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1、人教版五年级下册数学最大公因数和最小公倍数知识点及重点题分析最大公因数一、基础知识（1）定义：几个数公有的因数中，其中最大的公因数叫做它们的最大公因数。，（2）求最大公因数的方法列举法：短除法： 把各个数公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，一直除到各个商是互质数为止，（也可以用较大的合数质公因数去除）然后把左半圈所有除数相乘，所得的积就是这几个数的最大公因数 。例如：求 36，24，48 的最大公因数。 2 36 24 48 2 18 12 24 3 9 6 12 3 2 4 此时 3 与 2，4 都互质，这三个数的公因数只有1，停止短除。（即用短除法求最大公因数时，要使所有的
2、数最后所得的商没有公因数就可，如果其中几个商有公因数，也不再除）。因此，36，24，48 的最大公因数是22312。（3）求两个数最大公因数的特殊情况：当两个数成倍数关系时，较小数就是这两个数的最大公因数。互质的两个数最大公因数是1。（如连续的非零自然数、不同的质数等）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - （4）最大公因数和公因数的关系：所有的公因数都是这两个数的因数，最大公因数是这些公因数中最大的。二、求最大公因数
3、在计算中的应用作用：最大公因数在计算中的最重要的作用是约分，即把分数的分子和分母约成最大公因数为1 的最简分数。化最简分数最简捷的方法：短除法求出最大公因数用划线法分别约去分子分母的最大公因数，分别写出分子、分母被最大公因数除的商。练习：（1）填空：A,b 都是非 0 自然数，如果 ab=10 ，那么 ,b 的最大公因数是（），最小公倍数是（）。解题分析：由题可知，是b 的倍数，此时两数的最大公因数是其中的较小数b，最小公倍数是其中的较大数。B 甲235，乙237，甲和乙的最大公因数是（）。（2）化最简分数6318、9824、7545、5036(3) 判断：A6318比216的分数单位小，所以
4、6318比216小。（）B分子分母是不同的质数，分子、分母的最大公因数一定是1. （）C分子分母分别是不同的合数，分子、分母的最大公因数一定不是1. （）D分子分母是两个连续的非零自然数，分子、分母的最大公因数一定是1. （）E两个不同的自然数的最大公因数一定比最小公倍数小（）三、求最大公因数的实际问题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 1. 五年级（ 2）班男生有 48 人，女生有 36人。男、女生分别排队，要使
5、每排的人数相同，每排最多有多少人？解题分析： 由题意得“要使每排的人数相同，每排最多有多少人？，就是求同时能整除五年级（ 2）班男生、女生的非零自然数，即问题“每排最多有多少人”就是求男生、女生的最大公因数。关键点：“每排人数相同”意味着每排人数是48 和 36 的公因数，“最多”就是求 48 和 36 的最大公因数。解答过程 2 36 48 3 18 24 2 6 8 3 4 36、48 的最大公因数为 =232=12,36、48 的最大公因数为 12. 答：每排最多有 12 人. 2. 将 48 本练习本和 64 支铅笔平均分给若干名同学。如果练习本和铅笔都没有剩余，且保证分到铅笔和练习本
6、的人数相同，最多能分给多少名同学？解题分析 ：由题意得“分到铅笔和练习本的人数相同，最多能分给多少名同学？”，此时铅笔分得的人数和练习本分得的人数分别是48 和 64 的公因数，要求最多能分给多少同学，就是求48 和 64 的最大公因数。关键点 ：练习本和铅笔分别单独平均分，“保证分到铅笔和练习本的人数相同”，即分到铅笔和练习本的同学数是48 和 64 的最大公因数。解题过程： 2 48 64 4 24 32 2 6 8 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 1
7、1 页 - - - - - - - - - 3 4 48、64 的最大公因数为 =242=16,48、64 的最大公因数为 16. 答：最多能分得有16 人. 3.用 48 朵红花和 36 多黄花做成花束， 两种花都没有剩下。 如果每个花束的红花朵数相同，黄花朵数相同，每一束最少有几朵花？此时一共能扎几束？解题分析 ：由题意“每个花束的红花朵数相同，黄花朵数相同，每一束最少有几朵花”，可知此时花束的数量分别是48 和 36 的最大公因数。解答过程： 2 48 36 2 24 18 3 12 9 4 3 48、36 的最大公因数为 =223=12, 红花 4812=4（朵） 3612=3（朵）答
8、：每一束最少有7 朵花，此时一共能扎几 12 束. 同步练习将一块长 80 米、宽 56 米的长方形土地划分成面积相等的小正方形。小正方形的面积最大是多少平方米？关键点： 小正方形的面积是80、56 的最大公因数，一张长方形木板，长56 厘米，宽 40 厘米，如果把它剪成若干个同样大的正方形，使边长是整厘米数且没有剩余，最少能剪多少个？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 关键点：小正方形的边长是40、56 的最大公
9、因数， 求出小正方形的边长后，还需用长方形的面积除以小整形的面积，才可以求出最少减去小正方形的个数。有三根木棒，分别长12 厘米， 16 厘米，44 厘米。要把它们截成同样长的小棒，不能有剩余，每根小棒最长是多少厘米？关键点：小棒长是12、16、44 的最大公因数。最小公倍数一、基础知识（一）最小公倍数：1、最小公倍数： 几个数共有的倍数中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。2. 求最小公倍数的方法：列举短除法： 把各个数公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，一直除到各个商是互质数为止，然后把所有除数相乘，再乘以每个数除完以后所得的商，所得的积就是这几个数的最小公倍数。例如：求
10、36，24，48 的最大公因数。 2 36 24 48 2 18 12 24 3 9 6 12 3 2 4 此时 3 与 2 互质，但 2 与 4 还有公因数 2，需再除一次， 直到两两互质为止，否则三个数的最小公倍数就大了。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 2 36 24 48 2 18 12 24 3 9 6 12 2 3 2 4 3 1 2 这时三个数的公因数只有1，停止短除。 36，24，48的最小公倍数
11、是223232144。注意：当几个数较小时，求最小公倍数就是想哪个数是这几个数的倍数，而且这个数最小。当几个数较大时或不容易思考得出最小公倍数时，适合用列举法或短除法。（二）基础练习（1）填空：几个数公有的倍数，叫做这几个数的( ),其中（）的一个叫做这几个数的（）。两个连续自然数的最小公倍数是20， 这两个自然数是 （） 和 （） 。把（）分数化成和原来相等的 （）分母分数， 叫做通分。通分的依据是 ( ）。通分时，先求出原来几个分母的（），然后把各数分别化成用这个（）做分母的分数。两个不同质数的和是10，他们的最小公倍数是（）54 可能是哪两个数的最小公倍数？请你任意写出满足条件的两个数。
12、（）和（）甲 225， 乙235，那么甲 、乙 的最小公倍数是（）（2）写出下列各组数的最小公倍数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 3 和 6（）8 和 10（）3 和 9（）6 和 5（）9 和 4（）2 和 7（）8 和 6（）27 和 54（）100和 25（）（3）判断：相邻两个自然数 （0 除外）的积一定是它们的最小公倍数（） 。自然数 a 是自然数 b 的 5 倍，则 a 和 b 的最小公倍数是（）
13、。（4）思维提升 ：两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，这两个数是（）和（）或（）和（）。解析：设这两个数分别是A和 B 15 A B （）（）最小公倍数 90=15（）（），有两种组合 90=1523=1516，所以这两个数是 151=15,156=90，或 152=30，153=45.二、求最小公倍数在计算中的应用（一）作用：通分1. 通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。（通分时，公分母一般为几个数的最小公倍数）。2. 通分的方法：（1）用列举法或短除法求出几个分数的分母的最小公倍数。（2)将每个分数用分数的基本性质，将分母化成它们的最小公倍数，分母乘多
14、少，分子乘多少。（二）同步练习：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - （1）45 + 157+ 20111719（175101）51（651813）1135311852951259411157374（2）118113=14 83=16521=5461=31276=71X(1813365)=3619计算题方法解析：异分母分数分数单位不相同，不能直接相加减，通分就是把分数单位不同的异分母分数化成分数单位相同的同分母分数。
15、计算步骤：用列举法或短除法求出所有分母的最小公倍数。用分数的基本性质把分数化成以最小公倍数为分母的分数。用同分母分数加减法的法则计算：即分母不变，分子相加减。三、求最小公倍数在解决问题时的应用1.月季每 4 天浇一次水，君子兰每6 天浇一次水。 2018 年 5 月 10 日，李梨给月季和君子兰同时浇了水，下次给这两种花同时浇水是2018年几月几日？解题分析 ：每 4 天浇一次月季，即有1 个 4 天就给月季浇一次水。同理，每 6 天给君子兰浇一次水，即1 个 6 天就给君子兰浇一次水。6 月 10 日李阿姨同时给两种花浇水， 那么从 10 日起，每多 1 个 4，给君子兰浇一次水，每多 1
16、个 6 天，就给君子兰浇一次水，若两花最近依次同时浇水，则一定名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 比 6 月 10 日多出的天数，是4 和 6 的最公倍数。解答过程 ：求 6，4 的最小公倍数。 2 6 4 3 2 6、4 的最小公倍数为 =232=12,6月 12 日+12 日=6 月 24 日答：下次同时浇水在2018 年 6 月 24 日。2.二年级（ 2）班同学的总人数在50 以内，间操站队形， 8 人一组
17、，或 6 人一组，都正好分完。这个班可能是多少人？解题分析：求 8 和 6 的最小公倍数。由题意“ 三年级（1）班同学的总人数在 50 以内，体育课上站队形，可以分成8 人一组，也可以分成6 人一组，都正好分完” 可知，三年（1）班的人数一定是 6 和 8 的最小公倍数的倍数。而 6 和 8 的最小公倍数是24， 所以这个班在 50 以内的人数可能是24 或 48.同步练习：小卖部有 70 多个松花蛋，装4 个一排的蛋托或装进6 个一排的蛋托中，都正好装完。有多少个蛋？关键点：本题和上题的区别是松花蛋的总数是70 多，即松花蛋总数的十位数字是已知的，所以本题的答案唯一。同步练习 8路车每 6分
18、钟发一次车，5路车每 8分钟发一次车。它们在 12:00同时发车，至少过多少分钟两路车才第二次同时发车？3.一家三口在体育场跑步。 爸爸跑一圈用 3 分钟，妈妈跑一圈用 4 分钟，小红跑一圈用 6 分钟。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - （1）如果爸爸妈妈同时起跑，至少多少分钟后两人在起点再次相遇？此时爸爸妈妈分别跑了多少圈？解题分析 ：在起点处再次相遇，意味着爸爸、妈妈分别跑了几个整圈后，都在起点处再次相遇，此
19、时的时间一定是3 和 4 的公倍数。解答：3 和 4 的最小公倍数是 12，所以爸爸、妈妈至少12 分钟后再次在起点处相遇。（2）如果三人同时起跑，多少分钟后又同时相遇？解题分析： 本题是求 3、4、12 的最小公倍数。4. 一座喷泉共有内外两层喷泉构成。外层喷泉每隔 10 分钟喷一次， 里层喷泉每隔 6 分钟喷一次。晚上5：45 同时喷过一次后，下一次同时喷水是几时几分？解题分析： 每隔 10 分钟，是每 11 分喷泉喷一次，里面每隔6 分钟喷一次，即每 7 分喷泉喷一次，所以下一次喷水的时间应该是10 和 6 的最小公倍数。解题过程：11和 7 的最小公倍数为 77 分，5 时 45 分+
20、77 分=7 时 2 分答：下一次喷水的时间为7 时 2 分。5.有一种饮料， 小瓶装的 6 元一瓶，大瓶装的 8 元一瓶。妈妈带的钱无论买大瓶装还是小瓶装，都剩下3 元。妈妈至少带了多少元？解题分析： 妈妈无论买 6 元的大瓶装或是8 元的大瓶装，都剩3 元，即妈妈的钱去掉 3 元，一定是 6 元和 8 元的公倍数， 6 和 8 的最小公倍数是 24，所以妈妈的钱至少 =24+3=27元。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - -
21、 - - - 奥数大展台： 从学校到少年宫的这段公路上，一共有37 根电线杆，原来每两根电线杆之间相距50 米，现在要改成每两根之间相距60 米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？解题分析 ：从学校到少年宫的这段路长50（371）=1800米，从路的一端开始，是 50 和 60 的公倍数处的那一根就不必移动。因为50 和 60 的最小公倍数是 300， 所以，从第一根开始，每隔 300米就有一根不必移动。 1800300=6，就是 6 根不必移动。去掉最后一根，中途共有5 根不必移动。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -