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1、高等数学期中考试前复习2011.11.1 一、函数与极限（一）函数1、函数的定义（1）映射的定义若,X Y是两个非空的集合，如果存在一个法则f，使得对 X 中的每一个元素x，按法则f，在 Y 中有唯一确定的元素y 与之对应，则称f为从 X 到Y 的映射，记作:() ,()fffXYyf xxXDyRfXY()()()ffyf xxDDyf Df D简表之()( )fRfXf x xX其中 D 映射f的定义域，)(Df映射f的值域，f映射的对应法则；x元素 y（在映射f下） 的一个原像， y 元素x（在映射f下） 的像， 两者关系：( )yf x值得提醒的是， 10 ,fxXxy是唯一的；而,f
2、yRyx未必唯一；20 ?,ffRY RY（2）函数的定义设数集,DR，则称映射:fDR为定义在 D 上的函数，通常简记为() ,()() ,fyfxxDRfDy yfxxD式中x自变量， y 因变量， D 定义域可见，从实数集（或其子集）X 到实数集 Y 的映射通常称为定义在X 上的函数2、函数的表示（1）公式法；（2）图像法；（3）表格法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 3、函数的形式（1）显式函数)(xfy
3、； （2）隐式函数0),(yxF；（3）参数式函数)(),(tyytxx4、函数的特性（1）有界性若Mxf)(，或Mxfm)(，则函数具有界性（2）单调性若)(,xfx，则函数)(xf为单调增函数；若)(,xfx，则函数)(xf为单调减函数。注：单调性与区域有关（3）奇偶性若)()(xfxf偶函数；若)()(xfxf奇函数（4）周期性若)()(xfTxf，则函数)(xf具周期性，周期 T 为一最小的正数注：a) 若)(xf为周期函数，则()( ),f xnTf xnZ；b) 若,sinxy则周期2T；c) 奇函数对坐标原点 O对称，其曲线通过坐标原点；偶函数对y 轴对称；d）奇函数或偶函数，当
4、且仅当函数( )yf x在(,)ll或,ll内（或上）有定义时才有意义。5、常用函数的类型（1）基本初等函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 1）常值函数Cy（常数）2）幂函数Rxy,（函数的定义域取决于的值）3）指数函数)1,0(aaayx，特殊地xey4）对数函数)0,0(logaaxya，特殊地xyln（自然对数）5）三角函数sin (,),cos (,),tan (,),2yx xyx xyx xkkZc
5、 o t(,) ,s ec(,) ,c s c(,2yx xkkZyx xkkZyx xkkZ6）反三角函数arcsin ( 1, 1,),arccos ( 1, 1,0,)22yx xyyx xyar c t an(,) ,(,) ) ,c o t(,) ,( 0 ,22yx xyyarcx xy（2）反函数直接函数)(,),(DfyDxxfy反函数： 1）1( )( )xfyy2）1( )( )yfxy注：10当且仅当:()fDf D单射时，它才存在逆映射1:()ff DD，即1( )xfy才存在，也因而1( )yfx才存在。当直接函数( )yf x为一单调函数时，:()fDf D为单射，
6、其反函数必定存在。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 20 1( )xfy与)(xfy为同一条曲线；1( )yfx与)(xfy为两条曲线，对直线xy对称（3）复合函数若uDuufy),(，xDxxu),(，当uxDD )(时，复合函数)(xf存在，且xDx；当()xuDD时，复合函数)(xf也存在，但xDx（4）初等函数基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的复合而成的函数称为初等函数，在其定义域内，初等函数连续
7、且可导。（5）分段函数在自变量x的不同区域内函数有不同的形式。分段函数不是初等函数！（6）双曲函数（初等函数）1）双曲正弦函数xsinh与双曲余弦函数xcosh2s i n hxxeex，2coshxxeex2）双曲正切函数xtanh与双曲余切函数xcothxxxxeeeext a n h，xxxxeeeexcoth（7）反双曲函数xarxarxarxarcoth,tanh,cosh,sinh且有)11ln(21),1ln(),1ln(22xxarthxxxarchxxxarshx这在求算饭双曲函数的导数时，很有用（二）极限名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -
8、- - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 1、数列的极限（1）数列 一串无限个数项按其下标nN，由小到大的有序排列12,.,.nnx xxx，其中(1,2,.)nxn为通项（2）数列的极限若nnLim xa（确定、有限的常数） ，则数列nx有极限a，或者说数列nx收敛于a；反之数列nx发散。注：数列极限的严格定义：0,，若NN，当 nN 时，所有的nx都满足nxa，则数列nx有极限，即nnLim xa ，或者说数列nx收敛于a。（3）数列收敛的几何意义当数列nx收敛于a时， 这意味着，实轴
9、上在a的某个邻域( , )U a内有无穷多个点；而在该邻域外仅有有限的N 个点（4）数列极限的性质1）唯一性若nnLim xa ，则极限a唯一；2）有界性若nnLim xa ，则nx有界，但逆定理不成立；3）保序性若nnnnLim xaLim yb，则当Nn时，nnxy；4）保号性若0nnLim xa（或0）, 则当Nn时，0nx（或0）5）若数列nx收敛于a，则其子数列也收敛于a。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - -
10、- （5）数列极限的存在准则1）夹逼准则若数列 nnxy、及nz满足下列条件：0(),an当0nn时，nnnyxz； ( )limlimnnnnbyza，则 limnnxa2）单调有界数列必有极限。（6）数列极限的运算法则若aaLimnn，bbLimnn，则1）babaLimnnn)(；2）CaCaLimabbaLimnnnnn)(；kknnaaLim；3）)0( , bbabaLimnnn。2、函数的极限（1）类型1）AxfLimx)(（确定、有限）AxfL i mx)(（确定、有限）严格定义：若( )f x在当0 xM时有定义，如存在一常数 A，0， 若0X，使得 xX 时所有的( )f
11、x都满足( )f xA则( )xLim f xA2）AxfLimxx)(0（确定、有限）严格定义：若( )f x在0 x的某个去心邻域00()U x内有定义，如果存在常数A，假如名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 0,使得当00(, )xU x时，所有( )f x都满足( )f xA则0lim( )xxf xA几何意义：若0lim( )xxf xA，意味着，00(,)xU x时，( )Af xA，即( )f x局部
12、有界注：100 xx时，( )f x是否有极限， 与0()f x存在与否， 若存在其值如何均无关。20AxfLimxx)(0的充要条件是，左极限0(0)f x与右极限0(0)f x存在且相等，即00lim( )lim( )xxxxf xf xA（2）性质1）唯一性； 2）局部有界性； 3) 局部保序性； 4）局部保号性。（3）运算法则若BxgLimAxfLimxxxx)(,)(00，则1）BAxgxfLimxx)()(0；2）ABxgxfLimxx)()(0；3）)0(,)()(0BBAxgxfLimxx（4）函数极限的存在准则1）夹逼准则2）单调有界的函数必有极限（5）常见函数的极限1）1s
13、in0 xxLimx，1tan0 xxLimx；2）exLimxx)11 (；3）sin0;xxLimx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - 4）0011limlnlim1;xxxxaeaxx5）0ln(1)1xxLimx；6）201cos1/ 2xxLimx（5）无穷小量与无穷大量1）定义若0)(0 xfLimxx，则称)(xf为0 xx时的无穷小量，0)(xfL i mx，则称)(xf为x时的无穷小量；若)(0
14、xfLimxx，则称)(xf为0 xx时的无穷大量，)(xfL i mx，则称)(xf为x时的无穷大量；2）性质)(a无穷小量的倒数为无穷大量；)(b有限个无穷小量之和仍为无穷小量；)(c有限个无穷小量之积仍为无穷小量；)(d有界量与无穷小量之积仍为无穷小量；)(e常数与无穷小量之积仍为无穷小量；)( f若0()xxLimfxA，则0 xx时，)()(xAxf，其中)(x为无穷小量。3）无穷小量的阶若)(),(xx均为0 xx时的无穷小量，则)(a当0)()(0 xxLimxx时，)(x相对于)(x为高阶无穷小量；)(b当)()(0 xxLimxx时，)(x相对于)(x为低阶无穷小量；名师资料
15、总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - )(c当)1 ,0()()(0CxxLimxx时，)(x与)(x为同阶无穷小量；)(d当1)()(0 xxLimxx时，)(x与)(x为等价无穷小量；)(e当)0()(0CxxLimnx时，)(x为n阶无穷小量。4）常见的等价无穷小量当0 x时，)(asin xx;)(btanxx;)(carcsinxx; )(dar c t anxx;)(e (1)lnxaxa，特殊地1xex;)(
16、fxcos122x;)(g)1ln(xx. 注: 在求极限的乘除运算中可用等价无穷小量来替代。3*、求数列极限或函数极限的方法归纳（1）在求n的极限时，遇到分子与分母都出现“无穷大因子”的情况下，可用分子分母的最高阶无穷大量分别去除分子与分母，以消去分子的“无穷大因子” ；（2）在分子分母都存在“零因子”时，可用因式分解，或有理化，再或在乘除运算中用等价无穷小量替代，以消去分母的“零因子” ；（3）将待求极限的分式函数，通过变换变量的方法，变换成常用极限的标准形式，再求极限。最常用的极限是：00sinsin( )lim1lim1xxxaxaxax；101( )lim(1)lim(1)xxxxb
17、exex；（4）运用数列或函数极限的存在准则求数列或函数的极限。（三）连续1、定义若)()(00 xfxfLimxx， 则函数)(xf在点0 x处连续。即函数)(xf必须同时名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 满足三个条件：（1）AxfLimxx)(0存在；（2）)()(00 xfxfxx有定义；（3）)(0 xfA。若函数)(xf在Dx内处处连续，则称)(xf为Dx内的连续函数。又若( )f x在区间I上有定义，
18、0总0 ，使得在I上任意两点12,x x，当12xx时就有12()()f xf x，称函数( )f x在I上一致连续。2、性质1）若)(),(xgxf均在0 x处连续，则)0)()()(),()(),()(xgxgxfxgxfxgxf也在0 x处连续。2）若)(xu在0 x处连续，)(ufy在)(00 xu处连续，则复合函数)(xf在0 x处也连续，即)()(00 xfxfxx；3）若0)(0uxLimxx存在，而)(ufy在0u处连续，则)()(00 xLimfxfLimxxxx4）若)(xfy在其定义域xI上单调连续，则其反函数)(1yfx在相应的yI上也单调连续；5）若)(xf在闭区间,
19、ba上连续，则有界性定理、最值定理、介值定理与零点定理均成立。3、间断点（1）第一类间断点1）可去间断点若AxfLimxx)(0存在，但)(0 xfA（包括0()f x不存在与0()f x但)(0 xfA） ；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 此时可重新定义一新函数( )F x：00() ,( ),f xxxF xA xx显然，( )F x在0 x点连续。可去间断点命名的来由也就在于此。2）跳跃间断点若)0()
20、(00 xfxfLimxx与)0()(00 xfxfLimxx均存在，但不相等（2）第二类间断点1）无穷间断点若)(0 xfLimxx或者)(0 xfLimxx；2）振荡间断点若0 xx时，)(xf振荡不定。二、导数与微分（一）导数1、导数的基本概念1）导数的定义一阶导数的定义0000000()()()()()hxf xhf xf xxfxfxLimLimhx00)()(0 xxxfxfLimxx)( 0 xf存在的充分必要条件是：)( 0 xf与)( 0 xf存在且相等。2 n阶导数的定义xxfxxfL i mxfnnxn)()()(0)1(0)1(00)(2）导数的几何意义曲线)(xfy上
21、切点),(00yx处切线的斜率等于)( 0 xf，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 因此，过切点),(00yx的曲线的切线方程为)( )(000 xxxfxyy；相应地过切点),(00yx的曲线的法线方程为)0)( (),()( 1)(0000 xfxxxfxyy。3）导数的意义dyydx，代表函数 y 对自变量x的变化率4）函数可导性与连续性有极限以及有界性之间的关系对一元函数( )yf x来说，若( )f
22、x在0 x点可导( )f x在0 x点必连续0 xx时，( )f x极限必存在( )f x必有界；但反之不然。2、基本求导公式（1）0)(C； （2）)( ,)(1Raaxxaa； （3）aaaxxln)(，xxee )(；（4）11(log),(ln)lnaxxxax； （5）xxcos)(sin； （6）xxsin)(cos；（7）xx2sec)(tan； （8）xx2csc)(cot； （9）xxxtansec)(sec；（10）xxxcotcsc)(csc； （11）211)(arcsinxx； （12）211)(arccosxx；（13）211)(arctanxx； （14）211)
23、cot(xxarc； （15）chxshx)(； （16）shxchx)(；（17）xchthx21)(； （18）211)(xarshx；（19）11)(2xarchx； （20）211)(xarcthx3、显函数的求导法则若)(),(xvxu在x处可导，则（1）)( )( )()(xvxuxvxu；（2）)( )()()( )()(xvxuxvxuxvxu；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - （3）)0)(
24、,)()( )()()( )()(2xvxvxvxuxvxuxvxu。4、隐函数的求导法则0),(yxF两边对x求导),(yxgy；5、参数式函数的求导法则)()(tyytxx)1()();(22xdttdgdxydtgxydxdy6、反函数的求导法则若直接函数)( yx可导，且0)( y，则其反函数必也可导，且)( 1)( yxf注：(.)(.)1(.)dddxddydxdyydx，即将x视为中间函数再运用复合函数求导的链式法则处理7、复合函数的求导法则若)(),(ufyxu，则复合函数)(xfy的导数为dxdududydxdy链式求导法则链式求导法则可以推广到多个中间函数的情况。（二）微分
25、1、定义若)(0 xxAy，其中)(0 x为高阶无穷小量，则其线性主部定义为在0 x附近的函数的微分dxxfxxfxAdyxx)( )( 0002、微分与导数的关系dxxfdxdxdydy)( 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 3、微分法则若)(),(xvxu在x处可微，则（1）)()()()(xdvxduxvxud；（2）)()()()()()(xdvxuxduxvxvxud；（3）)0)( ,)()()()
26、()()()(2xvxvxdvxuxduxvxvxud。4、复合函数的微分法则设( ),( )yf u ug x，则复合函数( )yf g x的微分具有形式不变性：d yd yd yd xd ud xd u其中( ) ( );( )dydy dudyfu g xfudxdu dxdu（三）高阶导数（2n）1、定义(1 )(1 )( )0( )()( )( )limnnnnnxd f xfxxfxfxdxx2、常见函数n阶导数的公式（1）( )sin,cosf xxx()( )(sin )sin();(cos )cos()22nnnnxxxx（2）( )ln(1)f xx()1(1 ) ! l
27、n ( 1) (1 )(1)nnnnxx；（3）( )f xx()(1)(2).(1)()nnxnxn特例：( )!nnxn，(1)0nnx3、莱布尼茨公式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - () ,()uxv x均为可导函数，则()()( 0 )1(1 )2(2 )()()( 0 )()()()(1 )(2 )()()( 0 )() . . . . .(1)!() . . . . .2 ! () !nnnnknkknnnnnnnnnkku vuvC uvC uvC uvuvn nnu vuvn uvuvuvuvknk在上式中，(0)(0),uu vv即函数的零阶导数就是函数本身。莱布尼茨公式在形式上与牛顿二项式定理的表式相似，只是将“幂次k ”改成“k 阶导数” 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -