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1、函数的单调性学问点及例题解析学问点一：根本概念（增减函数、增减区间、最大最小值）学问点二：函数单调性的断定方法（常用的）（1） 定义法（根本法）；取值：任取，且；作差：；变形：通常是因式分解或配方；定号：即推断差的正负；下结论：即指出函数在给定区间上的单调性.（2） 利用已知函数的单调性；（现所知道的一次函数，一元二次函数，反比例函数，可以画出图像的函数）利用函数的图像；，.（3） 根据一些常用结论及复合函数单调性的断定方法；两个增（减）函数的与仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；假设单调性一样，那么是增函数；假设单调性相反，那么是减函数.对于复合函数的单调
2、性，列出下表以助记忆.上述规律可概括为“同增，异减”学问点三：函数单调性的应用利用函数的单调性可以比拟函数值的大小；利用函数的单调性求参数的取值范围；附加：的单调性：增函数，减函数；的单调性：减区间；增区间；的单调性：，减区间，增区间；，增区间，减区间；在区间上是增（减）函数，则时，在上是增（减）函数；时则相反；若、是区间上的增（减）函数，则在区间上是增（减）函数；若且在区间上是增（减）函数，则在上是减（增）函数，在上是增（减）函数；1.函数y=x2+4x1的递增区间是什么？分析：根据二次函数的开口方向与对称轴可推断出在对称轴右侧单调递增解：函数y=x2+4x1的图象开口向上，对称轴为x=2，
3、y=x2+4x1在（，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增故答案为（2，+）2. 函数y=x26x+5在区间（0，5）上是（）A递增函数B递减函数C先递减后递增D先递增后递减分析：本题考察函数单调性的推断与证明，根据二次函数的图象与性质干脆进展求解即可解：y=x26x+5y=（x3）24，对称轴为x=3，根据函数y=x26x+5可知a=10，抛物线开口朝上，函数图象在（，3上单调递减，在（3，+）上单调递增，在函数在（0，5）上先递减后递增，故选C3.如图，已知函数y=f（x），y=g（x）的图象（包括端点），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，函数是增函数还是减函数分析：本题考
4、察函数单调性的性质，根据函数单调性与图象之间的关系进展求解即可解：（1）由图象知函数在2，1，0，1上为减函数，则-1，0，1，2上为增函数，即函数的单调递增区间为-1，0，1，2，函数单调递减区间为-2，-1，0，12） 由图象知函数在-3，-1.5，1.5，3上为减函数，则1.5，1.5上为增函数，即函数的单调递增区间为-3，-1.5，1.5，3，函数单调递减区间为1.5，1.54.已知函数f（x）=x22ax+1在（-，1上是减函数，务实数a的取值范围分析：如图，先求出对称轴方程，利用开口向上的二次函数在对称轴右边递增，左边递减，比拟区间端点与对称轴的大小即可解：因为开口向上的二次函数在
5、对称轴右边递增，左边递减；而其对称轴为x=a，又在（-，1上是减函数，故须a15.已知函数f（x）=x2+4（1a）x+1在1，+）上是增函数，求a的取值范围分析：通过二次函数的解析式视察开口方向，再求出其对称轴，根据单调性建立不等关系，求出a的范围即可解：函数f（x）=x2+4（1a）x+1是开口向上的二次函数，其对称轴为x=2（a1），根据二次函数的性质可知在对称轴右侧为单调增函数，所以2（a1）1，解得a1.56.若函数y=x2+2（a1）x+2在区间（，6）上递减，求a的取值范围分析：由f（x）在区间（，6上递减知：（，6为f（x）减区间的子集，由此得不等式，解出即可解：f（x）的单调
6、减区间为：（，1a，又f（x）在区间（，6上递减，所以（，6（，1a，则1a6，解得a5，所以a的取值范围是（，57.如图，分析函数y=|x+1|的单调性，并指出单调区间分析：去掉确定值，根据根本初等函数的图象与性质，即可得出函数y的单调性与单调区间解：函数y=|x+1|=；当x1时，y=x+1，是单调增函数，单调增区间是（0，+）；当x1时，y=x1，是单调减函数，单调减区间是（，0）8.求函数f（x）=x42x2+5在区间2，2上的最大值与最小值分析：本题考察二次函数在闭区间上的最值，菁令t=x2，可得0t4，根据二次函数g（t）=f（x）=x42x2+5=（t1）2+4 的对称轴为t=1
7、，再利用二次函数的性质求得函数g（t） 在区间0，4上的最值解：令t=x2，由2x2，可得0t4，由于二次函数g（t）=f（x）=x42x2+5=t22t+5=（t1）2+4 的对称轴为t=1，则函数g（t） 在区间0，4上的最大值是g（4）=13，最小值为 g（1）=4，故答案为 13，49.证明函数在2，+）上是增函数分析：本题考察的是函数单调性的推断与证明，在解答时要根据函数单调性的定义，先在所给的区间上任设两个数并规定大小，然后通过作差法即可分析获得两数对应函数值之间的大小关系，结合定义即可获得问题的解答证明：任取x1，x22，+），且x1x2，则f（x1）f（x2）=因为x1-x20
8、，+0，得f（x1）f（x2）所以函数在2，+）上是增函数10. 函数f（x）=，用定义证明函数的单调性并写出单调区间；求f（x）在3，5上最大值与最小值分析：分别常数得到f（x）=，根据反比例函数的单调性便可看出f（x）的单调递增区间为（，1），（1，+），根据单调性的定义证明：设随意的x1，x21，且x1x2，然后作差，通分，说明x1，x2（，1），或x1，x2（1，+）上时都有f（x1）f（x2），这样即可得出f（x）的单调区间；根据f（x）的单调性便知f（x）在3，5上单调递增，从而可以求出f（x）的值域，从而可以得出f（x）在3，5上的最大、最小值解：f（x）=2-；该函数的定义域为
9、x|x1，设x1，x2x|x1，且x1x2，则：f（x1）- f（x2）=-=；x1x2；x1x20；x1，x2（，1）时，x1+10，x2+10；x1，x2（1，+）时，x1+10，x2+10；（x1+1）（x2+1）0；f（x1）f（x2）；f（x）在（，1），（1，+）上单调递增，即f（x）的单调增区间为（，1），（1，+）；由上面知f（x）在3，5上单调递增；f（3）f（x）f（5）；74f（x）116；f（x）在3，5上的最大值为116，最小值为7411.已知f（x）+2f（）=3x（1）求f（x）的解析式及定义域；（2）指出f（x）的单调区间并加以证明解：（1）由f(x)+2f()
10、3x ，用代替x，得f()+2f(x) ；2-，得3f(x)-3x，所以f(x)-x（x0）（2） 由（1），f(x)-x（x0）其递减区间为（-，0）与（0，+），无增区间事实上，任取x1，x2（-，0）且x1x2，则f(x1)-f(x2)-x1-+x2-(x1-x2)(x2-x1) ，x1x20x2-x10，x1x20，2+x1x20，所以(x2-x1) 0，即f（x1）f（x2）故f（x）在（-，0）上递减同理可证其在（0，+）上也递减12.证明：f（x）=x+在（3，+）上是增函数，在（2，3上是减函数分析：利用函数单调性的定义证明证明：设随意的x1，x2（3，+），且x1x2，则f（
11、x1）f（x2）=（x1+）-（x2+）=（x1x2），x1，x2（3，+），且x1x2，x1x20，x121，x221，（x12）（x22）1，（x1x2）0，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），f（x）=x+在（3，+）上是增函数同理可证，f（x）=x+在（2，3上是减函数解 定义域为(，0)(0，)，任取定义域内两个值x1、x2，且x1x2当0x1x21或1x1x20时，有x1x210，x1x20，f(x1)f(x2)f(x)在(0，1，1，0)上为减函数当1x1x2或x1x21时，有x1x210，x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在(，1，1，)上为增函数根据上面探讨的单调区间的结果，又x0时，f(x)minf(1)2，当x0时，f(x)maxf(1)2由上述的单调区间及最值可大致画出图像。函数y|x22x3|的单调增区间是_【解析】y|x22x3|(x1)24|，作出该函数的图像(如图)由图像可知，其增区间为1,1与3，)第 - 7 - 页