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1、第12讲 与相交有关概念与平行线的断定考点方法破译1理解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.2驾驭对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.3驾驭直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.经典考题赏析【例1】如图，三条直线AB、CD、EF相交于点O，一共构成哪几对对顶角？一共ABCDEF构成哪几对邻补角？【解法指导】对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.有6对对顶角. 12对邻补角.ABCDEFPQR【变式
2、题组】01如右图所示，直线AB、CD、EF相交于P、Q、R，那么：ARC的对顶角是 . 邻补角是 .中有几对对顶角，几对邻补角？02当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.【例】如下图，点O是直线AB上一点，OE、OF分别平分BOC、AOCABCEFO 求EOF的度数； 写出BOE的余角与补角.【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉与的角的定义，以与各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】OE、OF平分BOC、AOC EOCBOC，FOCAOC EOF
3、EOCFOCBOCAOC 又BOCAOC180 EOF18090 BOE的余角是：COF、AOF；BOE的补角是：AOE.【变式题组】01如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分EOC，且EOC100，那么BOD的度数是 A20 B40 C50 D80EAACDO第1题图1432第2题图02杭州12362，那么4 .ABOl2l1【例】如图，直线l1、l2相交于点O，A、B分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成以下作图：经过点A画直线l2的垂线.画出表示点B到直线l1的垂线段.【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段.【变式题组】01P为直线l外一点，A、B、C是直线l上三点，且PA4cm
4、，PB5cm，PC6cm，那么点P到直线l的间隔 为 A4cm B5cm C不大于4cm D不小于6cm02 如图，一辆汽车在直线形的马路AB上由A向B行驶，M、N为位于马路两侧的村庄； 设汽车行驶到路AB上点P的位置时间隔 村庄M最近.行驶到AB上点Q的位置时，间隔 村庄N最近，请在图中的马路上分别画出点P、Q的位置. 当汽车从A动身向B行驶的过程中，在 的路上间隔 M村越来越近.在 的路上间隔 村庄N越来越近，而间隔 村庄越来越远.FBAOCDE【例】如图，直线AB、CD相交于点O，OECD，OFAB，DOF65，求BOE和AOC的度数.【解法指导】图形的定义现可以作为断定图形的根据，也可
5、以作为该图形具备的性质，由图可得：AOF90，OFAB 【变式题组】CDBAEO01如图，假设EOAB于O，直线CD过点O，EODEOB13，求AOC、AOE的度数.02如图，O为直线AB上一点，BOC3AOC，OC平分AODBACDO求AOC的度数；试说明OD与AB的位置关系.ABAED03如图，ABBC于B，DBEB于B，并且CBEABD12，请作出CBE的对顶角，并求其度数.CFEBAD142365【例】如图，指出以下各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称：1和2：1和3：1和6：2和6：2和4：3和5：3和4：【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：
6、首先弄清所推断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最终确定它们的名称.ABDCHEF【变式题组】01如图，平行直线AB、CD与相交直线EF，GH相交，图中的同旁内角共有 A4对 B8对 C12对 D16对71568412乙丙3234561234甲02如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.1ABC23456703如图，按各组角的位置推断错误的选项是 A1和2是同旁内角 B3和4是内错角C5和6是同旁内角D5和7是同旁内角【例】如图，根据以下条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由ABCDOCBDADB；BCDADC180AC
7、DBAC【解法指导】图中有即即有同旁内角，有“ 即有内错角.【解法指导】由CBDADB，可推得ADBC；根据内错角相等，两直线平行.由BCDADC180，可推得ADBC；根据同旁内角互补，两直线平行.由ACDBAC可推得ABDC；根据内错角相等，两直线平行.ABDEF【变式题组】01如图，推理填空. A ACED C ACED C A ABDF 02如图，AD平分BAC，EF平分DEC，且12，试说明DE与AB的位置关系. 解：AD是BAC的平分线ABCDEF12 BAC21角平分线定义 又EF平分DEC 又12 ABDE ABCDE03如图，AE平分CAB，CE平分ACDCAEACE90，求
8、证：ABCD04如图，ABCACB，BE平分ABC，CD平分ACB，EBFEFB，求证：CDEF.ABCDEFl1l2l3l4l5l6图l1l2l3l4l5l6图【例】如图，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在全部的交角中，至少有一个角小于31.【解法指导】如图，我们可以将全部的直线挪动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图.证明：假设图中的12个角中的每一个角都不小于31那么1231372360这与一周角等于360冲突所以这12个角中至少有一个角小于31【变式题组】01平面内有18条两两不平行的直线，试证：在全部的交角中至少有一个角小于11.02在同一平面内有2021条直线a1,a2,，a
9、2021,假如a1a2,a2a3，a3a4，a4a5那么a1与a2021的位置关系是 .03nn2个点P1，P2，P3Pn.在同一平面内没有任何三点在同始终线上，设Sn表示过这几个点中的随意两个点所作的全部直线的条数，明显：S21，S33，S46，S510那么Sn .演练稳固反响进步01如图，EACADB90.以下说法正确的选项是 A的余角只有B B的邻补角是DAC CACF是的余角 D与ACF互补AEBCFDABCDFEMN第1题图第2题图ABDC第4题图02如图，直线AB、CD被直线EF所截，那么EMB的同位角为 AAMF BBMF CENC DEND03以下语句中正确的选项是 A在同一平
10、面内，一条直线只有一条垂线B过直线上一点的直线只有一条C过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D垂线段就是点到直线的间隔 04如图，BAC90，ADBC于D，那么以下结论中，正确的个数有 ABAC AD与AC互相垂直 点C到AB的垂线段是线段AB 线段AB的长度是点B到AC的间隔 垂线段BA是点B到AC的间隔 ADBDA0 B2 C4 D605点A、B、C是直线l上的三点，点P是直线l外一点，且PA4cm，PB5cm，PC6cm，那么点P到直线l的间隔 是 A4cm B5cm C小于4cm D不大于4cm06将一副直角三角板按图所示的方法旋转直角顶点重合，那么AOBDOC .ABCDO
11、ABCDEFGHabc第6题图第7题图第9题图12345678107如图，矩形ABCD沿EF对折，且DEF72，那么AEG .08在同一平面内，假设直线a1a2,a2a3,a3a4,那么a1 a10.a1与a10不重合09如下图，直线a、b被直线c所截，现给出以下四个条件：15，17，23180，47，其中能推断ab的条件的序号是 .10在同一平面内两条直线的位置关系有 .ACDEB11如图，BE平分ABD，DE平分CDB，且EABEEDC试说明ABCD？12如图，BE平分ABC，CF平分BCD，12，那么直线AB与CD的位置关系如何？ABCDEF1213如图，推理填空： A ACED 2 A
12、CED A 180ABFD14如图，请你填上一个适当的条件 使ADBCABCDEF第14题图培优晋级奥赛检测01平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是 A1，3 B0，1，3 C0，2，3 D0，1，2，3ABCDEF02平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成 部分.A60 B55 C50 D4503平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有 个交点.A35 B40 C45 D5504如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有 _交点.05如图是某施工队一张破损的图纸，a、b是一个角的两边，如今要在图纸上画一条与这个角
13、的平分线平行的直线，请你扶植这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性.ab 06平面上三条直线互相间的交点的个数是 A3 B1或3 C1或2或3 D不肯定是1，2，307请你在平面上画出6条直线没有三条共点使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简洁说明画法？ 08平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么支配才能办到？ ABC09如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB、AC，那么两条对角线的夹角等于 A60 B75 C90 D13510在同一平面内有9条直线如何支配才能满意下面的两个条件？ 随意两条直线都有交点； 总共有29个交点.第13讲 平行线的
14、性质与其应用考点方法破译1驾驭平行线的性质，正确理解平行线的断定与性质定理之间的区分和联络；2初步理解命题，命题的构成，真假命题、定理；3敏捷运用平行线的断定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的敏捷应用.经典考题赏析【例】如图，四边形ABCD中，ABCD， BCAD，A38，求CCBAD的度数. 【解法指导】两条直线平行，同位角相等；两条直线平行，内错角相等；两条直线平行，同旁内角互补.平行线的性质是推导角关系的重要根据之一，必需正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.【解】：ABCD BCADAB180 BC180(两条直线平行，同旁内角互
15、补)AC A38 C38【变式题组】01如图，ADBC，点E在BD的延长线上，假设ADE155，那么DBC的度数为 A155B50C45D25第1题图EDCBA321l1l2第2题图EABD12CF第3题图02安徽如图，直线l1 l2,155，265，那么3为 A 50 B 55 C 60 D6503如图，FCABDE，：D：B2: 3: 4, 试求、D、B的度数.EAFGDCB【例】如图，ABCDEF，GCCF，B60，EFC45，求BCG的度数.【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但留意看清角的位置.【解】ABCDEF BBCD FFCD
16、(两条直线平行，内错角相等)又B60 EFC45 BCD60 FCD45 又GCCF GCF90垂直定理 GCD904545 BCG604515【变式题组】01如图，AFBC, 且AF平分EAB，B48，那么C的的度数_BAMCDNP第3题图ABCDOEFAEBC第1题图第2题图02.如图,ABCACB120，BO、CO分别ABC、ACB，DE过点O与BC平行，那么BOC_03如图，AB MPCD, MN平分AMD，A40，D50，求NMP的度数.【例】如图，12，CD 求证：AF. 【解法指导】因果转化，综合运用.逆向思维：要证明AF，即要证明DFAC 要证明DFAC, 即要证明DDBC18
17、0，即：CDBC180；要证明CDBC180即要证明DBEC 要证明DBEC即要证明13.CDABEF132证明：12，23对顶角相等所以13 DBEC同位角相等两直线平行DBCC180两直线平行，同旁内角互补CD DBCD180 DFAC同旁内角，互补两直线平行AF两直线平行，内错角相等GB3CA1D2EF第1题图【变式题组】01如图，ACFG，12，求证：DEFGA2CF3ED1B第2题图02如图，12180，3B 求证：AEDACB03如图，两平面镜、的夹角，入射光线AO平行O/OB于入射到上，经两次反射后的出射光线OB平行于，那么角等于_.【例】如图，EGBC，ADBC，13. 31A
18、BGDCE求证：AD平分BAC【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，细致分析条件给我们带来的结论，对于不能干脆干脆得出结论的条件，要精确把握住这些条件的意图.题目中的：13证明：EGBC，ADBC EGCADC90垂直定义EGAD同位角相等，两条直线平行 13 3BAD两条直线平行，内错角相等 AD平分BAC角平分线定义【变式题组】DA2E1BC01如图，假设AEBC于E，12，求证：DCBCBFEACD02如图，在ABC中，CEAB于E,DFAB于F, ACED，CE平分ACB 求证：EDFBDF. 3如图，ABCD，B40，CN是BCE的平分线. CMCN，求：BCM的度数.ADMCNEB
19、【例】，如图，ABEF，求证：ABCBCFCFE360FED21ABC【解法指导】从考虑360这个特殊角入手绽开联想，分析类比，联想周角.构造两个“平角或构造两组“互补的角.过点C作CDAB即把条件ABEF联络起来，这是关键.【证明】：过点C作CDAB CDAB 1ABC180(两直线平行，同旁内角互补) 又ABEF，CDEF平行于同一条直线的两直线平行 2CFE180(两直线平行，同旁内角互补) ABC12CFE180180360 即ABCBCFCFE360【变式题组】01如图，ABCD，分别探究下面四个图形中APC和PAB、PCD的关系，请你从所得四个关系中选出随意一个，说明你探究的结论的
20、正确性.结论：_ _ _BAPCACCDAAPCBDPBPDBD【例】如图，ABCD，那么、之间的关系是3214DEBCAFH180PBCDAP【解法指导】根本图形擅长从困难的图形中找到根本图形，运用根本图形的规律翻开思路.【解】过点E作EHAB 过点F作FGAB ABEH 1两直线平行，内错角相等又FGAB EHFG平行于同一条直线的两直线平行23 又ABCD FGCD平行于同一条直线的两直线平行4180两直线平行，同旁内角互补134124180【变式题组】01如图， ABEF，C90，那么、的关系是 A B180C90 D90FDEBCAFDEBCA02如图，ABCD，ABE和CDE的平分
21、线相交于点F，E140，求BFD的度数.【例】如图，平移三角形ABC，设点A挪动到点A/，画出平移后的三角形A/B/C/.BCAAlBC【解法指导】抓住平移作图的“四部曲定，找，移，连.定：确定平移的方向和间隔 .找：找出图形的关键点.移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点. 连: 按原图形顺次连接对应点.【解】连接AA/ 过点B作AA/的平行线l 在l截取BB/AA/,那么点B/就是的B对应点，用同样的方法作出点C的对应点C/.连接A/B/，B/C/，C/A/就得到平移后的三角形A/B/C/.【变式题组】01如图，把四边形ABCD按箭头所指的方向平移21cm，作出平移后的图形.D
22、BCA02如图,三角形ABC中，C90, BC4，AC4，现将ABC沿CB方向平移到A/B/C/的位置，假设平移间隔 为3, 求ABC与A/B/C/的重叠部分的面积. BB/AA/CC/03原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC方向平移BE的间隔 ，就得到此图形，求阴影部分的面积.单位：厘米D538AFCBE西B30A北东南演练稳固 反响进步01如图，由A测B得方向是 A南偏东30B南偏东60C北偏西30 D北偏西6002命题：对顶角相等；相等的角是对顶角；垂直于同一条直线的两直线平行；平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有 A1个B2个C3个D4个03一个学员在广场上练
23、习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向一样，两次拐弯的角度可能是 A第一次向左拐30，第二次向右拐30B第一次向右拐50，第二次向左拐130C第一次向左拐50，第二次向右拐130D第一次向左拐60，第二次向左拐12004以下命题中，正确的选项是 A对顶角相等B同位角相等 C内错角相等D同旁内角互补05学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透亮的纸得到的如图P .P .P .P .从图中可知，小敏画平行线的根据有 两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行.ABCD06在A、B两座工厂之间要修建一
24、条笔直的马路，从A地测得B地的走向是南偏东52.现A、B两地要同时开工，假设干天后，马路精确对接，那么B地所修马路的走向应当是 A北偏东52 B南偏东52 C西偏北52 D北偏西3807以下几种运动中属于平移的有 程度运输带上的砖的运动；笔直的高诉马路上行驶的汽车的运动忽视车轮的转动；升降机上下做机械运动；足球场上足球的运动.A1种B2种C3种D4种08如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置不能出格09视察图，哪个图是由图平移而得到的 10如图，ADBC，ABCD，AEBC，现将ABE进展平移. 平移方向为射线AD的方向. 平移间隔 为线段BC的
25、长，那么平移得到的三角形是图中 图的阴影部分. DEABCEDBCEDABCEDABCEDABC11推断以下命题是真命题还是假命题，假如是假命题，举出一个反例.对顶角是相等的角；相等的角是对顶角；两个锐角的和是钝角；同旁内角互补，两直线平行.12把以下命题改写成“假如那么的形式，并指出命题的真假.互补的角是邻补角；两个锐角的和是锐角；直角都相等.13如图，在湖边修一条马路.假如第一个拐弯处A120，第二个拐弯处B150，第三个拐弯处C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问C是多少度？并说明理由. 150120DBCE湖14如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E点时，与两岸码头B、D成64
26、角. 当小船行驶到河中F点时，看B点和D点的视线FB、FD恰好有12，34的关系. 你能说出此时点F与码头B、D所形成的角BFD的度数吗？4321ABEFCD15如图，ABCD，12，试说明E和F的关系.4P231ABEFCD培优晋级奥赛检测FADECB01如图，等边ABC各边都被分成五等分，这样在ABC内能与DEF完成重合的小三角形共有25个，那么在ABC内由DEF平移得到的三角形共有 个.B.O. A02如图，一足球运发动在球场上点A处看到足球从B点沿着BO方向匀速滚来，运发动马上从A处以匀速直线奔跑前去拦截足球.假设足球滚动的速度与该运发动奔跑的速度一样，请标出运发动的平移方向与最快能截
27、住足球的位置.运发动奔跑于足球滚动视为点的平移CB1AA1C1D1BD03如图，长方体的长AB4cm，宽BC3cm，高AA12cm. 将AC平移到A1C1的位置上时，平移的间隔 是_,平移的方向是_.04如图是图形的操作过程五个矩形程度方向的边长均为a，竖直方向的边长为b；将线段A1A2向右平移1个单位得到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1 即阴影部分如图;将折现A1A2 A3向右平移1个单位得到B1B2B3，得到封闭图形A1A2 A3B3B2B1 即阴影部分如图; 在图中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影.请你分别写出上述三个阴
28、影部分的面积S1_, S2_, S3_.联想与探究：如图，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路小路在任何地方的程度宽度都是1个单位，请你揣测空白部分草地面积是A2B2A3B3B4A4A1B1草地 草地 A1B2B1A2B2A1B1A3B3A2多少？05一位模型赛车手遥控一辆赛车，从前进一半，然后原地逆时针旋转0180，被称为一次操作，假设5次后发觉赛车回到动身点，那么角为 A720B108或144C144D720或14406两条直线a、b互相平行，直线a上顺次有10个点A1、A2、A10，直线b上顺次有10个点B1、B2、B9，将a上每一点与b上每一点相连可得线段.假设没有三条线段相交于同一点
29、，那么这些选段的交点个数是 A90 B1620 C6480 D200607如图，ABCD，B100，EF平分BEC，EGEF. 求BEG和DEG.FEBACGD100FEBACGD08如图，ABCD，BAE30，DCE60，EF、EG三等分AEC 问：EF与EG中有没有与AB平行的直线？为什么？09如图，直线CBOA，COAB100，E、F在CB上，且满意FOBAOB，OE平分COF.求EOB的度数；假设平行挪动AB，那么OBC：OFC的值是否随之发生变更？假设变更，找出变更规律；假设不变，求出这个比值.FEBACO在平行挪动AB的过程中，是否存在某种状况，使OECOBA？假设存在，求出其度数
30、；假设不存在，说明理由. 10平面上有5条直线，其中随意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36,请说明理由.ABCD11如图，正方形ABCD的边长为5,把它的对角线AC分成n段，以每一小段为对角线作小正方形，这n个小正方形的周长之和为多少？12如图将面积为a2的小正方形和面积为b2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？BDCFAE第06讲 实 数考点方法破译1平方根与立方根：假设a(a0)那么x叫做a的平方根，记为：a的平方根为x，其中a的平方根为x叫做a的算术平方根假设x3a，那么x叫做a的立方根记为：a的立方根为x 2无限不循环小数叫做无理数，
31、有理数和无理数统称实数实数与数轴上的点一一对应任何有理数都可以表示为分数p、q是两个互质的整数，且q0的形式3非负数：实数的肯定值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根或偶次方根都是非负数即0，0n为正整数，0(a0) 经典考题赏析【例1】假设2m4与3m1是同一个数的平方根，求m的值【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数2m 4与3ml是同一个数的平方根，2m4 3ml0，5m5，ml【变式题组】01一个数的立方根与它的算术平方根相等，那么这个数是_02m是小于的最大整数，那么m的平方根是_03的立方根是_04如图，有一个数值转化器，当输入的x为64时，输出的y是_输入x取算
32、术平方根输出y是无理数是有理数【例2】全国竞赛非零实数a、b满意，那么ab等于( )A1 B 0 C1 D2【解法指导】假设有意义，a、b为非零实数，b20a30 a3，应选C【变式题组】0l在实数范围内，等式0成立，那么ab_02假设，那么的平方根是_03天津假设x、y为实数，且，那么的值为 A1 B1 C2 D204x是实数，那么的值是( )A B C D无法确定【例3】假设a、b都为有理效，且满意求ab的平方根【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商除数不为0还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商除数不为0不肯定是无理数， 即，a b12 1325ab的平方根为：【变式题组】01西安市竞赛题m、n是有理数，且2m(32)n70求m、n02盼望杯试题设x、y都是有理数，且满意方程xy40，那么xy_ 【例4】假设a为2的整数部分，b1是9的平方根，且，求ab的值 【解法指导】一个实数由小数部分与整数部分组成，2整数部分小数部分整数部分估算可得2，那么小数部分2 24a2，b13 ，b2或4 ab ，a2， b4，即ab6【变式题组】01假设3的小数部分是a，3的小数部分是b，那么ab的值为_02