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1、课时训练(三十)正方形及特殊平行四边形的综合(限时:40分钟)|夯实基础|1.2019攀枝花下列说法错误的是()A.平行四边形的对边相等B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形2.下列条件不能判断ABCD是正方形的是()A.ABC=90且AB=ADB.AB=BC且ACBDC.ACBD且AC=BDD.AC=BD且AB=BC3.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形,她对折了()A.1次B.2次C.3次D.4次4.2019雅安如图K30-1,在四边形ABCD中,AB=CD,AC,BD是对角线,E,F,G,H分别是A
2、D,BD,BC,AC的中点,连接EF,FG,GH,HE,则四边形EFGH的形状是()图K30-1A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形5.2017黔东南州如图K30-2,正方形ABCD中,E为AB中点,FEAB,AF=2AE,FC交BD于点O,则DOC的度数为()图K30-2A.60B.67.5C.75D.546.2019包头如图K30-3,在正方形ABCD中,AB=1,点E,F分别在边BC和CD上,AE=AF,EAF=60,则CF的长是()图K30-3A.3+14B.32C.3-1D.237.2019镇江将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置(如图K30-4
3、),使得点D落在对角线CF上,EF与AD相交于点H,则HD=.(结果保留根号)图K30-48.2018深圳如图K30-5,四边形ACDF是正方形,CEA和ABF都是直角且E,A,B三点共线,AB=4,则阴影部分的面积是.图K30-59.2018武汉以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE,则BEC的度数是.10.2019菏泽如图K30-6,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,AC=8,AE=CF=2,则四边形BEDF的周长是.图K30-611.2019凉山州如图K30-7,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是OC上一点,连接EB.过点A作AMBE,垂足为M,AM与BD
4、相交于点F.求证:OE=OF.图K30-712.2019甘肃如图K30-8,在正方形ABCD中,点E是BC的中点,连接DE,过点A作AGED交DE于点F,交CD于点G.(1)求证:ADGDCE;(2)连接BF,求证:AB=FB.图K30-8|能力提升|13.如图K30-9,在正方形ABCD中,AB=4.若以CD为底边向其形外作等腰直角三角形DCE,连接BE,则BE的长为()图K30-9A.45B.22C.210D.2314.2019扬州如图K30-10,已知点E在正方形ABCD的边AB上,以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG,连接DF,M,N分别是DC,DF的中点,连接MN.若AB=
5、7,BE=5,则MN=.图K30-10|思维拓展|15.2019宿迁如图K30-11,正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点,且BE=1,F为AB边上的一个动点,连接EF,以EF为边向右侧作等边三角形EFG,连接CG,则CG的最小值为.图K30-1116.2018-2019学年九(上)厦门期末教学质量检测已知动点P在边长为1的正方形ABCD的内部,点P到边AD,AB的距离分别为m,n.(1)以A为原点,以边AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图K30-12所示,当点P在对角线AC上,且m=14时,求点P的坐标.(2)如图,当m,n满足什么条件时,点P在DAB的内部?请说明理由.图K30
6、-12【参考答案】1.B2.B解析A.ABCD中,若ABC=90,则ABCD是矩形,再由AB=AD可得是正方形,故此选项错误;B.ABCD中,若AB=BC,则ABCD是菱形,再由ACBD仍可得是菱形,不能判定为正方形,故此选项正确;C.ABCD中,若ACBD,则ABCD是菱形,再由AC=BD可得是正方形,故此选项错误;D.ABCD中,若AC=BD,则ABCD是矩形,再由AB=BC可得是正方形,故此选项错误.故选B.3.B4.C解析点E,F,G,H分别是四边形ABCD中AD,BD,BC,CA的中点,EF=GH=12AB,EH=FG=12CD,AB=CD,EF=FG=GH=EH,四边形EFGH是菱
7、形,故选C.5.A解析连接BF,E为AB中点,FEAB,EF垂直平分AB,AF=BF.AF=2AE,AF=AB,AF=BF=AB,ABF为等边三角形,FBA=60,BF=BC,FCB=BFC=15,四边形ABCD为正方形,DBC=45,根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得DOC=15+45=60.6.C解析连接EF.AE=AF,EAF=60,AEF为等边三角形,AE=EF.四边形ABCD为正方形,B=D=C=90,AB=AD,RtABERtADF(HL),BE=DF,EC=CF.设CF=x,则EC=x,AE=EF=EC2+FC2=2x,BE=1-x.在RtABE中,AB2+BE2=A
8、E2,1+(1-x)2=(2x)2,解得x=3-1(舍负).故选C.7.2-1解析四边形ABCD为正方形,CD=1,CDA=90,边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置,使得点D落在对角线CF上,CF=2,CFE=45,DFH为等腰直角三角形,DH=DF=CF-CD=2-1.故答案为2-1.8.8解析四边形ACDF是正方形,AC=AF,CAF=90,CAE+BAF=90,又CAE+ECA=90,ECA=BAF,则在ACE和FAB中,AEC=ABF=90,ECA=BAF,AC=AF,ACEFAB(AAS),AB=CE=4,阴影部分的面积=12ABCE=1244=8.
9、9.30或150解析如图,ADE是等边三角形,DE=DA,DEA=1=60.四边形ABCD是正方形,DC=DA,2=90.CDE=150,DE=DC,3=12(180-150)=15.同理可求得4=15.BEC=30.如图,ADE是等边三角形,DE=DA,1=2=60,四边形ABCD是正方形,DC=DA,CDA=90.DE=DC,3=30,4=12(180-30)=75.同理可求得5=75.BEC=360245=150.故答案为30或150.10.85解析如图,连接BD交AC于点O,四边形ABCD为正方形,BDAC,OD=OB=OA=OC,AE=CF=2,OA-AE=OC-CF,即OE=OF,
10、四边形BEDF为平行四边形,且BDEF,四边形BEDF为菱形,DE=DF=BE=BF,AC=BD=8,OE=OF=8-42=2,由勾股定理得:DE=OD2+OE2=42+22=25,四边形BEDF的周长=4DE=425=85,故答案为:85.11.证明:在正方形ABCD中,ACBD,AOF=BOE=90.AMBE,AME=90,FAO+AEB=EBO+AEB=90,FAO=EBO.在正方形ABCD中,AC=BD,OA=12AC,OB=12BD,OA=OB,AOFBOE(ASA),OE=OF.12.证明:(1)四边形ABCD是正方形,ADG=C=90,AD=DC,又AGDE,DAG+ADF=90
11、=CDE+ADF,DAG=CDE,ADGDCE(ASA). (2)如图,延长DE交AB的延长线于H,E是BC的中点,BE=CE.又C=HBE=90,DEC=HEB,DCEHBE(ASA),BH=DC=AB,即B是AH的中点.又AFH=90,RtAFH中,BF=12AH=AB.13.C解析如图,连接BD,因为四边形ABCD为正方形,所以BDC=45,AD=AB=4,A=90,在RtABD中,由勾股定理得,BD=AB2+AD2=42,因为DCE是等腰直角三角形,所以CDE=45,DE=EC=DC22=22,所以BDE=BDC+CDE=90,在RtBDE中,由勾股定理得,BE=BD2+DE2=210
12、.14.132解析连接CF,正方形ABCD和正方形BEFG中,AB=7,BE=5,GF=GB=5,BC=7,GC=GB+BC=5+7=12,CF=GF2+GC2=52+122=13.M,N分别是DC,DF的中点,MN=12CF=132.故答案为132.15.52解析由题意可知,点F是主动点,点G是从动点,点F在线段AB上运动,点G也一定在直线上运动.将EFB绕点E按顺时针方向旋转60,使EF与EG重合,得到EGH,则EFBEGH.从而可知EBH为等边三角形,点G在垂直于HE的直线HN上.作CMHN,则CM即为CG的最小值,作EPCM,可知四边形HEPM为矩形,则CM=MP+CP=HE+12EC
13、=1+32=52.故答案为52.16.解:(1)解法一:过点P作PFy轴于F,点P到边AD的距离为m.PF=m=14.点P的横坐标为14.由题得,C(1,1),可得直线AC的解析式为:y=x.当x=14时,y=14.所以P14,14.解法二:如图,过点P作PEx轴于E,作PFy轴于F,点P到边AD,AB的距离分别为m,n,PE=n,PF=m.P(m,n).四边形ABCD是正方形,AC平分DAB,点P在对角线AC上,m=n=14,P14,14.(2)解法一:如图,以A为原点,以边AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.则由(1)得P(m,n).若点P在DAB的内部,点P需满足的条件是:在x轴上方
14、,且在直线BD的下方;在y轴右侧,且在直线BD的左侧.设直线BD的解析式为:y=kx+b,把点B(1,0),D(0,1)分别代入,可得直线BD的解析式为:y=-x+1.当x=m时,y=-m+1.由点P在直线BD的下方,可得n0.即0n-m+1.同理,由可得0m-n+1.所以m,n需满足的条件是:0n-m+1且0m-n+1.即m+n0,n0.解法二:如图,过点P作PEAB于E,作PFAD于F,点P到边AD,AB的距离分别为m,n,PE=n,PF=m.在正方形ABCD中,ADB=12ADC=45,A=90.A=PEA=PFA=90.四边形PEAF为矩形.PE=FA=n.若点P在DAB的内部,则延长FP交对角线BD于点M.在RtDFM中,DMF=90-FDM=45.DMF=FDM.DF=FM.PFFM,PFDF.PE+PF=FA+PFFA+DF.即m+n0,n0,m,n需满足的条件是m+n0,n0.