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1、二次函数与几何综合典题题例1已知抛物线的顶点坐标为（3，-2），且与轴两交点间的距离为4，求其解析式。例2.已知二次函数的图像与轴交于不同的两点A, B，点A在点B 的左边，与轴交于点C，若AOC与BOC的面积之与为6，且这个二次函数的图像的顶点坐标为（2，-a），求这个二次函数的解析式。例3.已知二次函数的图像过点E（2，3），对称轴为1，它的图像与轴交于两点A。（1）求二次函数的解析式；（2）在（1）中抛物线上是否存在点P，使POA的面积等于EOB的面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。例4.如图，抛物线与轴, 轴分别相交于A（-1，0）, B（3，0）, C(0，3)三点，其
2、顶点为D。（1）求经过A, B, C三点的抛物线的解析式；（2）求四边形ABDC的面积；（3）试推断BCD与COA是否相像？若相像写出证明过程；若不相像请说明理由。例5：如图，已知抛物线的图像与X轴交于A, C两点。（1）若抛物线与关于轴对称，求的解析式；（2）若点B是抛物线上一动点（B不与A,C重合），以AC为对角线，A，B，C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点记为D，求证：点D在上；（3）探究：当点B分别位于在轴上, 下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值或最小值？若存在，推断它们是何种特别平行四边形并求出它的面积；若不存在，请说明理由。例6.如图，已知：，是方程的两个
3、实数根，且，抛物线的图像经过点A（，0）, B（0，）。（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D。试求出点C, D的坐标与BCD的面积；（3）P是线段OC上一点，过点P作PH轴，与抛物线交于H点，若直线BC把PCH分成面积之比为2：3的两部分，恳求出P点坐标。答案：1依据题意得：，。联立以上三式得：，。抛物线解析式为：。另解：由顶点坐标（3，-2）可知，对称轴为：，又与x轴两交点间的距离为4，两交点坐标分别为（1,0）, （5,0）。设表达式为，代入顶点坐标得：，解得：，。2.顶点坐标（2，-a）代入顶点坐标公式得：，（太好了，一箭三雕！），点A,
4、 点B的坐标分别为：（1,0）, （3,0），AB=2.这个二次函数的解析式为。3（1）由题意知：，又。联立式可得：，解析式为：（2）存在这样的点P。由（1）可知，点A的坐标为（），点B的坐标为（3，0），顶点坐标（1，4）。设点P的坐标为（t，），则POA的高为，底边OA=1。EOB的底边为3，高为3，EOB的面积=。令，94，=，解得：。点P的坐标为（，）或（，）.4（1）设抛物线的解析式为，代入点C的坐标（0，3）得：，解得：。解析式为。（2）由（1）可知，点D的坐标为（1,4）.作DEAB，垂足为E，则点E的坐标为（1,0）。四边形ABDC的面积=。（3）BCD与COA相像。理由如下：
5、由A, B, C, D四点的坐标可得：OA=1，CO=3，CA=；BC=，CD=，BD=。，BCDCOA。5（1）与关于x轴对称，。（2）设点B的坐标为（），四边形ABCD为平行四边形，点A, C关于原点O对称，点B与点D关于原点O对称，点D的坐标为（）。代入的表达式可知左边等于右边，点D在上。（3）点A, C是抛物线与x轴的交点，点A, C的坐标分别为（）与（2,0），AC=4. 平行四边形ABCD的面积=2ABC的面积=。当点B在x轴上方时，随的增大而增大，此时既没有最大值也没有最小值； 当点B在x轴下方时，且，随的增大而减小，有最大值没有最小值。当取最小值时，有最大值，最大值为16；此时
6、点B, D在轴上，ACBD，平行四边形ABCD是菱形。 综上所述，当点B在x轴下方时，平行四边形ABCD有最大面积16，此时的四边形为菱形。6（1）解方程得：，mn，点A, B的坐标分别为（1，0），（0，5）。把A, B的坐标代入得：解这个方程组，得，抛物线的解析式为。（2）由（1）知，点D的坐标为（），抛物线对称轴为直线，点C的坐标为（）。由点B, C的坐标可知直线BC的表达式为，过点D直线DE，交直线BC于点E（如图1），则点E的坐标为（），线段DE=6，BCD的面积=.（3）如图2，设点P的坐标为（t，0），则点H的坐标为（t，），若HP与直线BC交于点F，点F的坐标为（t，t+5）。若，则，即，解得：；若，则，解得：。综上所述，若直线BC把PCH分成面积之比为2：3的两部分，则点P的坐标为（）或（）第 5 页