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1、高等数学考研复习资料，最全篇，合适于一遍，二遍复习探讨细微环节，祝你考研数学春风得意马，打破130分大关！目 录一、函数与极限21、集合概念22、常量与变量32、函数43、函数简洁性态44、反函数55、复合函数66、初等函数67、双曲函数及反双曲函数78、数列极限89、函数极限910、函数极限运算规那么11一、函数与极限1、集合概念一般地我们把探讨对象统称为元素，把一些元素组成总体叫集合简称集。集合具有确定性给定集合元素必需是确定和互异性给定集合中元素是互不一样。比方“身材较高人不能构成集合，因为它元素不是确定。我们通常用大字拉丁字母A、B、C、表示集合，用小写拉丁字母a、b、c表示集合中元素
2、。假如a是集合A中元素，就说a属于A，记作：aA，否那么就说a不属于A，记作：aA。 、全体非负整数组成集合叫做非负整数集或自然数集。记作N、全部正整数组成集合叫做正整数集。记作N+或N+。、全体整数组成集合叫做整数集。记作Z。、全体有理数组成集合叫做有理数集。记作Q。、全体实数组成集合叫做实数集。记作R。集合表示方法、列举法：把集合元素一一列举出来，并用“括起来表示集合、描绘法：用集合全部元素共同特征来表示集合。集合间根本关系、子集：一般地，对于两个集合A、B，假如集合A中随意一个元素都是集合B元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B子集，记作A B或B A。相等：如何集合A是集合B
3、子集，且集合B是集合A子集，此时集合A中元素与集合B中元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作AB。、真子集：如何集合A是集合B子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B真子集。、空集：我们把不含任何元素集合叫做空集。记作 ，并规定，空集是任何集合子集。、由上述集合之间根本关系，可以得到下面结论：、任何一个集合是它本身子集。即A A、对于集合A、B、C，假如A是B子集，B是C子集，那么A是C子集。、我们可以把相等集合叫做“等集，这样话子集包括“真子集和“等集。集合根本运算、并集：一般地，由全部属于集合A或属于集合B元素组成集合称为A与B并集。记作AB。在求并集时，它们公共元素
4、在并集中只能出现一次。即ABx|xA，或xB。、交集：一般地，由全部属于集合A且属于集合B元素组成集合称为A与B交集。记作AB。即ABx|xA，且xB。、补集：全集：一般地，假如一个集合含有我们所探讨问题中所涉及全部元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A全部元素组成集合称为集合A相对于全集U补集。简称为集合A补集，记作CUA。即CUAx|xU，且x A。集合中元素个数、有限集：我们把含有有限个元素集合叫做有限集，含有无限个元素集合叫做无限集。、用card来表示有限集中元素个数。例如Aa,b,c，那么card(A)=3。、一般地，对随意两个集合A、
5、B，有card(A)+card(B)=card(AB)+card(AB)我问题：1、学校里开运动会，设Ax|x是参与一百米跑同学，Bx|x是参与二百米跑同学，Cx|x是参与四百米跑同学。学校规定，每个参与上述竞赛同学最多只能参与两项，请你用集合运算说明这项规定，并说明以下集合运算含义。、AB；、AB。2、在平面直角坐标系中，集合C(x,y)|y=x表示直线yx，从这个角度看，集合D=(x,y)|方程组：2x-y=1,x+4y=5表示什么？集合C、D之间有什么关系？请分别用集合语言和几何语言说明这种关系。3、集合A=x|1x3，Bx|(x-1)(x-a)=0。试推断B是不是A子集？是否存在实数a
6、使AB成立？4、对于有限集合A、B、C，能不能找出这三个集合中元素个数与交集、并集元素个数之间关系呢？5、无限集合A1，2，3，4，n，B2，4，6，8，2n，你能设计一种比较这两个集合中元素个数多少方法吗？2、常量与变量、变量定义：我们在视察某一现象过程时，常常会遇到各种不同量，其中有量在过程中不起变更，我们把其称之为常量；有量在过程中是变更，也就是可以取不同数值，我们那么把其称之为变量。注：在过程中还有一种量，它虽然是变更，但是它变更相对于所探讨对象是极其微小，我们那么把它看作常量。、变量表示：假如变量变更是连续，那么常用区间来表示其变更范围。在数轴上来说，区间是指介于某两点之间线段上点全
7、体。区间名称区间满意不等式区间记号区间在数轴上表示闭区间axba，b开区间axba，b半开区间axb或axba，b或a，b以上我们所述都是有限区间，除此之外，还有无限区间：a，+)：表示不小于a实数全体，也可记为：ax+；(-，b)：表示小于b实数全体，也可记为：-xb；(-，+)：表示全体实数，也可记为：-x+注：其中-和+，分别读作负无穷大和正无穷大,它们不是数,仅仅是记号。、邻域：设与是两个实数，且0.满意不等式x-实数x全体称为点邻域，点称为此邻域中心，称为此邻域半径。2、函数、函数定义：假如当变量x在其变更范围内随意取定一个数值时，量y依据确定法那么f总有确定数值与它对应，那么称y是
8、x函数。变量x变更范围叫做这个函数定义域。通常x叫做自变量，y叫做函数值或因变量，变量y变更范围叫做这个函数值域。注：为了说明y是x函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里字母f、F表示y与x之间对应法那么即函数关系,它们是可以随意采纳不同字母来表示。假如自变量在定义域内任取一个确定值时，函数只有一个确定值和它对应，这种函数叫做单值函数，否那么叫做多值函数。这里我们只探讨单值函数。、函数相等由函数定义可知，一个函数构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系确定，所以，假如两个函数定义域和对应关系完全一样，我们就称两个函数相等。、域函数表示方法a)：解析法
9、：用数学式子表示自变量和因变量之间对应关系方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点圆方程是：x2+y2=r2b)：表格法：将一系列自变量值与对应函数值列成表来表示函数关系方法即是表格法。例：在实际应用中，我们常常会用到平方表，三角函数表等都是用表格法表示函数。c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点圆用图示法表示为：3、函数简洁性态、函数有界性：假如对属于某一区间I全部x值总有f(x)M成立，其中M是一个与x无关常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否那么便称无界。注：一个函数，假如
10、在其整个定义域内有界，那么称为有界函数例题：函数cosx在(-,+)内是有界.、函数单调性：假如函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内随意两点x1及x2，当x1x2时，有 ，那么称函数在区间(a,b)内是单调增加。假如函数在区间(a,b)内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内随意两点x1及x2，当x1x2时，有，那么称函数在区间(a,b)内是单调减小。例题：函数=x2在区间(-,0)上是单调减小，在区间(0,+)上是单调增加。、函数奇偶性假如函数对于定义域内随意x都满意=，那么叫做偶函数；假如函数对于定义域内随意x都满意=-，那么叫做奇函数。注：偶函数图形关于y轴对称，
11、奇函数图形关于原点对称。、函数周期性对于函数，假设存在一个不为零数l，使得关系式对于定义域内任何x值都成立，那么叫做周期函数，l是周期。注：我们说周期函数周期是指最小正周期。例题：函数是以2为周期周期函数；函数tgx是以为周期周期函数。4、反函数、反函数定义：设有函数，假设变量y在函数值域内任取一值y0时，变量x在函数定义域内必有一值x0与之对应，即来表示，称为函数反函数.注：由此定义可知，函数也是函数反函数。 、反函数存在定理：假设在(a，b)上严格增(减)，其值域为 R，那么它反函数必定在R上确定，且严格增(减).注：严格增(减)即是单调增(减)例题：y=x2，其定义域为(-,+)，值域为
12、0,+).对于y取定非负值,可求得x=.假设我们不加条件，由y值就不能唯一确定x值，也就是在区间(-,+)上，函数不是严格增(减)，故其没有反函数。假如我们加上条件，要求x0，那么对y0、x=就是y=x2在要求x0时反函数。即是：函数在此要求下严格增(减). 、反函数性质：在同一坐标平面内，与图形是关于直线y=x对称。例题：函数与函数互为反函数，那么它们图形在同始终角坐标系中是关于直线y=x对称。如右图所示： 5、复合函数复合函数定义：假设y是u函数：，而u又是x函数：，且函数值全部或部分在定义域内，那末，y通过u联络也是x函数，我们称后一个函数是由函数及复合而成函数，简称复合函数，记作，其中
13、u叫做中间变量。注：并不是随意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。例题：函数与函数是不能复合成一个函数。因为对于定义域(-,+)中任何x值所对应u值都大于或等于2，使都没有定义。6、初等函数、根本初等函数：我们最常用有五种根本初等函数，分别是：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。下面我们用表格来把它们总结一下：函数名称函数记号函数图形函数性质指数函数a):不管x为何值,y总为正数;b):当x=0时,y=1.对数函数a):其图形总位于y轴右侧,并过(1,0)点b):当a1时,在区间(0,1)值为负；在区间(-,+)值为正；在定义域内单调增.幂函数a为随意实数这里只画出部
14、分函数图形一部分。令a=m/na):当m为偶数n为奇数时,y是偶函数;b):当m,n都是奇数时,y是奇函数;c):当m奇n偶时,y在(-,0)无意义.三角函数(正弦函数)这里只写出了正弦函数a):正弦函数是以2为周期周期函数b):正弦函数是奇函数且反三角函数(反正弦函数)这里只写出了反正弦函数a):由于此函数为多值函数,因此我们此函数值限制在-/2,/2上,并称其为反正弦函数主值.、初等函数：由根本初等函数与常数经过有限次有理运算及有限次函数复合所产生并且能用一个解析式表出函数称为初等函数.例题：是初等函数。7、双曲函数及反双曲函数、双曲函数：在应用中我们常常遇到双曲函数是：(用表格来描绘)函
15、数名称函数表达式函数图形函数性质双曲正弦a)：其定义域为:(-,+)；b)：是奇函数；c)：在定义域内是单调增双曲余弦a)：其定义域为:(-,+)；b)：是偶函数；c)：其图像过点(0,1)；双曲正切a)：其定义域为:(-,+)；b)：是奇函数；c)：其图形夹在程度直线y=1及y=-1之间；在定域内单调增；我们再来看一下双曲函数与三角函数区分：双曲函数性质三角函数性质shx与thx是奇函数，chx是偶函数sinx与tanx是奇函数，cosx是偶函数它们都不是周期函数都是周期函数双曲函数也有和差公式：、反双曲函数：双曲函数反函数称为反双曲函数.a)：反双曲正弦函数 其定义域为：(-,+)；b)：
16、反双曲余弦函数 其定义域为：1,+)；c)：反双曲正切函数 其定义域为：(-1,+1)；8、数列极限我们先来回忆一下初等数学中学习数列概念。 、数列：假设依据确定法那么，有第一个数a1，第二个数a2，依次排列下去，使得任何一个正整数n对应着一个确定数an，那末，我们称这列有次序数a1，a2，an，为数列.数列中每一个数叫做数列项。第n项an叫做数列一般项或通项.注：我们也可以把数列an看作自变量为正整数n函数，即：an=，它定义域是全体正整数 、极限：极限概念是务实际问题精确解答而产生。例：我们可通过作圆内接正多边形，近似求出圆面积。设有一圆，首先作圆内接正六边形，把它面积记为A1；再作圆内接
17、正十二边形，其面积记为A2；再作圆内接正二十四边形，其面积记为A3；依次循下去(一般把内接正62n-1边形面积记为An)可得一系列内接正多边形面积：A1，A2，A3，An，它们就构成一列有序数列。我们可以发觉，当内接正多边形边数无限增加时，An也无限接近某一确定数值(圆面积)，这个确定数值在数学上被称为数列A1，A2，A3，An， 当n(读作n趋近于无穷大)极限。注：上面这个例子就是我国古代数学家刘徽(公元三世纪)割圆术。 、数列极限：一般地，对于数列来说，假设存在随意给定正数(不管其多么小)，总存在正整数N，使得对于nN时一切不等式都成立，那末就称常数a是数列极限，或者称数列收敛于a .记作
18、：或注：此定义中正数只有随意给定，不等式才能表达出与a无限接近意思。且定义中正整数N与随意给定正数是有关，它是随着给定而选定。、数列极限几何说明：在此我们可能不易理解这个概念，下面我们再给出它一个几何说明，以使我们能理解它。数列极限为a一个几何说明：将常数a及数列在数轴上用它们对应点表示出来，再在数轴上作点a邻域即开区间(a-，a+)，如以下图所示： 因不等式与不等式等价，故当nN时，全部点都落在开区间(a-，a+)内，而只有有限个(至多只有N个)在此区间以外。注：至于如何求数列极限，我们在以后会学习到，这里我们不作探讨。 、数列有界性：对于数列，假设存在着正数M，使得一切都满意不等式M，那么
19、称数列是有界，假设正数M不存在，那么可说数列是无界。定理：假设数列收敛，那末数列确定有界。注：有界数列不确定收敛，即：数列有界是数列收敛必要条件，但不是充分条件。例：数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1， 是有界，但它是发散。9、函数极限前面我们学习了数列极限，已经知道数列可看作一类特殊函数，即自变量取 1内正整数，假设自变量不再限于正整数依次，而是连续变更，就成了函数。下面我们来学习函数极限.函数极值有两种状况：a)：自变量无限增大；b)：自变量无限接近某确定点x0，假如在这时，函数值无限接近于某一常数A，就叫做函数存在极值。我们道函数极值状况，那么函数极限如何呢 下面我们结合着数列极限
20、来学习一下函数极限概念!、函数极限(分两种状况)a):自变量趋向无穷大时函数极限定义：设函数，假设对于随意给定正数(不管其多么小)，总存在着正数X，使得对于合适不等式 一切x，所对应函数值都满意不等式 那末常数A就叫做函数当x时极限，记作：下面我们用表格把函数极限与数列极限比照一下：数列极限定义函数极限定义存在数列与常数A，任给一正数0，总可找到一正整数N，对于nN全部都满意那么称数列，当x时收敛于A记：。存在函数与常数A，任给一正数0，总可找到一正数X，对于合适一切x，都满意，函数当x时极限为A，记：。从上表我们发觉了什么 ？试思索之b):自变量趋向有限值时函数极限。我们先来看一个例子.例：
21、函数，当x1时函数值变更趋势如何？函数在x=1处无定义.我们知道对实数来讲，在数轴上任何一个有限范围内，都有无穷多个点，为此我们把x1时函数值变更趋势用表列出,如以下图:从中我们可以看出x1时，2.而且只要x与1有多接近，就与2有多接近.或说：只要与2只差一个微量，就确定可以找到一个，当时满意定义：设函数在某点x0某个去心邻域内有定义，且存在数A，假如对随意给定(不管其多么小)，总存在正数，当0时，那么称函数当xx0时存在极限，且极限为A，记：。注：在定义中为什么是在去心邻域内呢？这是因为我们只探讨xx0过程，与x=x0出状况无关。此定义核心问题是：对给出，是否存在正数，使其在去心邻域内x均满
22、意不等式。有些时候，我们要用此极限定义来证明函数极限为 A，其证明方法是怎样呢？ a):先任取0； b):写出不等式；c):解不等式能否得出去心邻域0，假设能； d):那么对于任给0，总能找出，当0时，成立，因此10、函数极限运算规那么前面已经学习了数列极限运算规那么，我们知道数列可作为一类特殊函数，故函数极限运算规那么与数列极限运算规那么相像。、函数极限运算规那么 假设xx0(或x)时，.那么： 推论： 在求函数极限时，利用上述规那么就可把一个困难函数化为假设干个简洁函数来求极限。例题：求解答：例题：求分子和分母都没有极限，像这种状况怎么办呢？下面我们把它解出来。解答：注：通过此例题我们可以
23、发觉：当分式分子和分母都没有极限时就不能运用商极限运算规那么了，应先把分式分子分母转化为存在极限情形，然后运用规那么求之。函数极限存在准那么学习函数极限存在准那么之前，我们先来学习一下左、右概念。 我们先来看一个例子：例：符号函数为对于这个分段函数,x从左趋于0和从右趋于0时函数极限是不一样.为此我们定义了左、右极限概念。定义：假如x仅从左侧(xx0)趋近x0时，函数与常量A无限接近，那么称A为函数当时左极限.记：假如x仅从右侧(xx0)趋近x0时，函数与常量A无限接近，那么称A为函数当时右极限.记：注：只有当xx0时，函数左、右极限存在且相等，方称在xx0时有极限函数极限存在准那么 准那么一
24、：对于点x0某一邻域内一切x，x0点本身可以除外(或确定值大于某一正数一切x)有，且，那末存在，且等于A注：此准那么也就是夹逼准那么.准那么二：单调有界函数必有极限.注：有极限函数不确定单调有界两个重要极限 一：注：.二：注：在此我们对这两个重要极限不加以证明.注：我们要牢记这两个重要极限，在今后解题中会常常用到它们.例题：求解答：令，那么x=-2t，因为x，故t，那么注：解此类型题时，确定要留意代换后变量趋向状况，象x时，假设用t代换1/x，那么t0.无穷大量和无穷小量无穷大量我们先来看一个例子：函数，当x0时，可知，我们把这种状况称为趋向无穷大。为此我们可定义如下：设有函数y=，在x=x0
25、去心邻域内有定义，对于随意给定正数N(一个随意大数)，总可找到正数，当时，成立，那么称函数当时为无穷大量。记为：表示为无穷大量，实际它是没有极限同样我们可以给出当x时，无限趋大定义：设有函数y=，当x充分大时有定义，对于随意给定正数N(一个随意大数)，总可以找到正数M，当时，成立，那么称函数当x时是无穷大量，记为：无穷小量以零为极限变量称为无穷小量。定义：设有函数，对于随意给定正数(不管它多么小)，总存在正数(或正数M)，使得对于合适不等式(或)一切x，所对应函数值满意不等式，那么称函数当(或x)时 为无穷小量.记作：(或)留意：无穷大量与无穷小量都是一个变更不定量，不是常量，只有0可作为无穷
26、小量唯一常量。无穷大量与无穷小量区分是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于0.无穷大量与无穷小量是互为倒数关系.关于无穷小量两个定理定理一：假如函数在(或x)时有极限A，那么差是当(或x)时无穷小量，反之亦成立。定理二：无穷小量有利运算定理a)：有限个无穷小量代数和仍是无穷小量； b)：有限个无穷小量积仍是无穷小量；c)：常数与无穷小量积也是无穷小量.无穷小量比较两个无穷小量商会是怎样呢？好！接下来我们就来解决这个问题，这就是我们要学两个无穷小量比较。定义：设，都是时无穷小量，且在x0去心领域内不为零，a)：假如，那么称是高阶无穷小或是低阶无穷小；b)：假如，那么称和是同阶无穷小；c)：
27、假如，那么称和是等价无穷小，记作：(与等价)例：因为，所以当x0时，x与3x是同阶无穷小；因为，所以当x0时，x2是3x高阶无穷小；因为，所以当x0时，sinx与x是等价无穷小。等价无穷小性质设，且存在，那么.注：这特性质说明：求两个无穷小之比极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替，因此我们可以利用这特性质来简化求极限问题。例题： 解答：当x0时，sinaxax，tanbxbx，故：例题：解答：注：注：从这个例题中我们可以发觉，作无穷小变换时，要代换式中某一项，不能只代换某个因子。函数一重要性质连续性在自然界中有很多现象，如气温变更，植物生长等都是连续地变更着.这种现象在函数关系上反映，就是
28、函数连续性在定义函数连续性之前我们先来学习一个概念增量设变量x从它一个初值x1变到终值x2，终值与初值差x2-x1就叫做变量x增量，记为：x即：x=x2-x1 增量x可正可负.我们再来看一个例子：函数在点x0邻域内有定义，当自变量x在领域内从x0变到x0+x时，函数y相应地从变到，其对应增量为：这个关系式几何说明如以下图：如今我们可对连续性概念这样描绘：假如当x趋向于零时，函数y对应增量y也趋向于零，即：，那末就称函数在点x0处连续。函数连续性定义：设函数在点x0某个邻域内有定义，假如有称函数在点x0处连续，且称x0为函数连续点.下面我们结合着函数左、右极限概念再来学习一下函数左、右连续概念：
29、设函数在区间(a,b内有定义，假如左极限存在且等于，即：=，那末我们就称函数在点b左连续.设函数在区间a,b)内有定义，假如右极限存在且等于，即：=，那末我们就称函数在点a右连续.一个函数在开区间(a,b)内每点连续,那么为在(a,b)连续，假设又在a点右连续，b点左连续，那么在闭区间a，b连续，假如在整个定义域内连续，那么称为连续函数。注：一个函数假设在定义域内某一点左、右都连续，那么称函数在此点连续，否那么在此点不连续.注：连续函数图形是一条连续而不连续曲线。通过上面学习我们已经知道函数连续性了，同时我们可以想到假设函数在某一点要是不连续会出现什么情形呢？接着我们就来学习这个问题：函数连续
30、点函数连续点定义：我们把不满意函数连续性点称之为连续点. 它包括三种情形：a)：在x0无定义；b)：在xx0时无极限；c)：在xx0时有极限但不等于；下面我们通过例题来学习一下连续点类型：例1： 正切函数在处没有定义，所以点是函数连续点，因，我们就称为函数无穷连续点；例2：函数在点x=0处没有定义；故当x0时，函数值在-1与+1之间变动无限屡次，我们就称点x=0叫做函数振荡连续点； 例3：函数当x0时，左极限，右极限，从这我们可以看出函数左、右极限虽然都存在，但不相等，故函数在点x=0是不存在极限。我们还可以发觉在点x=0时，函数值产生跳动现象，为此我们把这种连续点称为跳动连续点；我们把上述三
31、种连续点用几何图形表示出来如下:连续点分类我们通常把连续点分成两类：假如x0是函数连续点，且其左、右极限都存在，我们把x0称为函数第一类连续点；不是第一类连续点任何连续点，称为第二类连续点.可去连续点假设x0是函数连续点，但极限存在，那末x0是函数第一类连续点。此时函数不连续缘由是：不存在或者是存在但。我们令，那么可使函数在点x0处连续，故这种连续点x0称为可去连续点。连续函数性质及初等函数连续性连续函数性质函数和、积、商连续性我们通过函数在某点连续定义和极限四那么运算法那么，可得出以下结论：a)：有限个在某点连续函数和是一个在该点连续函数；b)：有限个在某点连续函数乘积是一个在该点连续函数；
32、c)：两个在某点连续函数商是一个在该点连续函数(分母在该点不为零)；反函数连续性假设函数在某区间上单调增(或单调减)且连续，那末它反函数也在对应区间上单调增(单调减)且连续例：函数在闭区间上单调增且连续，故它反函数在闭区间-1,1上也是单调增且连续。复合函数连续性设函数当xx0时极限存在且等于a，即：.而函数在点u=a连续，那末复合函数当xx0时极限也存在且等于.即：例题：求解答：注：函数可看作与复合而成，且函数在点u=e连续，因此可得出上述结论。设函数在点x=x0连续，且，而函数在点u=u0连续，那末复合函数在点x=x0也是连续初等函数连续性通过前面我们所学概念和性质，我们可得出以下结论：根
33、本初等函数在它们定义域内都是连续；一切初等函数在其定义域内也都是连续.闭区间上连续函数性质闭区间上连续函数那么是在其连续区间左端点右连续，右端点左连续.对于闭区间上连续函数有几条重要性质，下面我们来学习一下：最大值最小值定理：在闭区间上连续函数确定有最大值和最小值。(在此不作证明) 例：函数y=sinx在闭区间0，2上连续，那么在点x=/2处，它函数值为1，且大于闭区间0，2上其它各点出函数值；那么在点x=3/2处，它函数值为-1，且小于闭区间0，2上其它各点出函数值。介值定理在闭区间上连续函数确定获得介于区间两端点函数值间任何值。即：，在、之间，那么在a，b间确定有一个，使 推论：在闭区间连
34、续函数必获得介于最大值最小值之间任何值。二、导数与微分导数概念在学习到数概念之前，我们先来探讨一下物理学中变速直线运动瞬时速度问题。例：设一质点沿x轴运动时，其位置x是时间t函数，求质点在t0瞬时速度？我们知道时间从t0有增量t时，质点位置有增量 ，这就是质点在时间段t位移。因此，在此段时间内质点平均速度为：.假设质点是匀速运动那么这就是在t0瞬时速度，假设质点是非匀速直线运动，那么这还不是质点在t0时瞬时速度。我们认为当时间段t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t0时瞬时速度，即：质点在t0时瞬时速度=为此就产生了导数定义，如下：导数定义：设函数在点x0某一邻域内有定义，当自变量
35、x在x0处有增量x(x+x也在该邻域内)时，相应地函数有增量，假设y与x之比当x0时极限存在，那么称这个极限值为在x0处导数。记为：还可记为：，函数在点x0处存在导数简称函数在点x0处可导，否那么不行导。假设函数在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。这时函数对于区间(a,b)内每一个确定x值，都对应着一个确定导数，这就构成一个新函数，我们就称这个函数为原来函数导函数。 注：导数也就是差商极限左、右导数前面我们有了左、右极限概念，导数是差商极限，因此我们可以给出左、右导数概念。假设极限存在，我们就称它为函数在x=x0处左导数。假设极限存在，我们就称它为函数在x=x0处右
36、导数。注：函数在x0处左右导数存在且相等是函数在x0处可导充分必要条件函数和、差求导法那么函数和差求导法那么 法那么：两个可导函数和(差)导数等于这两个函数导数和(差).用公式可写为：。其中u、v为可导函数。例题：，求解答：例题：，求解答：函数积商求导法那么常数与函数积求导法那么法那么：在求一个常数与一个可导函数乘积导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。用公式可写成： 例题：，求解答：函数积求导法那么法那么：两个可导函数乘积导数等于第一个因子导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二个因子导数。用公式可写成：例题：，求解答：注：假设是三个函数相乘，那么先把其中两个看成一项。函数商求导法那么法那么
37、：两个可导函数之商导数等于分子导数与分母导数乘积减去分母导数与分子导数乘积，在除以分母导数平方。用公式可写成： 例题：，求解答：复合函数求导法那么在学习此法那么之前我们先来看一个例子!例题：求=解答：由于，故 这个解答正确吗这个解答是错误，正确解容许该如下：我们发生错误缘由是是对自变量x求导，而不是对2x求导。下面我们给出复合函数求导法那么复合函数求导规那么规那么：两个可导函数复合而成复合函数导数等于函数对中间变量导数乘上中间变量对自变量导数。用公式表示为：，其中u为中间变量例题：，求解答：设,那么可分解为,因此注：在以后解题中，我们可以中间步骤省去。例题：，求 解答：反函数求导法那么依据反函
38、数定义，函数为单调连续函数，那么它反函数,它也是单调连续.为此我们可给出反函数求导法那么，如下(我们以定理形式给出)：定理：假设是单调连续，且，那么它反函数在点x可导，且有： 注：通过此定理我们可以发觉：反函数导数等于原函数导数倒数。注：这里反函数是以y为自变量，我们没有对它作记号变换。即： 是对y求导，是对x求导例题：求导数.解答：此函数反函数为，故那么：例题：求导数.解答：此函数反函数为，故那么：高阶导数我们知道，在物理学上变速直线运动速度v(t)是位置函数s(t)对时间t导数，即： ，而加速度a又是速度v对时间t变更率，即速度v对时间t导数： ，或。这种导数导数叫做s对t二阶导数。下面我
39、们给出它数学定义：定义：函数导数导数叫做函数二阶导数，记作或，即：或.相应地，把导数叫做函数一阶导数.类似地，二阶导数导数，叫做三阶导数，三阶导数导数，叫做四阶导数，一般地(n-1)阶导数导数叫做n阶导数.分别记作：，或，二阶及二阶以上导数统称高阶导数。由此可见，求高阶导数就是屡次接连地求导，所以，在求高阶导数时可运用前面所学求导方法。例题：，求 解答：因为=a，故=0例题：求对数函数n阶导数。解答：，一般地，可得隐函数及其求导法那么我们知道用解析法表示函数，可以有不同形式.假设函数y可以用含自变量x算式表示，像y=sinx，y=1+3x等，这样函数叫显函数.前面我们所遇到函数大多都是显函数.
40、一般地，假如方程F(x,y)=0中，令x在某一区间内任取一值时，相应地总有满意此方程y值存在，那么我们就说方程F(x,y)=0在该区间上确定了x隐函数y.把一个隐函数化成显函数形式，叫做隐函数显化。注：有些隐函数并不是很简洁化为显函数，那么在求其导数时该如何呢？下面让我们来解决这个问题！隐函数求导假设F(x,y)=0，求时，一般按以下步骤进展求解：a)：假设方程F(x,y)=0，能化为形式，那么用前面我们所学方法进展求导；b)：假设方程F(x,y)=0，不能化为形式，那么是方程两边对x进展求导，并把y看成x函数，用复合函数求导法那么进展。例题：，求解答：此方程不易显化，故运用隐函数求导法.两边
41、对x进展求导， ，故= 注：我们对隐函数两边对x进展求导时，确定要把变量y看成x函数，然后对其利用复合函数求导法那么进展求导。例题：求隐函数，在x=0处导数解答：两边对x求导，故，。有些函数在求导数时，假设对其干脆求导有时很不便利，像对某些幂函数进展求导时，有没有一种比较直观方法呢？下面我们再来学习一种求导方法：对数求导法对数求导法对数求导法那么：依据隐函数求导方法，对某一函数先取函数自然对数，然后在求导。注：此方法特殊适用于幂函数求导问题。例题：x0，求此题假设对其干脆求导比较费事，我们可以先对其两边取自然对数，然后再把它看成隐函数进展求导，就比较简便些。如下解答：先两边取对数： ，把其看成
42、隐函数，再两边求导因为，所以例题：，求此题可用复合函数求导法那么进展求导，但是比较费事，下面我们利用对数求导法进展求导解答：先两边取对数再两边求导因为，所以函数微分学习函数微分之前，我们先来分析一个详细问题：一块正方形金属薄片受温度变更影响时，其边长由x0变到了x0+x，那么此薄片面积变更了多少？解答：设此薄片边长为x，面积为A，那么A是x函数： 薄片受温度变更影响面积变更量，可以看成是当自变量x从x0取增量x时，函数A相应增量A，即：。从上式我们可以看出，A分成两部分，第一部分是x线性函数，即以下图中红色部分；第二部分即图中黑色部分，当x0时，它是x高阶无穷小，表示为：由此我们可以发觉，假如
43、边长变更很小时，面积变更量可以近似用地一部分来代替。下面我们给出微分数学定义：函数微分定义：设函数在某区间内有定义，x0及x0+x在这区间内，假设函数增量可表示为，其中A是不依靠于x常数，是x高阶无穷小，那么称函数在点x0可微。叫做函数在点x0相应于自变量增量x微分，记作dy，即：=。通过上面学习我们知道：微分是自变量变更量x线性函数，dy与y差是关于x高阶无穷小量，我们把dy称作y线性主部。于是我们又得出：当x0时，ydy.导数记号为： ，如今我们可以发觉，它不仅表示导数记号，而且还可以表示两个微分比值(把x看成dx,即:定义自变量增量等于自变量微分)，还可表示为：由此我们得出：假设函数在某
44、区间上可导，那么它在此区间上确定可微，反之亦成立。微分形式不变性 什么是微分形式不边形呢？ 设，那么复合函数微分为： ， 由于，故我们可以把复合函数微分写成 由此可见，不管u是自变量还是中间变量，微分dy总可以用与du乘积来表示， 我们把这一性质称为微分形式不变性。 例题：，求dy 解答：把2x+1看成中间变量u，依据微分形式不变性，那么 通过上面学习，我们知道微分与导数有着不行分割联络，前面我们知道根本初等函数导数公式和导数 运算法那么，那么根本初等函数微分公式和微分运算法那么是怎样呢？ 下面我们来学习根本初等函数微分公式与微分运算法那么根本初等函数微分公式与微分运算法那么 根本初等函数微分公式 由于函数微分表达式为：，于是我们通过根本初等函数导数公式可得出根本初等函数微分公式，下面我们用表格来把根本初等函数导数公式与微分公式比照一下：(部分公