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1、2010年第七届苏北数学建模联赛题 目 温室中的绿色生态臭氧病虫害防治摘要本文针对题目中所给的五个问题分别进行以下数学建模：问题一：我们将害虫分为两类：即在水稻一个生长周期内只繁殖一次与繁殖多次。通过害虫数量的变化情况来反映病虫害与作物之间的关系。前者在作物充足的假设下对生长作物的危害程度符合一元线性函数。后者在作物有限的情况下符合Logistic模型。并以中华稻蝗和稻纵卷叶螟为例验证了模型的合理性。问题二：农药与农作物之间是间接关系，农药是通过控制病虫害密度作用于农作物的。农药密度与病虫害密度之间的关系类似与捕食与被捕食的模型，当施用锐劲特后，病虫密度会骤减，但随着药物残留量的减少甚至失效，
2、病虫害又会回升，较好地符合振动模型。问题三：根据附件中的数据，利用Excel进行数据拟合，分别得到臭氧杀灭的病菌的比例与时间.臭氧浓度的函数关系式为：S(t)=44.98lnt-4.666 ,S（c）=-1.064c2+22.54c-19.39并引入强度调控系数K,得到时间与浓度对病虫害的综合作用函数:S(c,t)=KS(c)*S(t)，为了综合地反映臭氧对温室植物与病虫害的作用，我们建立了评价函数：p=kct+NS(c,t)d, ，p的数值越大，说明臭氧对植物与害虫的综合作用越好。问题四:我们考虑使用42根管道进行输送臭氧，设想在温室中沿着长和宽的方向依次整齐的排放着直径为3.5m的内切球，
3、每根管道的端口设置在相应的球心处。把臭氧抽象为由管端向四周扩散的点源，运用扩散规律得到在时刻t每一内切球范围内任一点的臭氧浓度公式：通过模拟出臭氧的动态分布图，可以看出该模型具有扩散时间短，分布均匀的特点。问题五. 我们给出了在水稻生产中杀虫剂的使用策略、并对温室中臭氧应用于病虫害防治的可行性进行了细致的分析。关键词：Logistic模型，振动模型，减产率，扩散规律，可行性分析温室中的绿色生态臭氧病虫害防治一 问题的重述2009年12月，哥本哈根国际气候大会在丹麦举行之后，温室效应再次成为国际社会的热点。如何有效地利用温室效应来造福人类，减少其对人类的负面影响成为全社会的聚焦点。臭氧对植物生长
4、具有保护与破坏双重影响，其中臭氧浓度与作用时间是关键因素，臭氧在温室中的利用属于摸索探究阶段。根据背景材料和数据，回答以下问题：（1）在自然条件下，建立病虫害与生长作物之间相互影响的数学模型；以中华稻蝗和稻纵卷叶螟两种病虫为例，分析其对水稻影响的综合作用并进行模型求解和分析。（2）在杀虫剂作用下，建立生长作物、病虫害和杀虫剂之间作用的数学模型；以水稻为例，给出分别以水稻的产量和水稻利润为目标的模型和农药锐劲特使用方案。（3）受绿色食品与生态种植理念的影响，在温室中引入O3型杀虫剂。建立O3对温室植物与病虫害作用的数学模型，并建立效用评价函数。需要考虑O3浓度、合适的使用时间与频率。（4）通过分
5、析臭氧在温室里扩散速度与扩散规律，设计O3在温室中的扩散方案。可以考虑利用压力风扇、管道等辅助设备。假设温室长50 m、宽11 m、高3.5 m，通过数值模拟给出臭氧的动态分布图，建立评价模型说明扩散方案的优劣。（5）请分别给出在农业生产特别是水稻中杀虫剂使用策略、在温室中臭氧应用于病虫害防治的可行性分析报告。二 模型基本假设1. 生长作物能够无限制地满足中华稻蝗的生存需要。2. 生长作物的产量对于稻纵卷叶螟的生存需要总是有限的。3. 中华稻蝗和稻纵卷叶螟之间不存在竞争关系。4. 假设农药施用第一次后，中华稻蝗数量减到最低，忽略其对水稻造成的减产。5. 稻纵卷叶螟数量在施用后最低值为3.75只
6、/m26. 每根管道每次输入的臭氧可以看作一个点源模型。三 主要符号说明D:生长作物的面积x(t):t时刻该害虫的密度y(t):t时刻农药浓度y(n)：每亩水稻的产量n：在小麦自然周期内使用农药次数y(n)：每亩水稻的产量L(n)：每亩水稻的利润S：臭氧消灭的害虫比例T:温室内的温度c:臭氧的浓度t:臭氧持续作用时间p:臭氧对作物和病虫害作用评价函数Q：一次性输入的臭氧总量四 模型的建立和求解问题一（一）在自然条件下，建立的病虫害与生长作物之间的生长模型我们将作物害虫分为两类：一类是在水稻生长的一个自然周期内只繁殖一次的 比如蝗虫类，假设生长作物资源丰富，足以满足数量在一定范围内的害虫的生存需
7、要，即种群内部不存在竞争关系。该类病虫对生长作物的影响程度大致符合一次函数的关系：Y=aX+bY代表减产率 X代表病虫害的密度说明在这种情况下，生长作物的损害程度（以减产率衡量）随着害虫种群数量（以种群密度衡量）的增加而越发严重。另外一种是：在水稻的一个自然周期内繁殖多次的害虫，比如： 稻纵卷叶螟，该类害虫大致符合的是阻滞增长的模型（Logistic模型），阻滞作用体现在对害虫的增长率r的影响上，使得随着害虫数量x的增加而下降，将r表示为关于x的减函数r(x)，于是有 ， 1-1假设r(x)为x的线性函数，即 1-2R表示固有增长率， 记， 其中 为生长作物所能承受的最大害虫数，于是有 1-3
8、 将1-3代入1-1得 1-4 用分离变量法求解方程1-4得到1-5可见，害虫的数量与生长作物之间是相互影响，相互制约的关系，当害虫不断增加时，生长作物减产量不断加大；而生长作物的减产又使得害虫的食物来源减少，从而制约着害虫的继续增长（二）以中华稻蝗和稻纵卷叶螟两种病虫为例，分析其对水稻影响的综合作用由中华稻蝗和水稻作用的数据可得到图1-1图1-1纵坐标代表减产率 横坐标代中华稻蝗的密度 二者之间符合函数关系： Y=5.442X-5.966预测值和实际值之间的残差图如下图1-2所示：可以看出，在误差允许的范围内，生长作物的减产率与中华稻蝗的密度符合线性正相关的关系。图1-2由稻纵卷叶螟与水稻作
9、用的数据可以得到图1-3图1-3纵坐标代表作物减产率 横坐标代表稻纵卷叶螟的密度二者之间符合的函数关系是 Y=0.672，这个结果是上述模型中的一个特例，即稻纵卷叶螟处于生长作物能够满足种群生存需要的阶段。预测值与实际值之间的残差图如下图1-4所示，可以清晰地看到，在一定的误差范围内，该拟合函数值能很好的与实际值吻合。图1-4在该模型中，我们忽略中华稻蝗和稻纵卷叶螟两种害虫之间在生态空间上的重叠性，认为它们相对于水稻减产而言是一种“合作”的关系，即二者的作用满足加和性。则它们对水稻的综合影响作用可表示如下：Z= 5.442-5.966+ 0.672 = 其中Z表示水稻的总减产率，表示中华稻蝗的
10、密度。表示稻纵卷叶螟的密度 表示稻纵卷叶螟在时刻t的种群数量， D表示生长作物的面积问题二 在杀虫剂的条件下，建立生长作物、病虫害和杀虫剂之间的数学模型；以水稻为例，给出分别以水稻的产量和水稻的利润为目标的模型和农药锐劲特的使用方案。（一）振动模型假设：x(t)和y(t)分别表示t时刻该害虫的密度和农药浓度建立模型 2-1其中，a、b、c、d均是正数。方程有两个平衡解（与时间无关的常数解）O(0,0)以及R（x*，y*），其中x*=c/d，y*=a/b另外，它的轨迹满足方程对此方程求解，得方程2-1得首次积分为其中k是积分常数是第一象限的正定义函数，且当k0时，=k是包围点R（x*，y*）的闭
11、曲线。在任意时刻x(t)，y(t)满足方程=将此曲线绘制在x-y坐标面内，如图2-1所示y p4 y* p1 p3 p2x*x 图2-1在p4点农药浓度最大，所以害虫开始减少，农药残留浓度也在不断减少，当到达p1点时害虫数又开始回升，药物浓度继续降低。在p1点药物浓度由于农作物的受损加重而相对于农作物浓度上升到达p3点，随即害虫数量又开始减少，药物浓度会相对上升。这就是农药-害虫的振动模型。由题目可知： 锐劲特价格10万元/吨 锐劲特使用量 10 mg/kg肥料价格100元/亩 水稻种子5.6元/公斤 产量800公斤/亩 水稻出售价格2.28元（二）水稻产量模型：假设中华稻蝗的繁殖周期大于水稻
12、，所以当农药使用一次后，稻蝗引起的减产基本为零。那么减产的主要因素在于稻纵卷叶螟，其繁殖周期为2.4月，当农药施用第一次后害虫密度将为3.73只/m2,一只雌性稻纵卷叶螟可以产出100到200枚卵，假设成活率为10%，假设锐劲特的有效时间为20天。用y(n)表示一亩水稻的产量，n表示在小麦自然周期内实验农药次数， p表示减产率 y(n)=800*p减产率p=0.672e0.348x x表示害虫密度x=3.75*(d/365)*15+3.75 d表示失效后的天数d与n的关系d=(150-20n)/n则水稻产量： 锐劲特使用次数n的取值范围0,7（三）水稻利润模型 利润=产量*单价-肥料投入-种子
13、投入-农药投入 肥料投入每亩100元 种子投入：单价*每亩播种量，即5.6*2=11.2元 农药投入：理想亩产量*锐劲特使用量*单价，即800kg*10-5kg/kg*100/kg农药锐劲特使用方案：经数据处理可知至少得施用5次，如低于5次，减产率将趋近最大值n/次567利润/元9877122141111.5表2-1由上表2-1可以看出最好施用6次。联系实际，稻纵卷叶虫主要心叶为食（心叶是植物顶端长出的幼嫩小叶，害虫喜欢取食，以后逐渐长成真叶，即植物真正意义上的叶子）。当水稻抽穗以后可以减少农药的施用。水稻从出穗到成熟的过程叫结实期。这一过程约3055 天，所以我们可以适当的减少农药使用次数1
14、到2次。因此锐劲特的使用方案：在水稻长出心叶第一次施用锐劲特，其喷洒量为10mg/kg水稻，间隔25天喷洒第二次，一次喷洒四次，当第五次时，水稻已生长105天左右，农药使用量可以适当减少，例如减半。问题三建立O3对温室植物与病虫害作用的数学模型，并建立效用评价函数。通过使用Excel对附件中表5（臭氧浓度与真菌作用之间的实验数据）的分析，我们分别考虑S与t之间以及S与c之间的定量关系首先，通过Excel拟合的S与t之间的关系如图3-1所示:图3-1图3-2从上图中的趋势线及预测值与实际值之间的残差图可以看出，在误差允许的范围内，S与t之间的定量关系近似地满足：病虫害 被臭氧杀灭的数量比例S与臭
15、氧浓度c之间的关系如图3-3所示：图3-3图3-4从图3-4中的拟合趋势线及残差图可以认为在误差允许的范围内，S与c的关系近似地满足如下函数关系式：因为S（病虫害被臭氧杀死的数量比例）同时受到灭菌持续时间t与臭氧浓度c两个因素的影响，并且，从以上各图可以看出：S与时间t以及浓度c满足正相关的关系。因此，为了简便起见，不妨设为了调控c与t同时作用时对S的影响强度，使其尽可能地接近于实际情况，我们引入强度调控系数K，则S与c, t之间的关系可表示为如下形式下面讨论臭氧浓度C随时间t的变化关系首先，考察臭氧的分解速率与温度之间的关系。根据附件中表4给出的数据，运用Matlab软件进行拟合（程序见附件
16、）得到如下的曲线图3-5图3-6从残差图来看，实际值与预测值之间的误差较小，因此臭氧的分解速率v与温度T的关系可以写成下面的一元线性函数形式设每次输入温室内的臭氧的浓度相等，记为，平均每隔时间就向温室内输送臭氧，我们以一天作为一个周期，将其分为若干时段，即 分别为对应时段的臭氧的浓度，则以此类推，第n个时段(即第n次)给温室输送臭氧时，臭氧浓度与时间的关系为故考察温室植物对病虫害的作用的模型可以建立为其次，考虑臭氧浓度对温室植物的影响根据附件一中背景材料提供的信息，我们得到臭氧浓度c与时间t对温室植物的作用见表3-1t0.50.5t1c80有危害c50无危害，无保护c50保护表3-1最后，建立
17、效用评价函数不妨假设平均每只害虫对温室植物的破坏程度为d,病虫的初始数量为N,臭氧浓度对温室植物构成危害的值为,对温室植物构成危害的时间为,臭氧对植物的促进租用与臭氧浓度与时间t的乘积成正比，比例系数为k，总效用记为P, 则 p的数值越大，说明臭氧对植物与害虫的综合作用越好。定义当且仅当且时=-1，即对温室植物具有抑制作用；其他情况，即对温室植物具有促进作用从上式的数学意义来看，p的值越大，温室中臭氧对对温室植物即病虫害的综合作用越好。反之，则温室中臭氧对温室植物和病虫害的综合作用越差。问题四通过分析臭氧在温室里扩散速度与扩散规律，设计臭氧在温室中的扩散方案我们考虑通过管道将臭氧输出机内的臭氧
18、输送到温室大棚，某一时刻管道输出端的臭氧的扩散可以近似地抽象为一定浓度的臭氧在空中某一点向四周等强度地扩散过程。臭氧的传播服从扩散定律，即单位时间通过单位法向面积的流量与它的浓度梯度成正比。将管道输出端作为坐标原点，时刻t温室中任一点（x,y,z）的浓度记为C(x,y,z,t),则单位时间通过单位法向面积的流量 Q=-kgradC （1）K是扩散系数，grad表示梯度，负号表示由浓度高到浓度低的地方扩散，考察空间闭区域，的体积为V，其表面积为S，S的外法向量为n,则在【t,t+dt】内通过的流量为 （2）而内臭氧的增量为 （3）由质量守恒定律得 （4）根据曲面积分的奥氏公式 （5）其中div是
19、散度记号，有(1)-(5)式再利用积分中值定理可得偏微分方程： （6）初始条件为作用在坐标原点的点源函数， （7）Q为一次性输入的臭氧总量，为单位强度的点源函数方程（6）满足条件（7）的解为 （8）这个结果表明：对于任意时刻t，臭氧浓度C的等值面是球面,并且随着球面半径R的增加C的值是连续减少的。根据以上分析，+假想在温室内接42个直径为3.5m的球体，将管道的端口分别置于这些球体的球心。这样就可以尽可能的是温室内每个部分的臭氧浓度在一定范围内达到均衡的程度。点（x,y,z）处在时刻t的从上图可以清晰地看出，原点部位（管道输出端）的浓度随着时间的推移在不断下降，在相同的时刻，距离原点距离越远，
20、其臭氧的浓度越小，随着时间的推移，最终各点处的臭氧浓度都趋向于一个相同的数值，此时，可以近似的认为臭氧浓度在温室中是均匀分布的。该模型采用多个臭氧源同时输送臭氧的方法，既可以加快臭氧在温室中的扩散，大大的缩短臭氧扩散达到均匀的时间，同时，也加大了与引起温室植物病害的细菌，真菌及病毒的接触机会，对于快速杀死病毒，促进温室作物的生长具有积极的意义。问题五分别给出在农业生产，特别是水稻种杀虫剂使用策略，在温室中臭氧应用于病虫害防治的可行性分析报告(一).在水稻种植中杀虫剂的使用策略1、主治一种虫害，兼治其它虫害这种方法可以做到重点突出，主次分明，减少施药次数，从而减少农药用量，减轻对环境和稻谷的污染
21、。例如秧田主治稻蓟马，可兼治秧田期的二化螟、稻飞虱等，应当注意的是：对于混合发生的二化螟白穗和稻飞虱，适时用药很重要。2、替代菊酯类农药，防治次要害虫多年来由于缺乏相应的防治稻蝽蟓等次要害虫的农药，菊酯类农药、尤其是菊酯类农药的复配剂在水稻上用得比较多，对水域的鱼类和稻田有益生物影响较大，而且使害虫对菊酯类农药很快地产生了抗药性，其实对于有些次要害虫可使用锐劲特。3，合适地混用混配杀虫剂杀虫剂的适当混用可以达到增效和扩大防治范围的目的,但必须以不相互发生化学反应为原则,并要现配现用。按药液量的0.05%添加洗衣粉可使杀虫双等药液在水稻叶面的展布性提高3倍,大大提高喷药防治效果。4.调控好施药时
22、间稻纵卷叶螟对锐劲特十分敏感，但是，由于稻纵卷叶螟有趋嫩性，喜欢到新叶上产卵，而锐劲特以稻株内吸向新叶传导的药量低，故在施药后新长出的稻叶往往不能得到保护。因此，用其防治稻纵卷叶螟，须在卵孵高峰到低龄幼虫高峰期施药。在峰次多、迁入量大时，锐劲特宜用于主迁入峰，并视虫量隔10天左右再施1次药。在抽穗后，水稻不再有新生叶长出，只须用1次药，就可取得很好的效果。(二).在温室中臭氧应用于病虫害防治的可行性分析1.臭氧的获得途经广泛臭氧可通过高压放电、电晕放电、电化学、光化学、原子辐射等方法得到，原理是利用高压电力或化学反应，使空气中的部分氧气分解后聚合为臭氧，是氧的同素异形转变的一种过程。2.臭氧灭
23、虫的优点突出 臭氧灭虫为溶菌级方法，杀虫彻底，无残留，杀虫广谱，可杀灭害虫繁殖体和芽孢、病毒、真菌等、，并可破坏肉毒杆菌毒素。另外，臭氧对霉菌也有极强的杀灭作用。臭氧由于稳定性差，很快会自行分解为氧气或单个氧原子，而单个氧原子能自行结合成氧分子，不存在任何有毒残留物，所以，臭氧是一种无污染的消毒剂。臭氧为气体，能迅速弥漫到整个灭菌空间，灭菌无死角。而传统的灭菌消毒方法，无论是紫外线，还是化学熏蒸法，都有不彻底、有死角、工作量大、有残留污染或有异味等缺点，并有可能损害人体健康。如用紫外线消毒，在光线照射不到的地方没有效果，有衰退、穿透力弱、使用寿命不长等缺点。化学熏蒸法也存在不足之处，如对抗药性
24、很强的细菌和病毒，则杀菌效果不明显。基于臭氧的获得途径广泛，作用原理简单，与传统的灭菌技术相比具有诸多方面的优点，尤其是臭氧是一种绿色环保的病虫害防治技术，更符合当今人类保护环境，提倡环保的美好愿望，因此，在温室中应用臭氧进行病虫害的防治是完全可行的。五 模型的评价与改进问题一该模型在考虑中华稻蝗与生长作物相互之间的关系时，认为生长作物能够无限满足中华稻蝗的生存需要，是不符合实际情况的。因此，在实际应用中，应该把种群内部的斗争以及生长作物资源的有限性考虑在内。在分析中华稻蝗和稻纵卷叶螟两种害虫对生长作物的综合作用时，模型中忽略了两个物种之间的相互竞争，简单地认为它们在对于生长作物减产的问题上是
25、一种“合作关系。实际应用中应当把他/她考虑在内。问题二振荡模型很好的解释了杀虫剂与害虫此消彼长的关系，但是只是对这种关系的定性分析，所列函数参数不具体，推广性较差。产量函数及利润函数，由于所给参数较少，大量数据采集于网络，可靠性较差，因此，在实际应用中需慎重。问题三在考虑臭氧的浓度和持续作用时间对病虫害的综合作用时，我们单独地模拟出臭氧灭虫的比例与臭氧浓度的函数关系，臭氧灭菌比例与臭氧灭虫时间的函数关系。我们认为更合理的方法是将臭氧浓度与持续作用时间二者同时进行考虑。模拟出一个二元函数关系。虽然，臭氧浓度与持续作用时间都与臭氧灭虫比例成正相关的关系，并且我们引入了强度调控系数K,但是将两个函数
26、关系相乘的误差始终会较大，因此，需要寻求更合理的方法将二者的影响综合起来。问题四在该模型中，运用了管道作为辅助传输工具，最后的模拟结果显示该模型具有扩散时间快，分布范围广泛且均匀程度高的特点。但是，在实际应用中，还必须考虑到架设管道的费用，以及架设工作的复杂程度。因此，在实际应用中应根据客观情况进行适当的改进。参考文献1姜琦源，数学模型（第三版），高等教育出版社，20032赵静，但琦，数学建模与数学实验，高等教育出版，20003边馥萍等，数学建模方法与算法，高等教育出版，20054丹麦)SvenErikJorgensen,(意大利)GiuseppeBendoricchio何文珊,陆健健,张修峰
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