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1、课题: 111正弦定理如图11-1，固定ABC的边CB及B，使边AC围着顶点C转动。 思索：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来讨论直角三角形中，角与边的等式关系。从而在直角三角形ABC中，思索：那么对于随意的三角形，以上关系式是否仍旧成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种状况：如图11-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，依据随意角三角函数的定义，有CD=,则， C同理可得， b a从而 A c B 从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即理解定理（1）正弦定理说明同一
2、三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，；（2）等价于，从而知正弦定理的根本作用为：已知三角形的随意两角及其一边可以求其他边，如；已知三角形的随意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。例1在中，已知，cm，解三角形。例2在中，已知cm，cm，解三角形。 练习：已知ABC中，求练习：1.在中，已知，cm，解三角形。 2.在中，已知，cm，解三角形。 3.在中，已知cm，cm，解三角形。 4.在中，已知cm，cm，解三角形。补充：请试着推理出三角形面积公式（利用正弦）课题: 1.1.2余弦定理
3、 如图11-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和C，求边c 联络已经学过的学问和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发觉因A、B均未知，所以较难求边c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来讨论这个问题。 A如图11-5，设，那么，则 C B 从而 (图11-5)同理可证 于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 思索：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论：理解定理从而知余弦定理及其推论的根本作用为：已知三
4、角形的随意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角。思索：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？若ABC中，C=，则，这时由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。例1在ABC中，已知，求b及A练习：在ABC中，若，求角A。例1在ABC中，已知，讨论三角形解的状况分析：先由可进一步求出B；则从而1当A为钝角或直角时，必需才能有且只有一解；否则无解。2当A为锐角时，假如，那么只有一解；假如，那么可以分下面三种状况来讨论：（1）若，则有两解；（2）若，则只有一解；（3）
5、若，则无解。（以上解答过程详见课本第910页）评述：留意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且时，有两解；其它状况时则只有一解或无解。练习：（1）在ABC中，已知，试推断此三角形的解的状况。（2）在ABC中，若，则符合题意的b的值有_个。（3）在ABC中，假如利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。例2在ABC中，已知，推断ABC的类型。练习：（1）在ABC中，已知，推断ABC的类型。 （2）已知ABC满意条件，推断ABC的类型。 例3在ABC中，面积为，求的值练习：（1）在ABC中，若，且此三角形的面积，求角C（2）在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面
6、积，求角C作业（1） 在ABC中，已知，试推断此三角形的解的状况。（2） 设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，务实数x的取值范围。（3） 在ABC中，推断ABC的形态。（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程的根，求这个三角形的面积。2.2解三角形应用举例(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的间隔 ，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的间隔 是55m，BAC=，ACB=。求A、B两点的间隔 (准确到0.1m)变式练习：两灯塔A、B与海洋视察站C的间隔 都等于a km,灯塔A在视察站C的北偏东30，灯塔B在视察站C南偏东60，则
7、A、B之间的间隔 为多少？例3、AB是底部B不行到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。例4、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=50。已知铁塔BC局部的高为27.3 m,求出山高CD(准确到1 m)例3、在ABC中，求证：（1）（2）+=2（bccosA+cacosB+abcosC）变式练习1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S变式练习2：推断满意下列条件的三角形形态，（1） acosA = bcosB（2） sinC =附加例题：例1在中，已知，。试求最长边的长度。例2在中，已知，试推断此
8、角形的形态并求出最大角与最小角的和。解三角形归纳进步一、 学问点梳理：1、正弦定理：在ABC中，注：R表示ABC外接圆的半径 正弦定理可以变形成各种形式来运用2、余弦定理：在ABC中， 也可以写成第二种形式：，3、ABC的面积公式，二、题组训练：1、在ABC中， a=12，A=，要使三角形有两解，则对应b的取值范围为 2、断定下列三角形的形态在ABC中，已知，请推断ABC的形态。在ABC中，已知，请推断ABC的形态。在ABC中，已知，请推断ABC的形态。在ABC中，已知，请推断ABC的形态。在ABC中，请推断ABC的形态。3、在ABC中，已知，求ABC的面积。4、在ABC中，若ABC的面积为S，且，求tanC的值。5、在ABC中，已知，求ABC的面积。6、在ABC中，已知ABC的面积为，求边b的长。7、在ABC中，求证：2、在中，内角对边的边长分别是，已知，（）若的面积等于，求；（）若，求的面积3、设的内角所对的边长分别为，且，（）求边长；（）若的面积，求的周长2、在中， （）求的值；（）设的面积，求的长