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1、高中数学复习资料第一章 集合第一节 集合的含义、表示及根本关系A组1已知A1,2，Bx|xA，则集合A与B的关系为_解析：由集合Bx|xA知，B1,2答案：AB2若x|x2a，aR，则实数a的取值范围是_解析：由题意知，x2a有解，故a0.答案：a03已知集合Ay|yx22x1，xR，集合Bx|2x5，集合Bx|xa，若命题“xA”是命题“xB”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_解析：命题“xA”是命题“xB” 的充分不必要条件，AB，a5.答案：a0且b0；(2)a0且b0；(3)a0；(4)a0且b0，探讨得y3或y1.答案：3，12已知集合A1,3,2m1，集合B3，m2若BA，则
2、实数m_.解析：BA，明显m21且m23，故m22m1，即(m1)20，m1.答案：13设P，Q为两个非空实数集合，定义集合PQab|aP，bQ，若P0,2,5，Q1,2,6，则PQ中元素的个数是_个解析：依次分别取a0,2,5；b1,2,6，并分别求和，留意到集合元素的互异性，PQ1,2,6,3,4,8,7,11答案：84已知集合Mx|x21，集合Nx|ax1，若NM，那么a的值是_解析：Mx|x1或x1，NM，所以N时，a0；当a0时，x1或1，a1或1.答案：0,1，15满意1A1,2,3的集合A的个数是_个解析：A中肯定有元素1，所以A有1,2，1,3，1,2,3答案：36已知集合Ax
3、|xa，aZ，Bx|x，bZ，Cx|x，cZ，则A、B、C之间的关系是_解析：用列举法找寻规律答案：ABC7集合Ax|x|4，xR，Bx|x5”的_解析：结合数轴若ABa4，故“AB”是“a5”的必要但不充分条件答案：必要不充分条件8(2010年江苏启东模拟)设集合Mm|m2n，nN，且m500，则M中全部元素的和为_解析：2n0，故x0，xy0，于是由AB得lg(xy)0，xy1.Ax,1,0，B0，|x|，于是必有|x|1，x1，故x1，从而y1.11已知集合Ax|x23x100，(1)若BA，Bx|m1x2m1，务实数m的取值范围；(2)若AB，Bx|m6x2m1，务实数m的取值范围；(
4、3)若AB，Bx|m6x2m1，务实数m的取值范围解：由Ax|x23x100，得Ax|2x5，(1)BA，若B，则m12m1，即m2.(2)若B是A的子集，即BA，由数轴可知1a2.(3)若A=B，则必有a=2第二节 集合的根本运算A组1(2009年高考浙江卷改编)设UR，Ax|x0，Bx|x1，则AUB_.解析：UBx|x1，AUBx|0x1答案：x|01，集合Bx|mxm3(1)当m1时，求AB，AB；(2)若BA，求m的取值范围解：(1)当m1时，Bx|1x2，ABx|11，即m的取值范围为(1，)B组1若集合MxR|3x1，NxZ|1x2，则MN_.解析：因为集合N1,0,1,2，所以
5、MN1,0答案：1,02已知全集U1,0,1,2，集合A1,2，B0,2，则(UA)B_.解析：UA0,1，故(UA)B0答案：03(2010年济南市高三模拟)若全集UR，集合Mx|2x2，Nx|x23x0，则M(UN)_.解析：依据已知得M(UN)x|2x2x|x3x|2x0答案：x|2x04集合A3，log2a，Ba，b，若AB2，则AB_.解析：由AB2得log2a2，a4，从而b2，AB2,3,4答案：2,3,45(2009年高考江西卷改编)已知全集UAB中有m个元素，(UA)(UB)中有n个元素若AB非空，则AB的元素个数为_解析：UAB中有m个元素，(UA)(UB)U(AB)中有n
6、个元素，AB中有mn个元素答案：mn6(2009年高考重庆卷)设Un|n是小于9的正整数，AnU|n是奇数，BnU|n是3的倍数，则U(AB)_.解析：U1,2,3,4,5,6,7,8，A1,3,5,7，B3,6，AB1,3,5,6,7，得U(AB)2,4,8答案：2,4,87定义ABz|zxy，xA，yB设集合A0,2，B1,2，C1，则集合(AB)C的全部元素之和为_解析：由题意可求(AB)中所含的元素有0,4,5，则(AB)C中所含的元素有0,8,10，故全部元素之和为18.答案：188若集合(x，y)|xy20且x2y40(x，y)|y3xb，则b_.解析：由点(0,2)在y3xb上，
7、b2.9设全集I2,3，a22a3，A2，|a1|，IA5，Mx|xlog2|a|，则集合M的全部子集是_解析：A(IA)I，2,3，a22a32,5，|a1|，|a1|3，且a22a35，解得a4或a2，Mlog22，log2|4|1,2答案：，1，2，1,210设集合Ax|x23x20，Bx|x22(a1)x(a25)0(1)若AB2，务实数a的值；(2)若ABA，务实数a的取值范围解：由x23x20得x1或x2，故集合A1,2(1)AB2，2B，代入B中的方程，得a24a30a1或a3；当a1时，Bx|x2402,2，满意条件；当a3时，Bx|x24x402，满意条件；综上，a的值为1或
8、3.(2)对于集合B，4(a1)24(a25)8(a3)ABA，BA，当0，即a0，即a3时，BA1,2才能满意条件，则由根与系数的关系得冲突.综上，a的取值范围是a3.11已知函数f(x) 的定义域为集合A，函数g(x)lg(x22xm)的定义域为集合B.(1)当m3时，求A(RB)；(2)若ABx|1x4，务实数m的值解：Ax|1x5(1)当m3时，Bx|1x3，则RBx|x1或x3，A(RB)x|3x5(2)Ax|1x5，ABx|1x4，有4224m0，解得m8，此时Bx|2x4，符合题意12已知集合AxR|ax23x20(1)若A，务实数a的取值范围；(2)若A是单元素集，求a的值及集
9、合A；(3)求集合MaR|A解：(1)A是空集，即方程ax23x20无解若a0，方程有一解x，不合题意若a0，要方程ax23x20无解，则98a.综上可知，若A，则a的取值范围应为a.(2)当a0时，方程ax23x20只有一根x，A符合题意当a0时，则98a0，即a时，方程有两个相等的实数根x，则A综上可知，当a0时，A；当a时，A(3)当a0时，A.当a0时，要使方程有实数根，则98a0，即a.综上可知，a的取值范围是a，即MaR|Aa|a第二章函数第一节 函数的单调性A组1(2009年高考福建卷改编)下列函数f(x)中，满意“对随意x1，x2(0，)，当x1f(x2)”的是_f(x)f(x
10、)(x1)2 f(x)exf(x)ln(x1)解析：对随意的x1，x2(0，)，当x1f(x2)，f(x)在(0，)上为减函数答案：2函数f(x)(xR)的图象如右图所示，则函数g(x)f(logax)(0a1)的单调减区间是_解析：0a1，ylogax为减函数，logax0，时，g(x)为减函数由0logaxx1.答案：，1(或(，1)3已知函数f(x)|ex|(aR)在区间0,1上单调递增，则实数a的取值范围_解析：当a0，且ex0时，只需满意e00即可，则1a0时，f(x)ex，则满意f(x)ex0在x0,1上恒成立只需满意a(e2x)min成马上可，故a1，综上1a1.答案：1a14(
11、原创题)假如对于函数f(x)定义域内随意的x，都有f(x)M(M为常数)，称M为f(x)的下界，下界M中的最大值叫做f(x)的下确界，下列函数中，有下确界的全部函数是_f(x)sinx；f(x)lgx；f(x)ex；f(x)解析：sinx1，f(x)sinx的下确界为1，即f(x)sinx是有下确界的函数；f(x)lgx的值域为(，)，f(x)lgx没有下确界；f(x)ex的值域为(0，)，f(x)ex的下确界为0，即f(x)ex是有下确界的函数；f(x)的下确界为1.f(x)是有下确界的函数答案：B组1(2010年山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(，0的是_yy(x1)yx22y|x|
12、解析：由函数y|x|的图象可知其增区间为(，0答案：2若函数f(x)log2(x2ax3a)在区间2，)上是增函数，则实数a的取值范围是_解析：令g(x)x2ax3a，由题知g(x)在2，)上是增函数，且g(2)0.4a4.答案：40)在(，)上是单调增函数，则实数a的取值范围_解析：f(x)x(a0)在(，)上为增函数，0a.答案：(0，4(2009年高考陕西卷改编)定义在R上的偶函数f(x)，对随意x1，x20，)(x1x2)，有0，则下列结论正确的是_f(3)f(2)f(1)f(1)f(2)f(3) f(2)f(1)f(3)f(3)f(1)f(2)解析：由已知0，得f(x)在x0，)上单
13、调递减，由偶函数性质得f(2)f(2)，即f(3)f(2)f(1)答案：5(2010年陕西西安模拟)已知函数f(x)满意对随意x1x2，都有0成立，则a的取值范围是_解析：由题意知，f(x)为减函数，所以解得0a.6(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f(x)的图象是如下图所示的折线段OAB，点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(3,0)，定义函数g(x)f(x)(x1)，则函数g(x)的最大值为_解析：g(x)当0x0，a1)在区间(0，)内恒有f(x)0，则f(x)的单调递增区间为_解析：令2x2x，当x(0，)时，(0,1)，而此时f(x)0恒成立，0a0，即x0或x1时，f(x)0.(1)
14、求f(1)的值；(2)推断f(x)的单调性；(3)若f(3)1，解不等式f(|x|)0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)任取x1，x2(0，)，且x1x2，则1，由于当x1时，f(x)0，所以f()0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数(3)由f()f(x1)f(x2)得f()f(9)f(3)，而f(3)1，所以f(9)2.由于函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数，由f(|x|)9，x9或x9或x911已知：f(x)log3，x(0，)，是否存在实数a，b，使f(x)同时满意下列三个条件：(1)在(
15、0,1上是减函数，(2)在1，)上是增函数，(3)f(x)的最小值是1.若存在，求出a、b；若不存在，说明理由解：f(x)在(0,1上是减函数，1，)上是增函数，x1时，f(x)最小，log31.即ab2.设0x1x21，则f(x1)f(x2)即恒成立由此得0恒成立又x1x20，x1x20，x1x2b0恒成立，b1.设1x3x4，则f(x3)f(x4)恒成立0恒成立x3x40，x3x40，x3x4b恒成立b1.由b1且b1可知b1，a1.存在a、b，使f(x)同时满意三个条件第二节 函数的性质A组1设偶函数f(x)loga|xb|在(，0)上单调递增，则f(a1)与f(b2)的大小关系为_解析
16、：由f(x)为偶函数，知b0，f(x)loga|x|，又f(x)在(，0)上单调递增，所以0a1,1a1f(b2)答案：f(a1)f(b2)2(2010年广东三校模拟)定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f(1)f(4)f(7)等于_解析：f(x)为奇函数，且xR，所以f(0)0，由周期为2可知，f(4)0，f(7)f(1)，又由f(x2)f(x)，令x1得f(1)f(1)f(1)f(1)0，所以f(1)f(4)f(7)0.答案：03(2009年高考山东卷改编)已知定义在R上的奇函数f(x)满意f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则f(25)、f(11)、f
17、(80)的大小关系为_解析：因为f(x)满意f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)，又因为f(x)在R上是奇函数，f(0)0，得f(80)f(0)0，f(25)f(1)f(1)，而由f(x4)f(x)得f(11)f(3)f(3)f(14)f(1)，又因为f(x)在区间0,2上是增函数，所以f(1)f(0)0，所以f(1)0，即f(25)f(80)f(11)答案：f(25)f(80)f(11)4(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f(x)在区间0，)上单调增加，则满意f(2x1)f()的x取值范围
18、是_解析：由于f(x)是偶函数，故f(x)f(|x|)，由f(|2x1|)f()，再依据f(x)的单调性得|2x1|，解得x.答案：(，)5(原创题)已知定义在R上的函数f(x)是偶函数，对xR，f(2x)f(2x)，当f(3)2时，f(2011)的值为_解析：因为定义在R上的函数f(x)是偶函数，所以f(2x)f(2x)f(x2)，故函数f(x)是以4为周期的函数，所以f(2011)f(35024)f(3)f(3)2.答案：2B组1(2009年高考全国卷改编)函数f(x)的定义域为R，若f(x1)与f(x1)都是奇函数，则下列结论正确的是_f(x)是偶函数f(x)是奇函数f(x)f(x2)f
19、(x3)是奇函数解析：f(x1)与f(x1)都是奇函数，f(x1)f(x1)，f(x1)f(x1)，函数f(x)关于点(1,0)，及点(1,0)对称，函数f(x)是周期T21(1)4的周期函数f(x14)f(x14)，f(x3)f(x3)，即f(x3)是奇函数答案：2已知定义在R上的函数f(x)满意f(x)f(x)，且f(2)f(1)1，f(0)2，f(1)f(2)f(2009)f(2010)_.解析：f(x)f(x)f(x3)f(x)，即周期为3，由f(2)f(1)1，f(0)2，所以f(1)1，f(2)1，f(3)2，所以f(1)f(2)f(2009)f(2010)f(2008)f(200
20、9)f(2010)f(1)f(2)f(3)0.答案：03(2010年浙江台州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)1，若将f(x)的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f(1)f(2)f(3)f(2010)_.解析：f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)f(x)，将f(x)的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满意f(2x)f(x)，即f(x2)f(x)，所以周期为4，f(1)1，f(2)f(0)0，f(3)f(1)1，f(4)0，所以f(1)f(2)f(3)f(4)0，则f(1)f(2)f(3)f(2010)f(4)502f(2)0.答案：04(200
21、9年高考江西卷改编)已知函数f(x)是(，)上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)log2(x1)，则f(2009)f(2010)的值为_解析：f(x)是偶函数，f(2009)f(2009)f(x)在x0时f(x2)f(x)，f(x)周期为2.f(2009)f(2010)f(2009)f(2010)f(1)f(0)log22log21011.答案：15(2010年江苏苏州模拟)已知函数f(x)是偶函数，并且对于定义域内随意的x，满意f(x2)，若当2x0，由f(x)为奇函数知x0时，f(x)0，a0时，x0)f(x)即f(x)xlg(2|x|)(xR)9已知
22、函数f(x)，当x，yR时，恒有f(xy)f(x)f(y)(1)求证：f(x)是奇函数；(2)假如xR，f(x)0，并且f(1)，试求f(x)在区间2,6上的最值解：(1)证明：函数定义域为R，其定义域关于原点对称f(xy)f(x)f(y)，令yx，f(0)f(x)f(x)令xy0，f(0)f(0)f(0)，得f(0)0.f(x)f(x)0，得f(x)f(x)，f(x)为奇函数(2)法一：设x，yR，f(xy)f(x)f(y)，f(xy)f(x)f(y)xR，f(x)0，f(xy)f(x)0，f(xy)x，f(x)在(0，)上是减函数又f(x)为奇函数，f(0)0，f(x)在(，)上是减函数f
23、(2)为最大值，f(6)为最小值f(1)，f(2)f(2)2f(1)1，f(6)2f(3)2f(1)f(2)3.所求f(x)在区间2,6上的最大值为1，最小值为3.法二：设x10，f(x2x1)0.f(x2)f(x1)1，b1，b0，0ab1.又(abab)2a2ba2b28，a2ba2b6，(abab)2a2ba2b24，abab2.答案：22已知f(x)axb的图象如图所示，则f(3)_.解析：由图象知f(0)1b2，b3.又f(2)a230，a，则f(3)()3333.答案：333函数y()2xx2的值域是_解析：2xx2(x1)211，()2xx2.答案：，)4(2009年高考山东卷)
24、若函数f(x)axxa(a0，且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_解析：函数f(x)的零点的个数就是函数yax与函数yxa交点的个数，由函数的图象可知a1时两函数图象有两个交点，0a1. 答案：(1，+)5(原创题)若函数f(x)ax1(a0，a1)的定义域和值域都是0,2，则实数a等于_解析：由题意知无解或a.答案：6已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求a，b的值；(2)若对随意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)0，即0，解得b1.从而有f(x).又由f(1)f(1)知，解得a2.(2)法一：由(
25、1)知f(x)，由上式易知f(x)在R上为减函数，又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t22t)f(2t2k)0f(t22t)2t2k.即对一切tR有3t22tk0，从而412k0，解得k.法二：由(1)知f(x)，又由题设条件得0即(22t2k12)(2t22t1)(2t22t12)(22t2k1)1，因底数21，故3t22tk0上式对一切tR均成立，从而判别式412k0，解得k0且a1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么肯定有_0a00a1且0b1且b1且b0解析：当0a1时，把指数函数f(x)ax的图象向下平移，视察可知1b10，即0b1.答案：2(2010年保定模拟)若f
26、(x)x22ax与g(x)(a1)1x在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是_解析：f(x)x22ax(xa)2a2，所以f(x)在a，)上为减函数，又f(x)，g(x)都在1,2上为减函数，所以需00，a1)；g(x)0；若，则a等于_解析：由f(x)axg(x)得ax，所以aa1，解得a2或.答案：2或4(2010年北京朝阳模拟)已知函数f(x)ax(a0且a1)，其反函数为f1(x)若f(2)9，则f1()f(1)的值是_解析：因为f(2)a29，且a0，a3，则f(x)3x，x1，故f1()1.又f(1)3，所以f1()f(1)2.答案：25(2010年山东青岛质检)已知f(x)(
27、)x，若f(x)的图象关于直线x1对称的图象对应的函数为g(x)，则g(x)的表达式为_解析：设yg(x)上随意一点P(x，y)，P(x，y)关于x1的对称点P(2x，y)在f(x)()x上，y()2x3x2.答案：y3x2(xR)6(2009年高考山东卷改编)函数y的图象大致为_ 解析：f(x)f(x)，f(x)为奇函数，解除.又y1在(，0)、(0，)上都是减函数，解除、.答案：7(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f(x)满意：当x4时，f(x)()x；当x4时，f(x)f(x1)，则f(2log23)_.解析：23422，1log232.32log230，且a1)在区间1,1上的最大值为14，务实数a的值解：f(x)a2x2ax1(ax1)22，x1,1，(1)当0a1时，axa，当axa时，f(x)获得最大值(a1)2214，a3.综上可知，实数a的值为或3.第二节 对数函数A组1(2009年高考广东卷改编)若函数yf(x)是函数yax(a0，且a1)的反函数，其图象经过点(，a)，则f(x)_.解析：由题意f(x)logax，alogaa，f(x)logx.答案：logx2(2009年高考全国卷)设alog3，blog2，clog3