j求和，密码锁的全部不同的密码设置方法数为 这里我们约定 当n为奇数时，此时 代入式中，得 当n为偶数时，若，则式仍旧成立；若，则正n边形的全部边都标记a，此时只有一种标记方法于是，当n为偶数时，全部不同的密码设置的方法数为 EMBED Equation.DSMT4 综上所述，这种密码锁的全部不同的密码设置方法数是：当n为奇数时有种；当n为偶数时有种