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1、函数的基本性质基础知识：1.奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有 f(x)=f(x)，则称 f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有 f(x)=f(x)，则称 f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则 x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤
2、：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定 f(x)与 f(x)的关系；作出相应结论：若 f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；若 f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是奇函数。（3）简单性质：图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴成轴对称；设( )f x，( )g x的定义域分别是12,DD，那么在它们的公共定义域上：奇+奇 =奇，奇奇=偶，偶 +偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2.单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为
3、I， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)） ，那么就说f(x)在区间 D 上是增函数（减函数） ；注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D 内的任意两个自变量x1，x2；当 x1x2时，总有 f(x1)f(x2)。（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做 y=f(x)的单调区间。（3）设复合函数y= fg(x)，其中 u=g(x) , A 是 y= fg(x)定义域的某个区间，B 是映射 g :
4、 xu=g(x) 的象集：若 u=g(x) 在 A 上是增（或减） 函数，y= f(u)在 B 上也是增 （或减） 函数，则函数 y= fg(x)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 在 A 上是增函数；若 u=g(x)在 A 上是增（或减）函数，而y= f(u)在 B 上是减（或增）函数，则函数y= fg(x)在 A 上是减函数。（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步
5、骤：任取 x1，x2D，且 x1x2；作差 f(x1) f(x2)；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；下结论 （即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性） 。（5）简单性质奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反；在公共定义域内：增函数)(xf增函数)(xg是增函数；减函数)(xf减函数)(xg是减函数；增函数)(xf减函数)(xg是增函数；减函数)(xf增函数)(xg是减函数。若函数)(xfy是偶函数，则)()(axfaxf；若函数)(axfy是偶函数，则)()(axfaxf. 3.函数的周期性如果函数yf(x) 对于定义
6、域内任意的x，存在一个不等于0 的常数 T，使得 f(xT)f(x) 恒成立，则称函数f(x)是周期函数， T 是它的一个周期. 性质：如果 T 是函数 f(x)的周期，则kT(k N)也是 f(x) 的周期 . 若周期函数f(x)的周期为T，则)( xf（0）是周期函数，且周期为|T。 若)()(axfxf, 则 函 数)(xfy的 图 象 关 于 点)0,2(a对 称 ; 若)()(axfxf, 则函数)(xfy为周期为a2的周期函数 . 例题：1.11xyx的递减区间是；)23(log221xxy的单调递增区间是。2. 函数)112lg()(xxf的图象（）A.关于x轴对称 B. 关于y
7、轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线xy对称名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 3.设)(xf是定义在R上的奇函数，若当0 x时，)1(log)(3xxf，则)2(f。4.定义在R上的偶函数)(xf满足)2()2(xfxf， 若)(xf在0,2上递增，则 （）A.)5.5()1(ff B)5.5()1(ff C)5.5()1(ff D以上都不对5. 讨论函数xxxf1)(的单调性。6.已知奇函数)(xf是定义在
8、)2, 2(上的减函数 ,若0)12() 1(mfmf，求实数m的取值范围。7.已知函数)(xf的定义域为N，且对任意正整数x，都有)1()1()(xfxfxf。若2004)0(f，求)2004(f。习题：题型一：判断函数的奇偶性1.以下函数： （ 1）)0(1xxy； （2）14xy； （ 3）xy2； （4）xy2log； （5）)1(log22xxy，(6)221)(2xxxf；其中奇函数是，偶函数是，非奇非偶函数是。2. 已知函数)(xf=11xx, 那么)(xf是( ) A. 奇函数而非偶函数 B. 偶函数而非奇函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D.既非奇函数也非偶函数题型二：奇偶性
9、的应用1.已知偶函数)(xf和奇函数)(xg的定义域都是 (-4,4),它们在0 ,4上的图像分别如图（ 2-3 ）所示，则关于x的不等式0)()(xgxf的解集是 _。yy=g(x)-4-2y=f(x)-2-40 xyx0图(2-3)2. 已知5)(357dxcxbxaxxf，其中dcba,为常数，若7)7(f，则)7(f_ 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 3.下列函数既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是（
10、）A.( )sinf xx B.( )1f xx C.1( )2xxf xaa D.2( )ln2xf xx4.已知函数)(xfy在 R是奇函数，且当0 x时，xxxf2)(2，则0 x时，)(xf的解析式为。5.若fx是偶函数 ,且当0,x时, 1fxx,则10fx的解集是（）A.10 xxB. 012x xx或C. 02xxD. 12xx题型三：判断证明函数的单调性1. 判断并证明12)(xxf在),0(上的单调性2.判断122)(2xxxf在)0,(上的单调性题型四：函数的单调区间1.求函数20.7log(32)yxx的单调区间。2. 下列函数中，在)0 ,(上为增函数的是（） A.84
11、2xxy B.)0(3 aaxy C.12xy D.)(log21xy3.函数xxxf1)(的一个单调递增区间是（）A.,0B.0,C.1, 0D., 14.下列函数中，在(0，2) 上为增函数的是( ) A.y=-3x+1 B.y=|x+2| C.y=x4 D.y=x2-4x+3 5.函数 y=245xx的递增区间是 ( ) A.(-， -2) B.-5，-2 C.-2，1 D.1，+ ) 题型五：单调性的应用1. 函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间 (- ， 4) 上是减函数，那么实数a 的取值范围是 ( ) A.3，+ ) B.(-， -3 C.-3 D.(-， 5 2. 已
12、知函数f(x)=2x2-mx+3，当 x(-2，+) 时是增函数，当x(- ，-2) 时是减函数，则f(1) 等于 ( ) A.-3 B.13 C.7 D.由 m而决定的常数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 3.若函数7)(23bxaxxxf在 R 上单调递增，则实数a, b 一定满足的条件是（）A032baB.032baC032baD132ba4. 函数1)(,1 , 1,223)(xfxabaxxf若恒成立，则
13、b 的最小值为。5.已知偶函数f(x)在(0，+)上为增函数，且f(2)=0，解不等式flog2(x2+5x+4) 0。题型六：周期问题1. 奇函数)(xf以 3 为最小正周期，3) 1(f，则)47(f为( ) A.3 B.6 C.-3 D.-6 2. 设f(x)是定义在 R上以 6 为周期的函数，f(x) 在(0,3) 内单调递增， 且y=f(x) 的图象关于直线x =3对称，则下面正确的结论是( ) A.f(1.5)f(3.5)f(6.5) B.f(3.5)f(1.5)f(6.5) C.f(6.5)f(3.5)f(1.5) D.f(3.5)f(6.5)f(1.5) 3.已知xf为偶函数
14、,且xfxf22,当02x时,xxf2,则2006f（）A2006 B4 C4D414.设)(xf是),(上的奇函数，)()2(xfxf，当10 x时，xxf)(，则)5.47(f等于 _5.已知函数f(x) 对任意实数x,都有 f(x m) f(x), 求证 :2m 是 f(x) 的一个周期 . 6、已知函数f(x) 对任意实数x,都有 f(mx)f(m x)，且 f(x) 是偶函数 , 求证 :2m 是 f(x) 的一个周期 . 7、函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数， 且 f(1)3，对任意的 xR，均有 f(x4)f(x)f，求 f(2001)的值 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -