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1、第二十六章二次函数【课标要求】考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用二次函数理解二次函数的意义会用描点法画出二次函数的图像会确定抛物线开口方向、顶点坐标和对称轴通过对实际问题的分析确定二次函数表达式理解二次函数与一元二次方程的关系会根据抛物线y=ax2+bx+c (a 0) 的图像来确定a、 b、 c 的符号【知识梳理】1. 定义：一般地，如果cbacbxaxy,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数. 2. 二 次 函 数cbxaxy2用 配 方 法 可 化 成 ：khxay2的 形 式 ， 其 中abackabh4422，. 3. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a的
2、符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同. 平行于y轴（或重合）的直线记作hx. 特别地，y轴记作直线0 x. 4. 顶点决定抛物线的位置. 几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同， 那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 5. 求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -
3、- - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - （ 2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k) ，对称轴是直线hx. （ 3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 6. 抛物线cbxaxy2中，cba,的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样 . （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2，故
4、：0b时，对称轴为y轴；0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧 . （3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置. 当0 x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c） ：0c，抛物线经过原点; 0c, 与y轴交于正半轴；0c, 与y轴交于负半轴 . 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab. 7. 用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：cbxaxy2. 已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：khxay2. 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
5、（3） 交点式： 已知图像与x轴的交点坐标1x、2x， 通常选用交点式：21xxxxay. 8. 直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(0, c). （ 2 ） 与y轴 平 行 的 直 线hx与 抛 物 线cbxaxy2有 且 只 有 一 个 交 点(h,cbhah2). 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - （3）抛物线与x轴的交点二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x
6、，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根. 抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离 . （4）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（ 3）一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根. （5）一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点， 由方程组cbxaxynkxy2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点; 方程组只有一组
7、解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点 . （ 6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121【能力训练】1二次函数y= x26x 5，当x时，0y，且y随x的增大而减小。2. 抛物线)2(22mmxxy的顶点坐标在第三象限，则m的值为（）A21mm或 B 10mm或 C 01m D1m3抛物线y=x2 2x3 的对称轴是直线（）A x =2 Bx = 2 Cx = 1 D x =1 4二次函数y=x
8、2+2x 7 的函数值是8，那么对应的x 的值是（）A 3 B 5 C 3 和 5 D3 和 5 5抛物线y=x2 x 的顶点坐标是（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 11 111A.(1,1) .(,1) .(,) .(,)22 424BCD6二次函数cbxaxy2的图象，如图1 2 40 所示，根据图象可得a、b、c 与 0 的大小关系是（）A a 0，b0， c 0 B a 0， b0，c0 C a 0，
9、b0，c0 D a 0， b0，c07小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h=3 5 t 4 9 t2(t 的单位s；h 中的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化如图，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（）A 071s B 0.70s C 0.63s D 0 36s 8已知抛物线的解析式为y=（ x 2）2 l，则抛物线的顶点坐标是（）A （ 2， 1）B （2，l）C （2， 1）D （1， 2）9若二次函数y=x2x 与 y= x2+k 的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（）A这两个函数图象有相同的对称轴B这两个函数图象的开口方向相反C方程x2+k=0 没有实数根D二
10、次函数y= x2 k 的最大值为1210抛物线y=x2 +2x 3 与 x 轴的交点的个数有（）A 0 个B 1 个C2 个D 3 个11抛物线y=（ x l）2 +2 的对称轴是（）A直线x=1 B直线x=1 C直线x=2 D直线x=2 12已知二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则在“a0， b 0， c0， b24ac0”中，正确的判断是（）A、B、C、D、13已知二次函数cbxaxy2(a0）的图象如图所示，则下列结论： a、 b 同号；当x=1 和 x=3 时，函数值相等；4a+b=0 ；当y=2 时， x 的值只能取0其中正确的个数是（）A l 个B 2 个C3 个D 4 个14
11、如图，抛物线的顶点P 的坐标是（1， 3） ，则此抛物线对应的二次函数有（）A最大值1 B最小值3 C最大值3 D最小值1 15用列表法画二次函数cbxaxy2的图象时先列一个表，当表中对自变量x 的值以相等间隔的值增加时，函数y 所对应的值依次为：20，56， 110，182，274， 380， 506， 650其中有一个值不正确，这个不正确的值是（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - A 506 B380 C
12、274 D 182 16将二次函数y=x2 4x+ 6 化为y=(x h)2+k 的形式：y=_ 17把二次函数y=x2 4x+5 化成 y=(x h)2+k 的形式： y=_ 18若二次函数y=x2 4x+c 的图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c=_ _ （只要求写一个）19抛物线y=(x 1)2+3 的顶点坐标是_ 20二次函数y=x22x3 与 x 轴两交点之间的距离为_. 21. 已知抛物线y=ax2+bx+c 经过 A（ 1,0） 、 B（3,0） 、 C（0,3）三点，(1)求抛物线的解析式和顶点M 的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线。(2)若点（ x0,y0）在
13、抛物线上，且0 x0 4, 试写出y0的取值范围。22华联商场以每件30 元购进一种商品，试销中发现每天的销售量y（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数y=162 3x；（ 1）写出商场每天的销售利润w（元）与每件的销售价x（元）的函数关系式；（ 2）如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润为多少？23某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - -
14、 - - - - - - - 程下面的二次函数图像（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t 个月的利润总和s 与 t 之间的关系） 根据图像提供的信息，解答下列问题：（1）求累积利润s（万元）与时间t （月）之间的函数关系式；（ 2）求截止到几月末公司累积利润可达到30 万元；（3）求第8 个月公司所获利润是多少万元？24如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面AB的宽是20 米，如果水位上升3 米时，水面CD的宽为10 米，（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发，要经过此桥开往乙地，已知甲地到
15、此桥280千米， （桥长忽略不计）货车以每小时40 千米的速度开往乙地，当行驶到1 小时时，忽然接到紧急通知，前方连降大雨，造成水位以每小时25. 0米的速度持续上涨，（货车接到通知时水位在CD处） ，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行；试问：汽车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过多少千米？25. 已知直线y 2x b(b 0) 与 x 轴交于点A，与 y 轴交于点B; 一抛物线的解析式为y3 4 5 6 -1 -2 -3 s(万元 ) t(月) O 4 32 1 1 2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -
16、 - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - x2(b 10)x c. 若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y 2xb 上，试确定这条抛物线的解析式；过点B作直线BCAB交 x 轴于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y 2x b 的解析式 . 26已知抛物线y=(1-m)x2+4x-3 开口向下，与x 轴交于A(x1,0)和 B(x2,0)两点，其中xl5 2. D 21. (1) (1,4) (2) 5 y0 4 22. (1) W= 3x2+252x 4860 (2)
17、W最大=432 （元）23. (1) S= 12t2 2t (t 0) (2) 当 S=30 时， t=10 (3) 当 T=8 时， S=16 24. (1) y= 125x2(2) 水位约4 小时上涨到0,按原速不能安全通过此桥.若要通过需超过60 千米 /小时25. (1) y=x2 4x 6 或y=x2 10 (2) y= 2x 2 (提示， RtABC中， OB2=OA OC 26. (1) 1m 73(2) y= x2+4x 3 27 (1) B( 2, 0) (2) y= 12x2+2x+6 (3) 由抛物线的对称性可知抛物线必过点C，因此，P 点必定在直线BD 下方，P1 (1+21 ，21 3) P2（121 ，21 3）28以围墙的一部分为一边，往外围成一个正多边形（五、六、）R 的一半，如图 S=12 103 （20+10 220）=3003 520 米2 围成半圆面积最大，最大的面积为：573 米26060103 20 20 20 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -