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1、二次函数压轴题精讲1二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先依据给定的函数或函数图象推断出系数的符号，然后推断新的函数关系式中系数的符号，再依据系数与图象的位置关系推断出图象特征，则符合全部特征的图象即为正确选项（2）二次函数与方程、几何学问的综合应用将函数学问与方程、几何学问有机地结合在一起这类试题一般难度较大解这类问题关键是擅长将函数问题转化为方程问题，擅长利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的学问，并留意挖掘题目中的一些隐含条件（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型关键在于视察、分析、创立，建立直角坐标系下的
2、二次函数图象，然后数形结合解决问题，须要我们留意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义例1. 已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将对折，使点O的对应点H落在直线上，折痕交x轴于点C（1）干脆写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线上是否存在点P，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线的交点为T，Q为线段上一点，干脆写出的取值范围2如图，直线2与抛物线26（a0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段上异于A、B的动点，过点P作x轴于点D，交抛物线于点
3、C（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求为直角三角形时点P的坐标3如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的周长最小？若存在，恳求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接，在直线的下方的抛物线上，是否存在一点N，使的面积最大？若存在，恳求出点N的坐标；若不存在，请说明理由4如图，抛物线x2交x轴于点A（3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2
4、）若点P在抛物线上，且S4，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段上的一动点，作x轴，交抛物线于点D，求线段长度的最大值5如图，在矩形中，5，4，点D为边上一点，将沿直线折叠，使点B恰好落在边上的点E处，分别以，所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系（1）求的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；（2）一动点P从点C动身，沿以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点动身，沿以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停顿运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，；（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点
5、的四边形是平行四边形？若存在，恳求出M点坐标；若不存在，请说明理由6如图，边长为8的正方形的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（4，0），连接、（1）请干脆写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发觉：当P与点A或点C重合时，与的差为定值，进而猜测：对于随意一点P，与的差为定值，请你推断该猜测是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使的周长最小的点P也是一个“好点”请干脆写出全部“好点”的个数，并求出周长最小时
6、“好点”的坐标7如图，已知抛物线x2与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开场沿方向以每秒1个单位长度挪动，动点D从点B开场沿方向以每秒1个单位长度挪动，动点C、D同时动身，当动点D到达原点O时，点C、D停顿运动（1）干脆写出抛物线的解析式：；（2）求的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？（3）当的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使的面积等于的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由8如图，已知二次函数L1：223（a0）和二次函数L2：a（1）2+1（a0）图象的顶点分别为M，N，与y轴分别交
7、于点E，F（1）函数223（a0）的最小值为，当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是（2）当时，求a的值，并推断四边形的形态（干脆写出，不必证明）（3）若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A（m，0），当为等腰三角形时，求方程a（1）2+1=0的解9如图，在平面直角坐标系中，直线2与x轴交于点A，与y轴交于点C抛物线2的对称轴是且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B（1）干脆写出点B的坐标；求抛物线解析式（2）若点P为直线上方的抛物线上的一点，连接，求的面积的最大值，并求出此时点P的坐标（3）抛物线上是否存在点M，过点M作垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的
8、三角形与相像？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由10如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结、（1）求抛物线的函数关系式；（2）推断的形态，并说明理由；（3）把抛物线与直线的交点称为抛物线的不动点若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满意什么条件时，平移后的抛物线总有不动点11（2015孝感）在平面直角坐标系中，抛物线x2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线4经过A，C两点（1）求抛物线的解析式；（2）在上方的抛物线上有一动点P如图1，当点P运动到某位置时，以，为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时
9、点P的坐标；如图2，过点O，P的直线交于点E，若：3：8，求k的值12（2015无锡）一次函数的图象如图所示，它与二次函数24的图象交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C（1）求点C的坐标；（2）设二次函数图象的顶点为D若点D与点C关于x轴对称，且的面积等于3，求此二次函数的关系式；若，且的面积等于10，求此二次函数的关系式13（2015济宁）如图，E的圆心E（3，0），半径为5，E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B（1）求抛物线的解析式；（2）推断直线l与E的
10、位置关系，并说明理由；（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的间隔 最小时求出点P的坐标及最小间隔 14（2015佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路途可以用二次函数x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数刻画（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得，求的面积；（4）在上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），的面积等于的面积请干脆写出点M的坐标15（2015甘孜州）如图，已知抛物线252（a0）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B（1）求抛物线的解析式；（2）求直线的解析式；（3）若点N是抛物线上
11、的动点，过点N作x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否可以与相像（解除全等的状况）？若能，恳求出全部符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由16（2015连云港）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线2交于A，B两点，其中点A的横坐标是2（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标（2）在x轴上是否存在点C，使得是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由（3）过线段上一点P，作x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，3的长度最大？最大值是多少？17（2015赤峰）已知二次函数23a经过点A（1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点
12、B，抛物线的顶点为D（1）求此二次函数解析式；（2）连接、，求证：是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由18（2015贵阳）如图，经过点C（0，4）的抛物线2（a0）与x轴相交于A（2，0），B两点（1）a0，b240（填“”或“”）；（2）若该抛物线关于直线2对称，求抛物线的函数表达式；（3）在（2）的条件下，连接，E是抛物线上一动点，过点E作的平行线交x轴于点F是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满意条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由19（2015
13、宁德）已知抛物线2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（0，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线的函数表达式和的度数；（3）P为线段上一点，连接，若，求点P的坐标20（2015盘锦）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线23交x轴于A（1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段上一动点，连接，将线段绕点D顺时针旋转90得到线段，过点E作直线lx轴于H，过点C作l于F（1）求抛物线解析式；（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段的长；（3）在（2）的条件下：连接，求的值；摸索究在直线l上，是否存在点G，使45？若存在，请干脆写
14、出点G的坐标；若不存在，请说明理由21（2015攀枝花）如图，已知抛物线x2与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线相交于点M，连接（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出D点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得与的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由22（2015黔南州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线x2过点A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，M是线段的中点，将线段绕点P顺
15、时针旋转90得线段，过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线交于点D（1）求b、c的值；（2）当t为何值时，点D落在抛物线上；（3）是否存在t，使得以A，B，D为顶点的三角形与相像？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由23（2015金华）如图，抛物线2（a0）与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点C在x轴正半轴上），为等腰直角三角形，且面积为4，现将抛物线沿方向平移，平移后的抛物线过点C时，与x轴的另一点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H（1）求a、c的值（2）连接，试推断是否为等腰三角形，并说明理由（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线或射线上，始终角边始终过点E
16、，另始终角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P、Q、E为顶点的三角形与全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由24（2015德州）已知抛物线2+42m与x轴交于点A（，0），B（，0），且=2，（1）求抛物线的解析式（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形的周长最小？若存在，请画出图形（保存作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标25（2015湖北）边长为2的正方形在平面直角坐标系
17、中的位置如图所示，点D是边的中点，连接，点E在第一象限，且，以直线为对称轴的抛物线过C，E两点（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点C动身，沿射线每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒过点P作于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与相像？（3）点M为直线上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请干脆写出满意条件的点的坐标；若不存在，请说明理由26（2015威海）已知：抛物线l1：x23交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴
18、于点D（0，）（1）求抛物线l2的函数表达式；（2）P为直线1上一动点，连接，当时，求点P的坐标；（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段长度的最大值27（2015东营）如图，抛物线经过A（2，0），B（，0），C（0，2）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在直线下方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求点D的坐标；（3）设点M是抛物线的顶点，试推断抛物线上是否存在点H满意90？若存在，恳求出点H的坐标；若不存在，请说明理由28（2015临沂）在平面直角坐标系中，O为原点，直线2x1与y轴交于点A，与直线x交于点B，点B关于原点的
19、对称点为点C（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q当四边形为菱形时，求点P的坐标；若点P的横坐标为t（1t1），当t为何值时，四边形面积最大？并说明理由29（2015自贡）如图，已知抛物线2（a0）的对称轴为直线1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B（1）若直线经过B、C两点，求直线和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1上找一点M，使点M到点A的间隔 与到点C的间隔 之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴1上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标30（2015丹东）如图，已知二次函数2的图象与y轴交
20、于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接、（1）请干脆写出二次函数2的表达式；（2）推断的形态，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请干脆写出此时点N的坐标；（4）若点N在线段上运动（不与点B、C重合），过点N作，交于点M，当面积最大时，求此时点N的坐标参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2016深圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将对折，使点O的对应点H落在直线上，折痕交x轴于点C（1）干脆写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在
21、直线上是否存在点P，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线的交点为T，Q为线段上一点，干脆写出的取值范围【考点】二次函数综合题【专题】压轴题；开放型【分析】（1）点A的坐标是纵坐标为0，得横坐标为8，所以点A的坐标为（8，0）；点B的坐标是横坐标为0，解得纵坐标为6，所以点B的坐标为（0，6）；由题意得：是的角平分线，所以，610，4，设，则8x由勾股定理得：3点C的坐标为（3，0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；（2）求得直线的解析式，依据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三角函数即可求得；（3）如图，
22、由对称性可知，当点Q与点B重合时，Q、H、A三点共线，获得最大值4（即为的长）；设线段的垂直平分线与直线的交点为K，当点Q与点K重合时，获得最小值0【解答】解：（1）点C的坐标为（3，0）（1分）点A、B的坐标分别为A（8，0），B（0，6），可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为（x3）（x8）将0，6代入抛物线的解析式，得（2分）过A、B、C三点的抛物线的解析式为（3分）（2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点D的坐标为，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G直线的解析式为26.4分）设点P的坐标为（x，26）解法一：如图，作交直线于点P，连接，作x轴于点M，即解得经检验是原方程的解此时点P的坐标为
23、（5分）但此时，即四边形的对边与平行但不相等，直线上不存在符合条件的点P（6分）解法二：如图，取的中点E，作点D关于点E的对称点P，作x轴于点N则，可得由，可得E点的坐标为（4，0），点P的坐标为（5分）时，点P不在直线上直线上不存在符合条件的点P（6分）（3）的取值范围是（8分）当Q在的垂直平分线上与直线的交点时，（如点K处），此时，则0，当Q在的延长线与直线交点时，此时最大，直线的解析式为：6，直线的解析式为：26，联立可得：交点为（0，6），6，10，4，的取值范围是：04【点评】此题考察了二次函数与一次函数以及平行四边形的综合学问，解题的关键是仔细识图，留意数形结合思想的应用2（201
24、5枣庄）如图，直线2与抛物线26（a0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段上异于A、B的动点，过点P作x轴于点D，交抛物线于点C（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求为直角三角形时点P的坐标【考点】二次函数综合题【专题】几何综合题；压轴题【分析】（1）已知B（4，m）在直线2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值（2）要弄清的长，实际是直线与抛物线函数值的差可设出P点横坐标，依据直线和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于
25、与P点横坐标的函数关系式，依据函数的性质即可求出的最大值（3）当为直角三角形时，依据直角顶点的不同，有三种情形，须要分类探讨，分别求解【解答】解：（1）B（4，m）在直线2上，4+2=6，B（4，6），A（，）、B（4，6）在抛物线26上，解得，抛物线的解析式为2x286（2）设动点P的坐标为（n，2），则C点的坐标为（n，2n286），（2）（2n286），=2n2+9n4，=2（n）2+，0，当时，线段最大且为（3）为直角三角形，i）若点P为直角顶点，则90由题意易知，y轴，45，因此这种情形不存在；）若点A为直角顶点，则90如答图31，过点A（，）作x轴于点N，则，过点A作直线，交x轴于
26、点M，则由题意易知，为等腰直角三角形，3，M（3，0）设直线的解析式为：，则：，解得，直线的解析式为：3 又抛物线的解析式为：2x286 联立式，解得：3或（与点A重合，舍去）C（3，0），即点C、M点重合当3时，2=5，P1（3，5）；）若点C为直角顶点，则902x286=2（x2）22，抛物线的对称轴为直线2如答图32，作点A（，）关于对称轴2的对称点C，则点C在抛物线上，且C（，）当时，2=P2（，）点P1（3，5）、P2（，）均在线段上，综上所述，为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）【点评】此题主要考察了二次函数解析式确实定、二次函数最值的应用以及直角三角形的断定、函数图象交
27、点坐标的求法等学问3（2015酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的周长最小？若存在，恳求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接，在直线的下方的抛物线上，是否存在一点N，使的面积最大？若存在，恳求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【专题】压轴题【分析】（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为（x1）（x5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；（
28、2）点A关于对称轴的对称点A的坐标为（6，4），连接交对称轴于点P，连接，此时的周长最小，可求出直线的解析式，即可得出点P的坐标（3）在直线的下方的抛物线上存在点N，使面积最大设N点的横坐标为t，此时点N（t，t24）（0t5），再求得直线的解析式，即可求得的长与的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案【解答】解：（1）依据已知条件可设抛物线的解析式为（x1）（x5），把点A（0，4）代入上式得：，（x1）（x5）24=（x3）2，抛物线的对称轴是：3；（2）P点坐标为（3，）理由如下：点A（0，4），抛物线的对称轴是3，点A关于对称轴的对称点A的坐标为（6，4）如图1，连接交对称轴于点P，
29、连接，此时的周长最小设直线的解析式为，把A（6，4），B（1，0）代入得，解得，点P的横坐标为3，3=，P（3，）（3）在直线的下方的抛物线上存在点N，使面积最大设N点的横坐标为t，此时点N（t，t24）（0t5），如图2，过点N作y轴交于G；作于D，由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线的解析式为：4，把代入得：4，则G（t，4），此时：4（t24）=t2+4t，5，S（t2+4t）5=2t2+102（t）2+，当时，面积的最大值为，由，得：24=3，N（，3）【点评】本题主要考察了二次函数与方程、几何学问的综合应用，解题的关键是方程思想与数形结合思想的敏捷应用4（2015阜新）如图，抛
30、物线x2交x轴于点A（3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且S4，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段上的一动点，作x轴，交抛物线于点D，求线段长度的最大值【考点】二次函数综合题【专题】压轴题【分析】（1）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值；（2）设P点坐标为（x，x223），依据S4S列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；（3）先运用待定系数法求出直线的解析式为3，再设Q点坐标为（x，3），则D点坐标为（x，x2+2x3），然后用含x的代数式表示，依据二次函数的性质即可
31、求出线段长度的最大值【解答】解：（1）把A（3，0），C（0，3）代入x2，得，解得故该抛物线的解析式为：x223（2）由（1）知，该抛物线的解析式为x223，则易得B（1，0）S4S，3|x223413整理，得（1）2=0或x2+2x7=0，解得1或12则符合条件的点P的坐标为：（1，4）或（1+2，4）或（12，4）；（3）设直线的解析式为，将A（3，0），C（0，3）代入，得，解得即直线的解析式为3设Q点坐标为（x，3），（3x0），则D点坐标为（x，x223），（x223）（3）=x23（）2+，当时，有最大值【点评】此题考察了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及
32、三角形面积、线段长度问题此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想5（2015荆门）如图，在矩形中，5，4，点D为边上一点，将沿直线折叠，使点B恰好落在边上的点E处，分别以，所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系（1）求的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；（2）一动点P从点C动身，沿以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点动身，沿以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停顿运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，；（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，
33、恳求出M点坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【专题】压轴题【分析】（1）由折叠的性质可求得、，在中，由勾股定理可求得，设，在中，由勾股定理可求得m的值，可求得D点坐标，结合C、O两点，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）用t表示出、的长，可证明，可得到，可求得t的值；（3）可设出N点坐标，分三种状况为对角线，为对角线，为对角线，依据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得M点的横坐标，再代入抛物线解析式可求得M点的坐标【解答】解：（1）5，4，在中，3，设，则4m，3，53=2，在中，由勾股定理可得222，即m2+22=（4m）2，解得，D（，5），C（4，0），
34、O（0，0），设过O、D、C三点的抛物线为（4），5=a（+4），解得，抛物线解析式为（4）2；（2）2t，52t，在和中，（），52，；（3）抛物线的对称轴为直线2，设N（2，n），又由题意可知C（4，0），E（0，3），设M（m，y），当为对角线，即四边形是平行四边形时，则线段的中点横坐标为=1，线段中点横坐标为，相互平分，=1，解得2，又M点在抛物线上，22+2=16，M（2，16）；当为对角线，即四边形是平行四边形时，则线段的中点横坐标为，线段中点横坐标为=3，相互平分，=3，解得6，又M点在抛物线上，（6）2+（6）=16，M（6，16）；当为对角线，即四边形是平行四边形时，则M为抛
35、物线的顶点，即M（2，）综上可知，存在满意条件的点M，其坐标为（2，16）或（6，16）或（2，）【点评】本题主要考察二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的断定和性质、折叠的性质、平行四边形的性质等学问点在（1）中求得D点坐标是解题的关键，在（2）中证得全等，得到关于t的方程是解题的关键，在（3）中留意分类探讨思想的应用本题考察学问点较多，综合性较强，难度适中6（2015河南）如图，边长为8的正方形的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（4，0），连接、（1）请干脆写出抛物线的解析
36、式；（2）小明探究点P的位置发觉：当P与点A或点C重合时，与的差为定值，进而猜测：对于随意一点P，与的差为定值，请你推断该猜测是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使的周长最小的点P也是一个“好点”请干脆写出全部“好点”的个数，并求出周长最小时“好点”的坐标【考点】二次函数综合题【专题】压轴题【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）首先表示出P，F点坐标，再利用两点之间间隔 公式得出，的长，进而求出即可；（3）依据题意当P、E、F三点共线时，最小，进而得出P点坐标以及利用的面积可以等于4到13全部整数
37、，在面积为12时，a的值有两个，进而得出答案【解答】解：（1）边长为8的正方形的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，C（0，8），A（8，0），设抛物线解析式为：2，则，解得：故抛物线的解析式为：x2+8；（2）正确，理由：设P（a，a2+8），则F（a，8），D（0，6），2+2，8（a2+8）2，2；（3）在点P运动时，大小不变，则与的和最小时，的周长最小，2，2，2，当P、E、F三点共线时，最小，此时点P，E的横坐标都为4，将4代入x2+8，得6，P（4，6），此时的周长最小，且的面积为12，点P恰为“好点，的周长最小时”好点“的坐标为：（4，6），由（2）得：P（a，a2+8
38、），点D、E的坐标分别为（0，6），（4，0），当4a0时，S（4）（a2+8）（a2+86）=；4S12，当0时，S4，8a4时，S（a2+8+6）（a）46（a4）（a2+8）=a234，4S13，当8时，S12，的面积可以等于4到13全部整数，在面积为12时，a的值有两个，所以面积为整数时好点有11个，经过验证周长最小的好点包含这11个之内，所以好点共11个，综上所述：11个好点，P（4，6）【点评】此题主要考察了二次函数综合以及两点间隔 公式以及配方法求二次函数最值等学问，利用数形结合得出符合题意的答案是解题关键7（2015桂林）如图，已知抛物线x2与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（
39、8，0）和点E，动点C从原点O开场沿方向以每秒1个单位长度挪动，动点D从点B开场沿方向以每秒1个单位长度挪动，动点C、D同时动身，当动点D到达原点O时，点C、D停顿运动（1）干脆写出抛物线的解析式：x2+38；（2）求的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？（3）当的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使的面积等于的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【专题】压轴题【分析】（1）将点A（0，8）、B（8，0）代入抛物线x2即可求出抛物线的解析式为：x2+38；（2）依据题意得：当D点运动t秒时，然后由点
40、A（0，8）、B（8，0），可得8，8，从而可得8t，然后令0，求出点E的坐标为（2，0），进而可得2，2+810t，然后利用三角形的面积公式即可求的面积S与D点运动时间t的函数解析式为：t2+5t，然后转化为顶点式即可求出最值为：S最大=；（3）由（2）知：当5时，S最大=，进而可知：当5时，5，3，进而可得，从而确定C（0，5），D（3，0）然后依据待定系数法求出直线的解析式为：5，然后过E点作，交抛物线与点P，然后求出直线的解析式，与抛物线联立方程组解得即可得到其中的一个点P的坐标，然后利用面积法求出点E到的间隔 为：，然后过点D作，垂足为N，且使，然后求出N的坐标，然后过点N作，与抛物
41、线交与点P，然后求出直线的解析式，与抛物线联立方程组求解即可得到其中的另两个点P的坐标【解答】解：（1）将点A（0，8）、B（8，0）代入抛物线x2得：，解得：3，8，抛物线的解析式为：x2+38，故答案为：x2+38；（2）点A（0，8）、B（8，0），8，8，令0，得：x2+38=0，解得：x18，x2=2，点E在x轴的负半轴上，点E（2，0），2，依据题意得：当D点运动t秒时，8t，10t，（10t）t2+5t，即t2+5（t5）2+，当5时，S最大=；（3）由（2）知：当5时，S最大=，当5时，5，3，C（0，5），D（3，0），由勾股定理得：，设直线的解析式为：，将C（0，5），D（
42、3，0），代入上式得：，5，直线的解析式为：5，过E点作，交抛物线与点P，如图1，设直线的解析式为：，将E（2，0）代入得：，直线的解析式为：x，将x，与x2+38联立成方程组得：，解得：，P（，）；过点E作，垂足为G，当5时，S，过点D作，垂足为N，且使，过点N作x轴，垂足为M，如图2，可得，即：，解得：，由勾股定理得：，N（，），过点N作，与抛物线交与点P，如图2，设直线的解析式为：，将N（，），代入上式得：，直线的解析式为：，将，与x2+38联立成方程组得：，解得：，P（8，0）或P（，），综上所述：当的面积最大时，在抛物线上存在点P（点E除外），使的面积等于的最大面积，点P的坐标为：P
43、（，）或P（8，0）或P（，）【点评】此题考察了二次函数的综合题，主要涉及了以下学问点：用待定系数法求函数关系式，函数的最值问题，三角形的面积公式及用二元一次方程组求交点问题等解决（3）用到的学问点是两条平行线间的间隔 到处相等8（2015南昌）如图，已知二次函数L1：223（a0）和二次函数L2：a（1）2+1（a0）图象的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F（1）函数223（a0）的最小值为3，当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是1x1（2）当时，求a的值，并推断四边形的形态（干脆写出，不必证明）（3）若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A（m，0），当为等腰三角形时，求方程